（通用版）2024年中考数学重点知识冲刺训练---方程练习附解析

这是一份（通用版）2024年中考数学重点知识冲刺训练---方程练习附解析，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，综合题等内容，欢迎下载使用。
1．若x1，x2是方程x2−6x−7=0的两个根，则（ ）
A．x1+x2=6B．x1+x2=−6C．x1·x2=76D．x1·x2=7
2．关于x的一元一次方程2x+m=5的解为x=1，则m的值为（ ）
A．3B．-3C．7D．-7
3．元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得（ ）
A．x240=x+12150B．x240=x150−12
C．240(x−12)=150xD．240x=150(x+12)
4．对于二元一次方程组y=x−1①x+2y=7②，将①式代入②式，消去y可以得到（ ）
A．x+2x−1=7B．x+2x−2=7C．x+x−1=7D．x+2x+2=7
5．已知3是关于x的方程2x−a=1的解，则a的值为（ ）
A．-5B．5C．7D．-7
6．关于一元二次方程x2+2x+1=0根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
7．下列说法中，正确的是（ ）
A．若ac=bc，则a=bB．若a2=b2，则a=b
C．若ac=bc，则a=bD．若−13x=6，则x=2
8．在物理学中，导体中的电流I跟导体两端的电压U、导体的电阻R之间有以下关系：I=UR，去分母得IR=U，那么其变形的依据是（ ）
A．等式的性质1B．等式的性质2
C．分式的基本性质D．不等式的性质2
9．分式方程x−2x−3=2x−3的解为（ ）
A．2B．3C．4D．5
10．若方程组3x+5y=6，6x+15y=15的解也是方程3x+ky=10的解，则k的值是（ ）
A．6B．10C．9D．353
二、填空题
11．若关于x的方程 x2+ax−2=0 有一个根是1，则 a= .
12．已知二元一次方程x+3y＝14，请写出该方程的一组整数解 ．
13．分式方程x+1x=23的解为x= ．
14．在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛.活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m.王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则m= .
三、解答题
15．先化简，再求值： a−ba÷(a−2ab−b2a) ，其中a，b满足 |a−3|+(b−2)2 =0．
16．《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：
今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？
译文为：
现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？
请解答上述问题．
17．已知关于x的一元二次方程x2−(m+3)x+3m=0．
（1）求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；
（2）若一元二次方程的两根为x1，x2，且满足x12+x22−x1x2=19，求m的值．
18．有A、B两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，A发电厂比B发电厂多发40度电，A焚烧20吨垃圾比B焚烧30吨垃圾少1800度电.
（1）求焚烧1吨垃圾，A和B各发多少度电？
（2）A、B两个发电厂共焚烧90吨垃圾，A焚烧的垃圾不多于B焚烧的垃圾的两倍，求A厂和B厂总发电量的最大值.
19．在欧几里得的《几何原本》中，形如x2+ax=b2的一元二次方程通过图解法能得到其中的一个正根：如图，先画Rt△ACB，使∠ACB=90°，BC=a2，AC=b，再在斜边AB上截取BD=a2，连结CD，那么图中某条线段的长就是一元二次方程的其中一个正根.
（1）用含a，b的代数式表示AD的长.
（2）图中哪条线段的长是一元二次方程x2+ax=b2的一个正根?请说明理由.
20．在欧几里得的《几何原本》中，形如x2+ax=b2的一元二次方程通过图解法能得到其中的一个正根.如图，先画Rt△ACB，使∠ACB=90°，BC=a2，AC=b，再在斜边AB上截取BD=a2，连结CD，那么图中某条线段的长就是一元二次方程的其中一个正根.
（1）用含a，b的代数式表示AD的长.
（2）图中哪条线段的长是一元二次方程x2+ax=b2的一个正根？请说明理由.
四、综合题
21．老师在黑板上写出如图所示的算式
（1）嘉嘉在“□”中填入﹣6，请帮他计算“◇”中填入的数字；
（2）淇淇说，“□”和“◇”填入的一定是两个不同的数，淇淇的说法对吗？请说明理由．
7×□−5×◇=38
22．“人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了A型和B型两种玩具，已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个，且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍．
（1）求两种型号玩具的单价各是多少元？
根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程：
甲：5201.6x=175x+30，解得x=5，经检验x=5是原方程的解．
乙：520x=1.6×175x−30，解得x=65，经检验x=65是原方程的解．
则甲所列方程中的x表示 ，乙所列方程中的x表示 ；
（2）该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进A型玩具多少个？
23．如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点B，C在x轴上，D在y轴上，OB，OC的长是方程x2−6x+8=0的两个根（OB>OC）．请解答下列问题：
（1）求点B的坐标；
（2）若OD：OC=2：1，直线y=−x+b分别交x轴、y轴、AD于点E，F，M，且M是AD的中点，直线EF交DC延长线于点N，求tan∠MND的值；
（3）在（2）的条件下，点P在y轴上，在直线EF上是否存在点Q，使△NPQ是腰长为5的等腰三角形？若存在，请直接写出等腰三角形的个数和其中两个点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：∵x1，x2是方程x2−6x−7=0的两个根，
∴x1+x2=6，x1x2=−7，
故答案为：A.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系计算求解即可。
2．【答案】A
【解析】【解答】解：把x=1代入2x+m=5中，得2×1+m=5，
解得m=3.
