人教B版高中数学必修第一册第3章3-1-2第1课时单调性的定义与证明学案

这是一份人教B版高中数学必修第一册第3章3-1-2第1课时单调性的定义与证明学案，共14页。

3.1.2　函数的单调性第1课时　单调性的定义与证明德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究．他经过测试，得到了以下一些数据：以上数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数．艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”，如图．问题　(1)当时间间隔t逐渐增大时你能看出对应的函数值y有什么变化趋势？通过这个试验，你打算以后如何对待刚学过的知识？(2)“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？知识点一　函数单调性的概念1．增函数与减函数的定义1.增(减)函数定义中的x1，x2有什么特征？[提示]　定义中的x1，x2有以下3个特征(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x1＜x2；(3)属于同一个单调区间．(1)自变量大小与函数值大小的关系：①单调递增：x1＜x2⇔f(x1)＜f(x2)，x1＞x2⇔f(x1)＞f(x2)．②单调递减：x1＜x2⇔f(x1)＞f(x2)，x1＞x2⇔f(x1)＜f(x2)．即可以利用单调递增、单调递减的定义，实现自变量的大小关系与函数值的大小关系的直接转化．(2)若f(x)在区间I上为增(减)函数，则函数f(x)的图像在区间I上的对应部分自左向右逐渐上升(下降)．1.(1)如果(a，b)，(c，d)都是函数f(x)的单调递增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1f(x2)C．f(x1)＝f(x2) D．不能确定(2)下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是(　　)A．y＝|x|＋2 B．y＝3－xC．y＝eq \f(1,x) D．y＝－x2＋4(1)D　(2)A　[(1)根据函数单调性的定义可知，所取的两个自变量的值必须在同一单调区间内才能由函数的单调性比较其函数值的大小，故选D．(2)因为－1<0，所以一次函数y＝－x＋3在R上递减，反比例函数y＝eq \f(1,x)在(0，＋∞)上递减，二次函数y＝－x2＋4在(0，＋∞)上递减．故选A．]2．函数的单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在I上具有单调性(当I为区间时，称I为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间)．如果一个函数在其整个定义域内具有单调性，则称此函数是单调函数．一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，应该用“和”或逗号连接．2.函数y＝eq \f(1,x)在定义域上是减函数吗？[提示]　不是．y＝eq \f(1,x)在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上也递减，但不能说y＝eq \f(1,x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减．2.已知四个函数的图像如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是(　　)　A　　　　　　B　　　　　　C　　　　DB　[由单调性定义知只有B选项是单调函数．][拓展]　常见函数的单调性知识点二　函数的最值3.函数y＝f(x)在[－2,2]上的图像如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　)A．－1,0　　 B．0,2　　C．－1,2　　 D．eq \f(1,2)，2C　[由题图可知，f(x)的最大值为f(1)＝2，f(x)的最小值为f(－2)＝－1.故选C．] 类型1　定义法证明(判断)函数的单调性【例1】　证明：函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)在(0,1)上是减函数．[思路点拨]　eq \x(\s\up(设元：任取x1，x2∈0，1且x1＞x2))―→eq \x(作差：fx1－fx2)eq \o(――→,\s\up10(变形))eq \x(判号：fx2>fx1)eq \o(――→,\s\up10(结论))eq \x(减函数)[证明]　设x1，x2是区间(0,1)上的任意两个实数，且x1＞x2，则f(x1)－f(x2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(1,x1)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)))＝(x1－x2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x1)－\f(1,x2)))＝(x1－x2)＋eq \f(x2－x1,x1x2)＝(x1－x2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x1x2)))＝eq \f(x1－x2－1＋x1x2,x1x2)，∵0x2>－1，则y1－y2＝eq \f(x1,x1＋1)－eq \f(x2,x2＋1)＝eq \f(x1－x2,x1＋1x2＋1).∵x1>x2>－1，∴x1－x2>0，x1＋1>0，x2＋1>0，∴eq \f(x1－x2,x1＋1x2＋1)>0，即y1－y2>0，y1>y2，∴y＝eq \f(x,x＋1)在(－1，＋∞)上是增函数． 类型2　求函数的单调区间【例2】　求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．(1)f(x)＝－eq \f(1,x)；(2)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋1，x≥1，,5－x，x<1；))(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.[解]　(1)函数f(x)＝－eq \f(1,x)的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数．