人教B版 (2019)必修 第四册第十一章 立体几何初步11.4 空间中的垂直关系11.4.1 直线与平面垂直复习练习题

这是一份人教B版 (2019)必修 第四册第十一章 立体几何初步11.4 空间中的垂直关系11.4.1 直线与平面垂直复习练习题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．m，n是空间两条不同直线，α，β是空间两个不同平面，下面有四种说法：
①m⊥α，n∥β，α∥β⇒m⊥n；
②m⊥n，α∥β，m⊥α⇒n∥β；
③m⊥n，α∥β，m∥α⇒n⊥β；
④m⊥α，m∥n，α∥β⇒n⊥β．
其中正确说法的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
B [①正确，因为n∥β，α∥β，
所以在α内有与n平行的直线，又m⊥α，则m⊥n；
②错误，α∥β，m⊥α⇒m⊥β，因为m⊥n，则还可能n⊂β；
③错误，因为m⊥n，α∥β，m∥α，则还可能n⊂β，n∥β或n与β相交；
④正确，m⊥α，α∥β，得m⊥β，因为m∥n，则n⊥β．]
2．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝4，BB1＝1，AC＝2eq \r(5)，则BD与AC所成的角为 ( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
C [取B1C1的中点M，连接BM，DM(图略)，
则DM∥A1C1∥AC，
所以异面直线BD与AC所成角为∠BDM，
因为DM＝eq \f(1,2)AC＝eq \r(5)，BD＝eq \r(12＋22)＝eq \r(5)，
BM＝eq \r(12＋22)＝eq \r(5)，所以∠BDM＝60°，
即异面直线BD与AC所成的角为60°．]
3．(多选题)直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是( )
A．l和平面α相互平行
B．l和平面α相互垂直
C．l在平面α内
D．l与平面α相交且不垂直
ABCD [如图所示，直线l和平面α相互平行，或直线l和平面α相互垂直，或直线l在平面α内，或直线l和平面α相交且不垂直都有可能．故选ABCD．
]
4．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则点P到BC的距离是( )
A．eq \r(5) B．2eq \r(5) C．3eq \r(5) D．4eq \r(5)
D [如图所示，作PD⊥BC于D，连接AD，因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥CB，又PA∩PD＝P，PA，PD⊂平面PAD，
所以CB⊥平面PAD，所以AD⊥BC，
又AB＝AC＝5，所以D为BC中点，
在△ABD中，CB＝3，所以AD＝4，
在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，
所以PD＝eq \r(82＋42)＝4eq \r(5)．]
5．在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，P为边AB的中点，现将△DAP绕直线DP翻转至△DA′P处，如图所示，若M为线段A′C的中点，则异面直线BM与PA′所成角的正切值为( )
A．eq \f(1,2) B．2 C．eq \f(1,4) D．4
A [取A′D的中点N，连接PN，MN．因为M是A′C的中点，所以MN∥CD∥PB，且MN＝PB，所以四边形PBMN为平行四边形，所以MB∥PN，所以∠A′PN为异面直线BM与PA′所成的角．在Rt△NA′P中，tan∠A′PN＝eq \f(A′N,A′P)＝eq \f(1,2)，故选A．]
二、填空题
6．如图所示，PA⊥平面ABC，在△ABC中，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数有 ．
4 [eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(PA⊥平面ABC，,BC⊂平面ABC))⇒
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(PA⊥BC，,AC⊥BC，,PA∩AC＝A))⇒BC⊥平面PAC⇒BC⊥PC，所以直角三角形有△PAB，△PAC，△ABC，△PBC．]
7．如图所示，三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB．则直线PB与平面ABC所成的角等于 ．
45° [因为PA⊥平面ABC，所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB，所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角．在△PAB中，∠BAP＝90°，PA＝AB，所以∠PBA＝45°，即直线PB与平面ABC所成的角等于45°．]
8．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，过A点作平面A1BD的垂线，垂足为点H，有下列三个结论：
①点H是△A1BD的中心；
②AH垂直于平面CB1D1；
③AC1与B1C所成的角是90°．
其中正确结论的序号是 ．
①②③ [①正确，因为AH⊥平面A1BD，AA1＝AB＝AD，
所以Rt△AHA1≌Rt△AHD≌Rt△AHB，
所以HA1＝HB＝HD，
所以点H是△A1BD的外心，又因为A1B＝BD＝DA1，所以点H是△A1BD的中心．
②正确．易证平面A1BD∥平面CB1D1，
又因为AH⊥平面A1BD，所以AH垂直于平面CB1D1．
③正确．易证A1D⊥平面ABC1D1，所以AC1⊥A1D，又A1D∥B1C，所以AC1⊥B1C，所以AC1与B1C所成的角是90°．]