故答案为：A.
【分析】把x=1代入2x+m=5中即可求出m值.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：设快马x天可追上慢马，
由题意得24x=150(x+12).
故答案为：D.
【分析】设快马x天可追上慢马，根据路程=速度乘以时间及追击问题中的等量关系：快马x天所走的路程=慢马(x+12)所走的路程，列出方程即可.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：将①式代入②式得，
x+2(x−1)=7，即x+2x−2=7.
故答案为：B.
【分析】直接将①代入②中，即用（x-1）替换②中的y，然后去括号可得结果.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：∵3是关于x的方程2x-a=1的解，
∴2×3-a=1，
解得：a=5；
故答案为：B.
【分析】首先根据一元一次方程的解的定义，将x=3代入关于x的方程2x-a=1，然后解关于a的一元一次方程即可.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：由题意得，Δ=22-4×1×1=0，
∴方程有两个相等的实数根．
故答案为：B.
【分析】利用一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根，求出b2-4ac的值即可判断.
7．【答案】C
【解析】【解答】解：A、若ac=bc，当c≠0，则a=b，故此选项不符合题意；
B、若a2=b2，则a=±b，故此选项不符合题意；
C、若ac=bc，则a=b，故此选项符合题意；
D、若−13x=6，则x=−18，故此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用等式的性质对每个选项一一判断即可。
8．【答案】B
【解析】【解答】解： I=UR，等式两边同时乘以R， 去分母得： IR=U，变形的依据是等式的性质2.
故答案为：B.
【分析】根据等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，去分母即可得解.
9．【答案】C
【解析】【解答】解：x−2x−3=2x−3
去分母得：x−2=2
解得：x=4
检验：把x=4代入x−3≠0，
∴x=4是原分式方程的解.
故答案为：C.
【分析】把分式方程化为整式方程，求解并检验即可.
10．【答案】D
【解析】【解答】解：由题意知，3x+5y=6，①6x+15y=15，②
将②-2×①得，5y=3，
∴y=35，
把y的值代入①得，3x+3=6，
∴x=1，
将x和y的值代入方程可得，3+k×35=10，
∴k=353.
故答案为D.
【分析】首先解二元一次方程组，消元后求解即可，再将二元一次方程组的解代入3x+ky=10中即可得到k的值.
11．【答案】1
【解析】【解答】解：把x=1代入方程 x2+ax−2=0 得1+a-2=0，
解得a=1.
故答案是：1.
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得到关于a的一次方程，然后解此一次方程即可.
12．【答案】x=2y=4 （答案不唯一）
【解析】【解答】解：令x=2，则 2+3y＝14，
∴y=14−23=4，
∴x=2y=4 是方程的解，
故答案为： x=2y=4（答案不唯一） .
【分析】令x=2，代入 x+3y＝14求出y值，则可得出该一元一次方程的一个解.
13．【答案】-3
【解析】【解答】解： x+1x=23 ，
方程两边同时乘以3x，
得3（x+1）=2x，
解得x=-3，
检验：当x=-3时，3x≠0，
∴x=-3是原方程的解.
故答案为：-3.
【分析】方程两边同时乘以3x，约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程解的情况.
14．【答案】39
【解析】【解答】解：设九宫格中最中间的数为x，
∵第1列中间数与第2行的最左侧的数重合，
∴16+4=7+x，
∴x=13，
根据九宫格每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和等于最中间数的三倍，
∴m=3x=39.
故答案为：39.
【分析】解：设九宫格中最中间的数为x，由于第1列中间数与第2行的最左侧的数重合，建立方程16+4=7+x，求得x的值，根据九宫格每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和等于最中间数的三倍所以m=3x，即可求解m的值.