(2)当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．(3)因为f(x)＝－x2＋2|x|＋3＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋3，x≥0，,－x2－2x＋3，x<0.))根据解析式可作出函数的图像如图所示，由图像可知，函数f(x)的单调区间为(－∞，－1]，(－1,0)，[0,1)，[1，＋∞)．f(x)在(－∞，－1]，[0,1)上是增函数，在(－1,0)，[1，＋∞)上是减函数．求函数单调区间的方法(1)利用常见函数的单调性求函数的单调区间．(2)利用函数图像求函数的单调区间．提醒：(1)若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开．(2)理清“单调区间”和“在区间上单调”的区别与联系．[跟进训练]2．根据如图所示，写出函数在每一单调区间上是增函数还是减函数．[解]　函数在[－1,0]，[2,4]上是减函数，在[0,2]，[4,5]上是增函数．3．写出y＝|x2－2x－3|的单调区间．[解]　先画出f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－2x－3，x<－1或x>3，,－x2－2x－3，－1≤x≤3))的图像，如图．所以y＝|x2－2x－3|的单调减区间为(－∞，－1]，[1,3]；单调增区间为[－1,1]，[3，＋∞)． 类型3　函数单调性的应用1．若函数f(x)是其定义域上的增函数，且f(a)>f(b)，则a，b满足什么关系．如果函数f(x)是减函数呢？[提示]　若函数f(x)是其定义域上的增函数，那么当f(a)>f(b)时，a>b；若函数f(x)是其定义域上的减函数，那么当f(a)>f(b)时，af(5x－6)，则实数x的取值范围为________．[思路点拨]　(1)eq \x(分析fx的对称轴与区间的关系)eq \o(――――→,\s\up10(数形结合))eq \x(建立关于a的不等式)eq \o(――→,\s\up10(　))eq \x(求a的取值范围)(2)eq \x(f2x－3>f5x－6)eq \o(――――――――――――→,\s\up10(f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数))eq \x(建立关于x的不等式)eq \o(――→,\s\up10(　))eq \x(求x的取值范围)(1)(－∞，－4]　(2)(－∞，1)　[(1)∵f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的图像开口向下，要使f(x)在(－∞，3]上是增函数，只需－(a＋1)≥3，即a≤－4.∴实数a的取值范围为(－∞，－4]．(2)∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，∴2x－3>5x－6，即x<1.∴实数x的取值范围为(－∞，1)．][母题探究]1．[变条件]若本例(1)的函数f(x)在(1,2)上是单调函数，求a的取值范围．[解]　由题意可知－(a＋1)≤1或－(a＋1)≥2，即a≤－3或a≥－2.所以a的取值范围为(－∞，－3]∪[－2，＋∞)．2．[变条件]若本例(2)的函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，求x的取值范围．[解]　由题意可知，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－3>0，,5x－6>0，,2x－3<5x－6，))解得x>eq \f(3,2).∴x的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)).函数单调性的应用(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围．(2)若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的． 类型4　求函数的最值(值域)【例4】　已知函数f(x)＝eq \f(2x＋1,x＋1).(1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值．[解]　(1)f(x)在(－1，＋∞)上为增函数，证明如下：任取－10，x2＋1>0，x1－x2<0，所以f(x1)－f(x2)<0⇒f(x1)1，))求：(1)f(x)的最大值、最小值；(2)f(x)的最值点．[解]　(1)作出函数f(x)的图像(如图)．由图像可知，当x＝1时，f(x)取最大值为f(1)＝1.当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0，故f(x)的最大值为1，最小值为0.(2)f(x)的最大值点为x0＝1，最小值点为x0＝0.1．函数y＝eq \f(1,x2)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上的最大值是(　　)A．eq \f(1,4) B．－1C．4 D．－4C　[y＝eq \f(1,x2)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上是减函数，∴当x＝eq \f(1,2)时，ymax＝4.故选C．]2．(多选题)下列函数中，在(0,2)上是增函数的是(　　)A．y＝－eq \f(1,x) B．y＝2x－1C．y＝1－2x D．y＝(2x－1)2AB　[对于A，y＝－eq \f(1,x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增；对于B，y＝2x－1在R上单调递增；对于C，y＝1－2x在R上单调递减；对于D，y＝(2x－1)2在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))上单调递减，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上单调递增．故选AB．]3．若x1，x2是(－1,2)内的任意两个值，且x1≠x2，则以下式子可以说明函数f(x)在(－1,2)内单调递减的是(　　)A．(f(x1)－f(x2))(x1－x2)>0B．eq \f(fx1－fx2,x1－x2)<0C．f(x1)－f(x2)<0D．