人教B版高中数学必修第一册第3章3-1-1第2课时函数的表示方法学案

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第2课时　函数的表示方法(1)已建成的京沪高速铁路总长约1 318千米，设计速度目标值为380千米/时．若京沪高速铁路时速按300千米/时计算，火车行驶x小时后，路程为y千米，则y是x的函数，可以用y＝300x来表示，其中y＝300x叫作该函数的解析式．(2)如下图是某中学升学率的变化曲线：(3)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表：根据初中学过的知识，说出问题(1)、(2)、(3)分别是用什么法表示函数的？知识点一　函数的表示方法　1.任何一个函数都可以用解析法、列表法、图像法三种形式表示吗？[提示]　不一定．并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图像法也不适用于所有函数，如D(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0，x∈Q，,1，x∈∁RQ.))列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段．1.已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))＝________.1　[由题设给出的表知f(3)＝4，则f(f(3))＝f(4)＝1.]2.若反比例函数f(x)满足f(3)＝－6，则f(x)的解析式为________．答案：f(x)＝－eq \f(18,x)3.已知函数f(x)的图像如图所示，其中点A，B的坐标分别为(0,3)，(3,0)，则f(f(0))＝________.0　[结合题图可得f(0)＝3，则f(f(0))＝f(3)＝0.]知识点二　用集合语言对函数的图像进行描述(1)定义：将函数y＝f(x)，x∈A中的自变量x和对应的函数值y，分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，则满足条件的点(x，y)组成的集合F称为函数的图像，即F＝{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}．(2)F是函数y＝f(x)的图像，必经满足下列两条：①图像上任意一点的坐标(x，y)都满足函数关系y＝f(x)；②满足函数关系y＝f(x)的点(x，y)都在函数的图像F上．4.小明和小华进行自行车比赛，刚开始小华领先，但关键时刻自行车链子掉了．小明赶超小华．小华修好车后，奋起直追，但为时已晚．小明还是先到了终点．如果用s1，s2分别表示小明和小华所行走的路程，t表示时间，则图中与该事件符合的是(　　)A　　　　　B　　　　C　　　　DB　[小明匀速至终点，小华开始骑得快，中途修车路程未变，后又快速骑至终点，此时小明已到终点，只有B符合．]知识点三　分段函数如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数．2.分段函数是一个函数还是几个函数？[提示]　分段函数是一个函数，而不是几个函数．分段函数的定义域、值域和图像(1)定义域：各段自变量取值范围的并集，注意各段自变量取值范围的交集为空集．(2)值域：各段函数在相应区间上函数取值集合的并集．(3)图像：根据不同定义域上的解析式分别作出，再将它们组合在一起得到整个分段函数的图像．5.思考辨析(对的打“√”，错的打“×”)．(1)分段函数y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x，x≤1，,－x，x>1))的定义域为(－∞，1]． (　　)(2)函数y＝|x|不是分段函数． (　　)(3)常数函数的图像是垂直于x轴的直线． (　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×[提示]　(1)分段函数y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x，x≤1，,－x，x>1))的定义域为(－∞，1]∪(1，＋∞)＝R.(2)函数y＝|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x，x≥0，,－x，x1.所以若f(a)＝eq \f(1,3)，a的值为±eq \r(2).分段函数问题的常见解法(1)求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值．当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)已知分段函数的函数值，求自变量的值的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要检验．(3)在分段函数的前提下，求某条件下自变量的取值范围的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围，再求它们的并集即可．[跟进训练]5．设f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\r(x)，0＜x＜2，,2x－4，x≥2，))若f(a)＝f(a＋2)，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝(　　)A．2 B．4C．6 D．8B　[若0＜a＜2，则a＋2＞2，由f(a)＝f(a＋2)，得eq \r(a)＝2(a＋2)－4，解得a＝eq \f(1,4)或a＝0(舍去)，∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝f(4)＝2×4－4＝4.若a≥2，由f(a)＝f(a＋2)，得2a－4＝2(a＋2)－4，无解．综上，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝4，故选B．] 类型4　函数的图像及应用【例6】　(1)作出函数y＝eq \f(2,x)，x∈[2，＋∞)的图像并求出其值域．(2)某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：①5公里以内(含5公里)，票价2元；②5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)．如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图像．[思路点拨]　(1)列表→描点→连线；(2)分段函数的图像需要在同一坐标系中分段画出．[解]　(1)列表当x∈[2，＋∞)时，图像是反比例函数y＝eq \f(2,x)的一部分，观察图像可知其值域为(0,1]．(2)设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0,20]．由题意得函数的解析式如下：y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2，0