15．【答案】解：原式= a−ba·a(a−b)2 = 1a−b
∵|a−3|+(b−2)2 =0，
∴a﹣3=0，b﹣2=0，即a=3，b=2，
∴原式= 1a−b =1．
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再根据非负数之和为0的性质求出a、b的值，最后将a、b的值代入计算即可。
16．【答案】解：设共有x人，这个物品的价格是y元，
8x−3=y，7x+4=y，解得x=7，y=53，
答：共有7人，这个物品的价格是53元.
【解析】【分析】设共有x人，这个物品的价格是y元，根据题意列出方程组8x−3=y，7x+4=y，求解即可。
17．【答案】（1）证明：∵Δ=b2−4ac
=[−(m+3)]2−12m
=m2+6m+9−12m
=m2−6m+9
=(m−3)2；
又∵(m−3)2≥0，
∴b2−4ac≥0，
∴无论m取任何实数，方程总有实数根；
（2）解：∵x1+x2=m+3，x1⋅x2=3m，x12+x22−x1x2=19，
∴(x1+x2)2−3x1x2=19，
∴(m+3)2−3×3m=19，
整理得m2−3m−10=0，
解得m=5或m=−2，
故m的值为5或−2．
【解析】【分析】（1）对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此可得此题就是证明根的判别式一定不为负数，从而算出根的判别式的值，再结合偶数次幂的非负性即可解答；
（2）设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，利用一元二次方程根与系数x1+x2=−ba，x1·x2=ca，用含m的式子表示出x1+x2与x1·x2的值，然后利用配方法将已知等式变形为(x1+x2)2−3x1x2=19，整体代入可得关于字母m的方程，解方程即可求出m的值.
18．【答案】（1）解：设焚烧1吨垃圾，A发电厂发电a度，B发电厂发电b度，则
a−b=4030b−20a=1800，
解得：a=300b=260
答：焚烧1吨垃圾，A发电厂发电300度，B发电厂发电260度；
（2）解：设A发电厂焚烧x吨垃圾，则A发电厂焚烧(90-x)吨，总发电量为y度，则
y=300x+260(90−x)=40x+23400
∵x≤2(90−x)
∴x≤60
∵y随x的增大而增大
∴当x=60时，y取最大值25800度.
【解析】【分析】（1）设焚烧1吨垃圾，A发电厂发电a度，B发电厂发电b度，由“每焚烧一吨垃圾，A发电厂比B发电厂多发40度电，A焚烧20吨垃圾比B焚烧30吨垃圾少1800度电”列出方程组，求解即可；
（2）设A发电厂焚烧x吨垃圾，则B发电厂焚烧(90-x)吨，总发电量为y度，根据总发电量=A发电厂焚烧x吨垃圾发出的电量+B发电厂焚烧(90-x)吨垃圾发出的电量，建立出一次函数关系式，进而根据所得函数的性质并结合x得取值范围即可解决此题.
19．【答案】（1）解：∠ACB=90°，BC=a2，AC=b，
由勾股定理得：AB=AC2+BC2=b2+a24=4b2+a22，
∴AD=AB−BD=4b2+a22−a2=4b2+a2−a2 .
（2）解：线段AD是一元二次方程x2+ax=b2的一个正根，理由如下：
设AD=x，则AB=AD+BD=x+a2，
在 Rt△ACB 中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
即：b2+a24=x+a22，整理得：x2+ax=b2，
∴线段AD是一元二次方程x2+ax=b2的一个正根.
【解析】【分析】（1）根据勾股定理求出AB=4b2+a22，由AD=AB−BD，代入计算，即可得解；
（2）设AD=x，则AB=AD+BD=x+a2，在 Rt△ACB 中，由勾股定理得：b2+a24=x+a22，化简整理即可得解.
20．【答案】（1）∵∠ACB=90∘，BC=a2，AC= b，
∴AB=AC2+BC2=4b2+a22，∴AD=AB−BD=4b2+a2−a2.
（2）解：线段 AD 的长是一元二次方程 x2+ ax=b2 的一个正根.
理由如下：设 AD=x， 则 AB=AD+BD=x+a2.在 Rt △ABC 中， 由勾股定理， 得 b2+ a22=x+a22， 整理得x2+ax= b2，∴ 线段 AD 的长是一元二次方程 x2+ ax=b2 的一个正根.
【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的长，根据AD=AB-BD，可求出AD的长.
（2）线段 AD 的长是一元二次方程 x2+ ax=b2 的一个正根，将AD=x代入，可得到关于x，a，b的方程，将方程整理后可作出判断.