f(x1)>f(x2)B　[因为函数f(x)在(－1,2)内单调递减，所以若x10，所以x1－x2与f(x1)－f(x2)异号，所以eq \f(fx1－fx2,x1－x2)<0.]4．函数f(x)＝x2－3|x|＋2的单调递减区间是________．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,2)))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))　[去绝对值，得函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－3x＋2，x≥0，,x2＋3x＋2，x＜0，))作出其图像(图略)，可得函数的单调递减区间为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,2)))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2))).]5．若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝________.－6　[由f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－2x－a，x＜－\f(a,2)，,2x＋a，x≥－\f(a,2)，))可得函数f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，＋∞))，故3＝－eq \f(a,2)，解得a＝－6.]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．对函数的单调性的定义，你是怎样理解的？[提示]　单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此对x1，x2有下列要求：(1)属于同一个区间I；(2)任意性，即x1，x2是定义域中某一区间I上的任意两个值，不能用特殊值代替；(3)区分大小，即确定的任意两值x1，x2必须区分大小，一般令x10时，f(x)与a·f(x)具有相同的单调性；当a<0时，f(x)与a·f(x)具有相反的单调性．(3)若f(x)的函数值恒为正或恒为负，a为常数，则当a>0时，f(x)与eq \f(a,fx)具有相反的单调性；当a<0时，f(x)与eq \f(a,fx)具有相同的单调性．(4)若f(x)≥0，则f(x)与eq \r(fx)具有相同的单调性．(5)在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论：(6)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，若两者的函数值都恒大于零，则f(x)·g(x)也是增(减)函数；若两者都恒小于零，则f(x)·g(x)是减(增)函数．二、复合函数的单调性判定对于复合函数f(g(x))，设t＝g(x)在(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也是单调函数，那么f(g(x))在(a，b)上的单调性如何呢？下面我们来探讨一下．(1)若t＝g(x)在(a，b)上是增函数，且y＝f(t)也为增函数．任取x1，x2∈(a，b)，x1f(g(x2))，则根据减函数的定义知f(g(x))在(a，b)上为减函数．类似地，我们不难发现：当t＝g(x)在(a，b)上是减函数，且y＝f(t)为增函数时，则f(g(x))在(a，b)上为减函数；当t＝g(x)在(a，b)上是减函数，且y＝f(t)为减函数时，则f(g(x))在(a，b)上为增函数．根据上面的探讨，y＝f(g(x))在(a，b)上的单调性如下表所示，简记为“同增异减． 若一个函数是由多个简单函数复合而成的，则此复合函数的单调性由简单函数中减函数的个数决定．若减函数有偶数个，则这个复合函数为增函数；若减函数有奇数个，则这个复合函数为减函数．1.理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图像理解和研究函数的单调性．(重点)2.会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性，会求一些具体函数的单调区间．(重点、难点)3.理解函数的最大值和最小值的概念，能借助函数的图像和单调性，求一些简单函数的最值．(重点、难点)1.借助单调性判断与证明，培养数学抽象、逻辑推理、直观想象素养.2.利用求单调区间、最值，培养数学运算和直观想象素养.3.利用函数的最值解决实际问题，培养数学建模素养.时间间隔t刚记忆完毕20分钟后60分钟后8～9小时后1天后2天后6天后一个月后记忆量y (百分比)10058.244.235.833.727.825.421.1条件一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，且I⊆D：如果对任意x1，x2∈I，当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2)都有f(x1)＞f(x2)结论y＝f(x)在I上是增函数(也称在I上单调递增)y＝f(x)在I上是减函数(也称在I上单调递减)图示函数单调性一次函数y＝ax＋b(a≠0)a＞0时，在R上单调递增；a＜0时，在R上单调递减反比例函数y＝eq \f(a,x)(a≠0)a＞0时，单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)；a＜0时，单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)二次函数y＝a(x－m)2＋n(a≠0)a＞0时，单调递减区间是(－∞，m]，单调递增区间是[m，＋∞)；a＜0时，单调递减区间是[m，＋∞)，单调递增区间是(－∞，m]最大值最小值条件一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D；如果对任意x∈D都有f(x)≤f(x0)都有f(x)≥f(x0)结论则称f(x)的最大值为f(x0)，而x0称为f(x)的最大值点则称f(x)的最小值为f(x0)，而x0称为f(x)的最小值点统称最大值和最小值统称为最值最大值点和最小值点统称为最值点f(x)g(x)f(x)＋g(x)f(x)－g(x)增函数增函数增函数不能确定单调性增函数减函数不能确定单调性增函数减函数减函数减函数不能确定单调性减函数增函数不能确定单调性减函数t＝g(x)y＝f(t)y＝f(g(x))增增增增减减减增减减减增