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    人教B版高中数学必修第一册第3章3-4数学建模活动:决定苹果的最佳出售时间点学案
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    数学必修 第一册3.4 数学建模活动:决定苹果的最佳出售时间点导学案

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    这是一份数学必修 第一册3.4 数学建模活动:决定苹果的最佳出售时间点导学案,共9页。


    牛顿(1642~1727)是英国著名的物理学家、数学家和天文学家,是17世纪最伟大的科学巨匠.然而,对于一些在自然科学上一知半解的人来说,牛顿的赫赫有名与其说来自他的科学发现,毋宁说是来自于那个妇孺皆知的苹果落地的传说.傍晚,一个腋下夹着一本书的年轻人走进花园,坐在一棵树下,开始埋头读他的书.正在他翻动书页时,他头顶上的树枝被风吹得晃动了起来.突然,“啪”的一声,一只历史上最著名的苹果落了下来,恰好打在了这位青年的头上.这位青年不是别人,正是牛顿.据说,牛顿当时正在苦苦思索着一个问题:是什么力量使月球保持在环绕地球运行的轨道上,又是什么力量使行星保持在其环绕太阳运行的轨道上?掉下来的苹果打断了他的思索,“为什么这只苹果会坠落到地上呢?”牛顿转而考虑起这个使他感到困惑不解的问题.有人说他正是从这一问题的思考中找到了答案,并提出了万有引力定律.
    问题 (1)你认为牛顿是从“苹果从树上落下”这一问题的思考中很容易地提出了万有引力吗?
    (2)你能想象一下牛顿发现万有引力的过程吗?
    知识点 数学建模
    1.数学建模的概念
    对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题就是数学建模.
    2.数学建模过程
    在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题,分析问题、建立模型,确定参数、计算求解,验证结果、改进模型,最终解决实际问题.
    1.某车主每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油的情况:
    (注:“累计里程”是汽车出厂后行驶的总路程)
    则16日-21日这段时间内汽车每百公里的平均油耗为( )
    A.6升 B.8升 C.10升 D.12升
    B [由表格信息,得到该车加了48升的汽油,跑了600公里,所以该车每100公里平均耗油量为48÷6=8(升),故选B.]
    2.某家具的标价为132元,若降价以九折出售 (即优惠10%),仍可获利10%(相对进货价),则该家具的进货价是________元.
    108 [设进货价为a元,由题意知132×(1-10%)-a=10%·a,解得a=108.]
    类型1 建模过程描述与介绍
    (1)发现问题
    当市面上的苹果比较多时,苹果的价格就会降低.这时,如果将苹果利用一定的技术手段进行保鲜存储,等到市面上的苹果变少、价格上升之后再出售,则同样多的苹果就可以获得比较高的销售收入.不过,需要注意的是,保鲜存储是有成本的,而且成本会随着时间的延长而增大.
    (2)提出问题
    针对上述这种日常生活中的现象,我们可以探讨的问题很多.例如,为什么会发生这些现象?什么情况下不会发生这样的现象?能够利用哪些技术手段进行保鲜存储?哪种保鲜存储的成本最低?等等.
    (3)用数学观点对问题分析
    ①类似的这些问题,因为不仅仅涉及量的关系,所以如果只用数学手段研究,将是十分困难的.
    ②上述现象中,涉及了量的增大与减少的问题,这可以用数学符号和语言进行描述.
    (4)用数学知识描述问题,建立模型
    ①定性描述,确立初步模型
    设市面上苹果的量为x万吨,苹果的单价为y元.上述现象说明,y会随着x的增大而减少,且y也会随着x的减少而增大——也就是说,如果y是x的函数并记作y=f(x)的话,f(x)是减函数.
    同样地,如果设保鲜存储的时间为t天,单位数量的保鲜存储成本为C元,且C是t的函数并记作C=g(t)的话,g(t)是一个增函数.
    由于市面上的苹果的量x会随着时间t的变化而变化,因此可以认为x是t的函数,并记作x=h(t).
    从上面这些描述不难看出,在第t天出售苹果时,单位数量的苹果所获得的收益z元可以用t表示出来,即z=y-C=f(x)-g(t)=f(h(t))-g(t).
    此时,如果f(x),g(t),h(t)都是已知的,则能得到z与t的具体关系式.有了关系式之后,就能解决如下问题:z是否有最大值?如果z有最大值,那么t为多少时z取最大值?
    ②合理假设,确立模型
    怎样才能确定上述f(x),g(t),h(t)呢?这可以通过合理假设来完成.
    例如,为了简单起见,我们可以假设f(x)和g(t)都是一次函数,且f(x)=k1x+l1,g(t)=k2t+l2;
    并假设h(t)是一个二次函数,且h(t)=at2+bt+c.