21．【答案】（1）解：设“◇”中填入的数字是x，依题意有
7×（﹣6）﹣5x＝38，
解得x＝﹣16．
故“◇”中填入的数字是﹣16
（2）解：设“□”和“◇”中填入的数字是y，依题意有
7y﹣5y＝38，
解得y＝19．
故“□”和“◇”填入的可能是两个相同的数19
【解析】【分析】（1）可设“◇”中填入的数字是x，得到方程7×（﹣6）﹣5x＝38，解方程即可求解；（2）可设“□”和“◇”中填入的数字是y，得到方程7y﹣5y＝38，解方程即可求解．
22．【答案】（1）B型玩具的单价；购买A型玩具的数量
（2）设购进A型玩具a个，则购买B型玩具(200−a)个，
由（1）中甲同学所列方程的解可知：B型玩具的单价为5元，则A型玩具的单价为5×1.6=8元，
由题意，得：8a+5(200−a)≤1350，
解得：a≤3503，
∵a为整数，
∴a=116；
答：最多购进A型玩具116个．
【解析】【解答】解：（1）解：对于甲：5201.6x=175x+30表示的是：用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个，
∴5201.6x，175x分别表示A型玩具和B型玩具的数量，
∴x表示B型玩具的单价；
对于乙：520x=1.6×175x−30表示的是：A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍，
∴520x，175x−30，分别表示表示A型玩具和B型玩具的单价，
∴x表示购买A型玩具的数量；
故答案为：B型玩具的单价；购买A型玩具的数量.
【分析】 （1）根据所列的方程，可知甲所列方程中的x表示B型玩具的单价，乙所列方程中的x表示A型玩具的数量；
（2）设可购进A型玩具a个，列出不等式，解不等式即可得出答案．
23．【答案】（1）解：解方程x2−6x+8=0，得x1=4，x2=2．
∵OB>OC，
∴OB=4，OC=2．
∴B(−4，0)；
（2）解：∵OD：OC=2：1，OC=2
∴OD=4．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=6．
∵M是AD中点，
∴MD=3．
∴M(−3，4)．
将M(−3，4)代入y=−x+b，得3+b=4．
∴b=1．
∴E(1，0)，F(0，1)．
∴∠FEO=45°．
过点C作CH⊥EN于H，过点N作NK⊥BC于K．
∵△DOC∽△NKC，DO：OC=NK：CK=2：1．
∴NK=2CK
∵∠KEN=∠FEO=45°
∴∠KNE=90°−∠KEN=45°
∴∠KEN=∠KNE
∴EK=NK=2CK
∴EC=CK
∵EC=OC−OE=2−1=1
∴CK=1，NK=2，EK=2
∴在Rt△ENK中，EN=EKcs∠KEN=2cs45°=22
在Rt△ECH中，CH=EH=EC⋅cs∠CEH=1⋅cs45°=22
∴NH=EN−EH=22−22=322
∴tan∠MND=CHNH=22322=13
（3）解：存在点Q，使△NPQ为腰长为5的等腰三角形.理由如下：
由（2）可知N（3，-2），
设P（0，m），Q（t，-t+1），
∴PN2=9+(m+2)2，QN2=2(t-3)2，PQ2=t2+(m+t-1)2.
当PN=5时，9+(m+2)2=25，解得m=2或m=-6；
当QN=5时，2(t-3)2=25，解得t=6±522；
△P′NQ1、△PNQ2、△P′NQ2是腰长为5的等腰三角形，故Q1（-4，5），Q2（6−522，52−42）.
△P′NQ3、△P′NQ4、△PNQ4是腰长为5的等腰三角形，故Q3（4，-3），Q4（6+522，−52−42）.
△PQ5N、△P′Q5N是腰长为5的等腰三角形，故Q5（6−522，52−42）.
综上可得：点Q的坐标为（-4，5）或（4，-3）或（6+522，−52−42）或（6−522，52−42）.
【解析】【分析】（1）利用因式分解法求出方程的解，据此可得OC、OB的值，进而可得点B的坐标；
（2）易得OD=4，根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AD=BC=6，由中点的概念可得MD，表示出点M的坐标，代入y=-x+b中求出b的值，进而可得点E、F的坐标，过点C作CH⊥EN于H，过点N作NK⊥BC于K，则△DOC∽△NKC，根据相似三角形的性质可得NK-2CK，易得EC=CK=1，NK=2，EK=2，由三角函数的概念可得EN、CH、然后求出NH，再利用三角函数的概念计算即可；
（3）由（2）可知N（3，-2），设P（0，m），Q（t，-t+1），根据两点间距离公式可得PN2=9+(m+2)2，QN2=2(t-3)2，PQ2=t2+(m+t-1)2，令PN=5、QN=5，求出t的值，然后画出相应的图形，据此不难得到点Q的坐标.16




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