浙江省金华市义乌市2024届高三下学期适应性考试（三模）数学试卷（Word版附解析）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 样本数据12，46，38，11，51，24，33，35，55的第80百分位数是（ ）
A. 33B. 35C. 46D. 51
【答案】D
【解析】
【分析】根据百分位数的计算即可求解.
【详解】将12，46，38，11，51，24，33，35，55从小到大排列为11，12，24，33，35，38，46，51，55，
，故第80百分位数为第八个数51，
故选：D
2. 已知是等比数列，若，，则的值为（ ）
A. 9B. C. D. 81
【答案】A
【解析】
【分析】根据等比中项的性质即可得到答案.
【详解】由题得，而，则，
故选：A.
3. 在中，角的对边分别为，，.若，，，则为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 1或3
【答案】C
【解析】
【分析】根据余弦定理直接求解即可.
【详解】由余弦定理得,
即，即，解得或（舍）.
故选：C.
4. 某市高中数学统考（总分150分），假设考试成绩服从正态分布.如果按照，，，的比例将考试成绩从高到低分为，，，四个等级.若某同学考试成绩为99分，则该同学的等级为（ ）
（参考数据：，）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正态分布的性质即可求解.
【详解】数学测试成绩服从正态分布，
则，，
由于等级的概率之和为，
所以
，而即
故为A等级，为B等级，为C等级， 为D等级，
故99分为B等级．
故选：B．
5. 在义乌，婺剧深受民众喜爱.某次婺剧表演结束后，老生、小生、花旦、正旦、老旦各一人排成一排合影留念，其中小生和老生不相邻且老旦不排在最右边的不同排法总数是（ ）
A. 36B. 48C. 60D. 72
【答案】C
【解析】
【分析】间接法，先求出小生和老生不相邻的情况，再减去老旦排在最右边的情况，即可得解.
【详解】首先按照小生和老生不相邻的要求共有种排法，
其中老旦排在最右边情况，左侧4个位置，先排花旦、正旦有，
由此所成的3个空中将小生、老生插入有，
所以排法有种，
所以满足题意的不同排法总数是.
故选：C
6. 若函数，则方程的实数根个数为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】求导得到函数单调性，画出函数图象，令，则，且，当时，结合图象可知，只有1个解，当时，结合图象可知，只有1个解，当时，结合图象可知，由3个解，从而得到答案.
【详解】，
当时，，则，
此时在上单调递减，
当时，，则，
故当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
画出函数和的图象如下：
令得，
故，
令，则，且，
当时，结合图象可知，只有1个解，
当时，结合图象可知，只有1个解，
当时，结合图象可知，由3个解，
综上，方程的实数根的个数为5.
故选：D
7. 已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l ⊥n，则
（ ）
A. α∥β且∥αB. α⊥β且⊥β
C. α与β相交，且交线垂直于D. α与β相交，且交线平行于
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：由平面，直线满足，且，所以，又平面，，所以，由直线为异面直线，且平面平面，则与相交，否则，若则推出，与异面矛盾，所以相交，且交线平行于，故选D．
考点：平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论．
8. 已知，分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，的角平分线与的交点恰好在轴上，则线段的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据题意画出图象，由角平分线的性质可得点到直线与的距离相等，进而利用直线的方程可得点的坐标，然后列方程求点的坐标，从而可得.
【详解】由题意可知，点只能在第一、四象限，不妨设点在第一象限，如图所示：

设，又，
由题意可知，直线的斜率一定存在，
所以，直线，即，则点，
直线，化为一般形式得，
因为点在的角平分线上，所以点到直线与的距离相等，
点到直线的距离，
点到直线的距离，
于是，化简得，
即，
又点在椭圆上，所以，得，
因此，，即，
解得或，点在第一象限，所以，，
则点，
所以.
故选：C.
【点睛】思路点睛：首先设点的坐标，再求出直线，直线的表达式以及点的坐标，最后再根据点到角两边的距离相等以及点在椭圆上，解出点的坐标，最后再求线段的长度.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】由，结合每个选项计算可判断其正确性.
【详解】因为，所以，所以，故A正确；
所以，所以，故B不正确；
，故C不正确；
，故D正确.
故选：AD.
10. 已知在上是单调函数，且的图象关于点对称，则（ ）
A. 若，则
B. 的图象的一条对称轴方程为
C. 函数在上无零点
D. 将的图象向左平移个单位长度后得到的函数为偶函数
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用在上单调，可得，再根据的图象关于点对称，可得，进而可得，结合每个选项计算可判断其正确性.
【详解】，
当，可得，又在上单调，
所以，解得，
又的图象关于点对称，所以，解得，
当时，，符合题意，所以，
对于A：若，则可得分别为函数的极大值与极小值，
可得，故A正确；
，所以的图象的一条对称轴方程为，故B正确；
因为，所以，所以函数在上无零点，故C正确；
将的图象向左平移个单位长度后得到的函数为，
所以的图象向左平移个单位长度后得到的函数不为偶函数，故D不正确.
故选：ABC.
11. 已知正实数，满足，则下列不等式可能成立的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】将变形为，构造，，利用导数求解的单调性，即可判断的大小关系，结合函数图像即可求解.
【详解】由可得，
记，
由于函数均为上的单调递增函数，故为上的单调递增函数，
记，则，
令，得，故在单调递增，
令，得，故在单调递减，
而，，故存在使得，
故当，，即
当时，
当时，，
故作出的大致图象如下：（黑色为图象，红色为图象）
由图可知：当时，
当时，可得，
当时，可得，
当时，可得，
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：构造函数，求导判断单调性，由此判断的大小关系，数形结合求解.