    则有z=f(h(t))-g(t)=k1at2+(k1b-k2)t+k1c+l1-l2,其中k1<0,k2>0,a≠0.
    ③收集数据确定参数
    上述各参数可以通过收集实际数据来确定.例如,如果我们收集到了如下实际数据.
    利用待定系数法,根据前面的假设就可以确定出
    y=f(x)=-0.5x+5,
    C=g(t)=0.01t+0.1,
    x=h(t)=0.002t2-0.14t+9.6,
    因此z=-0.001t2+0.06t+0.1.
    ④问题解决与总结
    注意到上式可以改写成z=-0.001(t-30)2+1,所以此时在t=30时,z取最大值1.也就是说,在上述情况下,保鲜存储30天时,单位商品所获得的利润最大,为1元.
    以上我们用叙述的方式,让大家经历了一个简单的数学建模全过程.
    在实际的数学建模过程中,为了向别人介绍数学建模的成果,给别人提供参考,我们还需要将建模结果整理成论文的形式.一般来说,数学建模论文的结构可以按照建模过程来确定.
    类型2 数学建模—建立函数模型解决实际问题
    【例】 某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元.
    (1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系;
    (2)该家庭有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使投资获得最大收益,其最大收益是多少万元?
    [解] (1)设两类产品的收益与投资额的函数分别为f(x)=k1x,g(x)=k2eq \r(x).
    由已知得f(1)=eq \f(1,8)=k1,g(1)=eq \f(1,2)=k2,
    所以f(x)=eq \f(1,8)x(x≥0),g(x)=eq \f(1,2)eq \r(x)(x≥0).
    (2)设投资债券类产品为x万元,则投资股票类产品为(20-x)万元,依题意得
    y=f(x)+g(20-x)=eq \f(1,8)x+eq \f(1,2)eq \r(20-x)(0≤x≤20).
    令t=eq \r(20-x)(0≤t≤2eq \r(5)),
    则y=eq \f(20-t2,8)+eq \f(1,2)t=-eq \f(1,8)(t-2)2+3,
    所以当t=2,即x=16时,收益最大,即投资债券16万元,投资股票4万元时获得最大收益,最大收益为3万元.
    解决此类问题的过程
    [跟进训练]
    某商场经营一批进价是每件30元的商品,在市场销售中发现,此商品的销售单价x(元)与日销售量y件之间有如下关系(见表):
    (1)在所给的坐标系中,根据表中提供的数据描出实数对(x,y)对应的点,并确定y与x的一个函数关系式y=f(x);
    (2)设经营此商品的日销售利润为P元,根据上述关系式写出P关于x的函数关系式,并指出销售单价x为多少元时,才能获得最大日销售利润?
    [解] (1)根据题干中所给表作图,如图,点(30,60)、(40,30)、(45,15)、(50,0)在同一条直线上,设此直线为y=kx+b,
    ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(50k+b=0,,45k+b=15,))
    解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k=-3,,b=150.))
    ∴y=-3x+150(30≤x≤50).
    经检验,点(30,60)、(40,30)也在此直线上,故所求函数关系式为y=-3x+150(30≤x≤50).
    (2)依题意有P=y(x-30)
    =(-3x+150)(x-30)
    =-3(x-40)2+300,
    ∴当x=40时,P有最大值300.
    故销售单价为40元时,才能获得最大日销售利润.
    1.已知A、B两地相距150千米,某人开汽车以60千米/时的速度从A地到达B地,在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地,把汽车离开A地的距离x表示为时间t(时)的函数表达式是( )
    A.x=60t+50t(0≤t≤6.5)
    B.x=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(60t0≤t≤2.5,1502.5<t≤3.5,150-50t3.5<t≤6.5))
    C.x=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(60t0≤t≤2.5,150-50tt>3.5))
    D.x=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(60t0≤t≤2.5,1502.5<t≤3.5,150-50t-3.53.5<t≤6.5))
    D [根据题意,函数为分段函数,求出每一段上的解析式即可.]
    2.甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查,提供了两个方面的信息,如图.