三、解答题
9．如图，正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE⊥平面CDE．
求证：AB⊥平面ADE．
[证明] 因为AE⊥平面CDE，CD⊂平面CDE，
所以AE⊥CD，又在正方形ABCD中，CD⊥AD，
AE∩AD＝A，所以CD⊥平面ADE，
又在正方形ABCD中，AB∥CD，
所以AB⊥平面ADE．
10．如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：
(1)EF∥平面ACD；
(2)BD⊥平面EFC．
[证明] (1)因为E，F分别是AB，BD的中点，
所以EF是△ABD的中位线，所以EF∥AD，
因为EF⊄平面ACD，AD⊂平面ACD，
所以EF∥平面ACD．
(2)因为AD⊥BD，EF∥AD，所以EF⊥BD．
因为CB＝CD，F是BD的中点，
所以CF⊥BD．
又EF∩CF＝F，CF⊂平面EFC，EF⊂平面EFC，
所以BD⊥平面EFC．
11．(多选题)如图，PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，则下列结论正确的是( )
A．AF⊥PB
B．EF⊥PB
C．AF⊥BC
D．AE⊥平面PBC
ABC [AB为⊙O的直径，所以BC⊥AC．
又PA⊥⊙O所在的平面，所以PA⊥BC．因为PA∩AC＝A，
所以BC⊥平面PAC．因为AF⊂平面PAC，所以BC⊥AF．又AF⊥PC，PC∩BC＝C，所以AF⊥平面PBC．因为PB⊂平面PBC，所以AF⊥PB，A，C正确．又AE⊥PB，AF∩AE＝A，所以PB⊥平面AEF．因为EF⊂平面AEF，所以EF⊥PB，B正确．假如AE⊥平面PBC，则AE⊥BC．又BC⊥AC，连接EC(图略)，则BC⊥平面AEC，这与BC⊥平面PAC矛盾，D错误．]
12．如图，已知△ABC是等腰三角形，且∠ACB＝120°，AC＝2，点D是AB的中点．将△ACD沿CD折起，使得AC⊥BC，则此时直线BC与平面ACD所成角的正弦值为( )
A．eq \f(\r(6),3) B．eq \f(\r(3),3) C．eq \f(\r(2),3) D．eq \f(1,3)
A [如图，作BE⊥AD，垂足为E，连接CE．
因为AD⊥CD，BD⊥CD，AD∩BD＝D，所以CD⊥平面ADB．因为BE⊂平面ADB，所以CD⊥BE，又BE⊥AD，AD∩CD＝D，所以BE⊥平面ACD，
所以∠BCE为直线BC与平面ACD所成的角．由题意，可知AD＝BD＝eq \r(3)，AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝2eq \r(2)．在△ADB中，设AB边上的高为h，则h＝eq \r((\r(3))2－(\r(2))2)＝1．由AD·BE＝AB·h，得BE＝eq \f(2\r(6),3)，
所以sin∠BCE＝eq \f(BE,BC)＝eq \f(\r(6),3)，故选A．]
13．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝ 时，CF⊥平面B1DF．
a或2a [由已知得△A1B1C1是等腰直角三角形，A1B1＝B1C1，D是A1C1的中点，所以B1D⊥A1C1，
由直三棱柱ABC­A1B1C1知AA1⊥平面A1B1C1，又B1D⊂平面A1B1C1，所以B1D⊥AA1，又AA1∩A1C1＝A1且AA1，A1C1⊂平面A1ACC1，
所以B1D⊥平面A1ACC1，
又因为CF⊂平面A1ACC1，
所以B1D⊥CF．
若CF⊥平面B1DF，则CF⊥DF．
设AF＝x(0≤x≤3a)，
则CF2＝x2＋4a2，
DF2＝a2＋(3a－x)2，CD2＝a2＋9a2＝10a2，
所以10a2＝x2＋4a2＋a2＋(3a－x)2，解得x＝a或2a．]
14．如图，已知六棱锥P­ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②直线BC∥平面PAE；③∠PDA＝45°．
其中正确的有 ．(把所有正确的序号都填上)
①③ [对于①，因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AE，又EA⊥AB，PA∩AB＝A，所以EA⊥平面PAB，从而可得EA⊥PB，故①正确．
对于②，由于在正六边形中BC∥AD，所以BC与EA必有公共点，从而BC与平面PAE有公共点，所以直线BC与平面PAE不平行，故②不正确．
对于③，由条件得△PAD为直角三角形，且PA⊥AD，又PA＝2AB＝AD，所以∠PDA＝45°．故③正确．]
15．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD＝1，DB＝2eq \r(2)．
(1)求证：PA∥平面BDE；
(2)求证：AC⊥平面PBD；
(3)求直线BC与平面PBD所成角的正切值．
[解] (1)证明：令AC∩BD＝O，连接OE，如图所示．
因为AD＝CD，DB平分∠ADC，
所以点O为AC的中点．
因为E为PC的中点，所以OE∥PA．
因为OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，
所以PA∥平面BDE．
(2)证明：由(1)知AC⊥BD．
因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥PD．
又PD∩BD＝D，所以AC⊥平面PBD．
(3)因为AC⊥平面PBD，
所以OB即为BC在平面PBD内的射影，
所以∠CBO即为直线BC与平面PBD所成的角．
在Rt△CBO中，OC＝eq \f(\r(2),2)，OB＝eq \f(3\r(2),2)，
所以tan∠CBO＝eq \f(OC,OB)＝eq \f(\f(\r(2),2),\f(3\r(2),2))＝eq \f(1,3)，
所以直线BC与平面PBD所成角的正切值为eq \f(1,3)．