    甲调查表明:每个甲鱼池平均产量从第1年1万只甲鱼上升到第6年2万只.
    乙调查表明:甲鱼池个数由第1年30个减少到第6年10个.
    请你根据提供的信息说明:
    (1)第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数;
    (2)第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还是缩小了?说明理由;
    (3)第几年的养殖规模最大?最大养殖量是多少?
    [解] (1)由题图可知,直线y甲=kx+b经过(1,1)和(6,2),可求得k=0.2,b=0.8.
    所以y甲=0.2(x+4).
    同理可得y乙=4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-x+\f(17,2))).
    当x=2时,y甲=1.2,y乙=26,
    故第2年甲鱼池的个数为26个,全县出产甲鱼的总数为26×1.2=31.2(万只).
    (2)规模缩小了.原因是:第一年出产甲鱼总数30万只,而第6年出产甲鱼总数为20万只.
    (3)设第x年规模最大,即求y甲·y乙=0.2(x+4)·4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-x+\f(17,2)))=-0.8x2+3.6x+27.2的最大值.
    函数图像的对称轴为x=-eq \f(3.6,2×-0.8)=2.25,
    因为x∈N+,∴当x=2时,y甲·y乙=31.2最大,
    即第二年规模最大,为31.2万只.
    [教师用书独具]
    走近数学建模
    实际问题一直是数学发展的重要源泉,解决实际问题也一直是数学价值的重要体现.下面我们来看数学史上一个极具影响的数学建模实例.
    实际问题
    普莱格尔河穿过美丽的哥尼斯堡城(现为俄罗斯的加里宁格勒).普莱格尔河有两个支流,在城市中心汇成大河,中间是岛区,在河上有七座桥,如图(1).
    图(1)
    岛上有古老的哥尼斯堡大学、知名的大教堂,居民经常到河岸和桥上散步.在18世纪初的一天,有人突发奇想:如何才能走过这七座桥,而每座桥都只能经过一次,最后又回到原来的出发点?人们开始沉迷于这个问题,在桥上来来回回不知走了多少次,却始终不得其解,这就是著名的哥尼斯堡七桥问题(Seven Bridges f Königsberg).
    实际问题的数学表述
    七桥问题引起了数学家欧拉(Lénard Euler,1707-1783)的极大兴趣.他想:经过这么多人的努力都没有找到一次不重复走完七座桥的路径,会不会根本不存在这样的走法?
    首先,欧拉想到的是穷举法,就是把所有的走法都一一列出来,再一个一个验证.但是,他很快发现这样做太麻烦了,因为对七座桥的不同走法就有5 000多种,并且这种方法不具有通用性.
    经过反复思考,欧拉想到:岛的形状、大小,以及桥的长短、宽窄并不影响结果,重要的是陆地、桥与岛这三者之间的位置关系.不妨把图中被河隔开的4块陆地看作4个点,连接陆地的7座桥看作7条线,就得到如图(2)的图形.实际问题中的陆地、
    图(2)
    河流和桥梁景观就不见了,七桥问题就变成能否一笔画出此图形的问题.这就是欧拉对七桥问题建立起来的数学模型.
    数学问题的解决
    欧拉注意到,如果这样的图形能一笔画成,那么除去起点和终点外,其他的点都是“经过点”.“经过点”的特征是:只要从一条线进入这个点,就要从另一条线离开这个点.有进无出,只能是终点;有出无进,只能是起点.若以某一点为端点的线有偶数条,则称该点为偶点;否则称为奇点.显然“经过点”是偶点.如果起点和终点是同一个点,那么这个点也是偶点.
    一笔画定理 一个由点和线组成的图形能一笔画完,必须符合以下两个条件:
    (1)图形是连在一起的,即是连通图形;
    (2)图形中的奇点个数为0或2.1.理解几种常见函数模型的概念及性质.(难点)
    2.会分析具体的实际问题,建模解决实际问题.(重点、难点)
    1.通过几种函数模型的学习,培养数学抽象的素养.
    2.理解几种函数模型的应用,培养数学建模的素养.
    加油时间
    加油量(升)
    加油时的累计里程(公里)
    2021年11月16日
    12
    32 000
    2021年11月21日
    48
    32 600
    x/万吨
    8.4
    7.6
    y/元
    0.8
    1.2
    t/天
    1
    2
    C/天
    0.11
    0.12
    t/天
    1
    2
    3
    x/万吨
    9.462
    9.328
    9.198
    销售单价x(元)

    30
    40
    45
    50

    日销售量y(件)

    60
    30
    15
    0

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