非选择题部分（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若二项式的展开式中各项系数和为256，则展开式中的常数项为_____．
【答案】54
【解析】
【分析】先利用赋值法求出n的值，然后利用展开式通项求常数项．
【详解】解：令x＝1，有4n＝256，
解得n＝4，所以展开式通项为：，
令4﹣2k＝0得，k＝2．
故常数项为：．
故答案为：54．
【点睛】本题考查了赋值法求二项式展开式的系数和、二项式展开式的通项公式，属于基础题.
13. 若圆被双曲线的一条渐近线截得的弦长为2，则双曲线的离心率为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据条件，将弦长转化为圆心到渐近线的距离，进而可得出与的关系，求解即可.
【详解】对于双曲线，其渐近线方程为，
对于圆，有，
圆心为，半径，
渐近线被圆截得的弦长为，所以圆心到渐近线的距离为，
由点到直线距离公式得：，所以，
所以，解得，所以双曲线的离心率为.
故答案为：.
14. 某希望小学的操场空地的形状是一个扇形，计划在空地上挖一个内接于扇形的矩形沙坑（如图所示），有如下两个方案可供选择.经测量，，.在方案1中，若设，，则，满足的关系式为______，比较两种方案，沙坑面积最大值为______.
【答案】 ①. （其中，），或， ②. ##
【解析】
【分析】（1）连接，在中应用勾股定理找到关系式，注意取值范围；
（2）由（1）及基本不等式求得，结合三角形面积公式求方案一的最大值；再连接，，设，，在中应用勾股定理得，结合基本不等式、三角形面积公式求方案二最大值，比较大小即可.
【详解】连接，由，，，，得，
在中，，由，得，
显然在上单调递减，
所以满足的关系式为（，）或，；

方案1：设游泳池的面积为，
由（1）得，解得，当且仅当，即，时取等号，
所以；
方案2：设游泳池的面积为，取的中点，
连接，，设，，在中，，
则，解得，当且仅当时取等号，
，
而，
所以选择第一种方案，此时游泳池面积的最大值为.
故答案为：（，），或，；
【点睛】关键点点睛：设出与图形面积相关的两个变形，借助勾股定理建立关系，利用基本不等式求解最值是解决问题的关键.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数在处的切线的方向向量为.
（1）求的值；
（2）求函数的单调区间与极值.
【答案】（1）1 （2）在上递增，在上递减，极大值为，无极小值
【解析】
【分析】（1）由切线的方向向量可得切线斜率，进而利用导数的几何意义即可求解；
（2）利用导数研究函数的单调性并求极值即可.
【小问1详解】
在处的切线的方向向量为，所以在处的切线斜率，
又，则，解得.
【小问2详解】
函数的定义域为，
，
令，解得或（舍去）.
当时，，则函数在上单调递增，
当时，，则函数在上单调递减，
在处取得极大值，即，无极小值.
于是在上单调递增，在上单调递减，
极大值为，无极小值.
16. 已知甲盒中有1个红球，2个蓝球，乙盒中有5个红球，4个蓝球，这些球除了颜色外完全相同.
（1）从甲盒中有放回地取球，每次取1个，共取3次，求这3次中取出2次红球的概率；
（2）从甲、乙两盒中各任取2个球，记取出4个球中红球的个数为，求的分布列和数学期望.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）先求每次从甲盒中取出红球概率，然后利用独立重复试验的概率即可求解；
（2）确定随机变量的所有可能取值，求出每个值对应的概率，可得分布列，即可求得数学期望.
【小问1详解】
设“每次从甲盒中取出红球”，“这3次中取出2次红球”.
则，.
【小问2详解】
所有可能的取值为0，1，2，3
，，
，
.
17. 如图，四棱锥中，四边形是菱形，，是正三角形，是的重心，点满足.
（1）求证：平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据重心的性质可得，即可根据线线平行求证，
（2）根据线线垂直可得线面垂直，进而可得平面平面，根据余弦定理以及勾股定理求解长度，即可利用等体积法求解长度，利用线面角的几何法求解，或者建立空间直角坐标系，利用法向量与直线方向向量的夹角求解即可.
【小问1详解】
如图，连接，交点为，则是的中点.因为是的重心，所以.又是的中点，所以.
由知在线段上，且，所以，
而平面，平面，所以平面.
【小问2详解】
方法1：设，则.取中点，连接，则，，平面,
故平面，又平面，所以平面平面，交线.
由，，则,
得.所以到平面的距离等于到直线的距离.
设到平面的距离为，由平面知到平面的距离也是.
由得，，，
从而.
在中，，，，由余弦定理得，
所以直线与平面所成角的正弦值是.
方法2：如图，以中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系.
设，则，，，，，，，所以,,,
设平面的法向量是，由
.
令，则，.
所以，，
从而直线与平面所成角的正弦值是.
18. 已知四点在抛物线上，直线经过点，直线经过点，直线与直线相交，交点在轴上.
（1）求证：点是线段的中点；
（2）记的面积为，的面积为，求的最小值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）设，，，直线的方程为，直线的方程为，与抛物线联立可得，，进而可得，可得结论；
（2）设，可得，进而可得，求得，可得，进而可得，
法一：利用导数可求的最小值.法二：利用基本不等式可求的最小值.
【小问1详解】
设，，，直线的方程为，直线的方程为.
由得，所以；
由得，所以.
所以，即点的纵坐标是点、点的纵坐标的等差中项，故是的中点.
【小问2详解】
设，因为直线与直线相交，交点在轴上，所以，
从而，.
直线的方程是，所以，即.
因为是的中点，所以，.
法一：记，考察函数，.
因，
所以在上是减函数，在上是增函数，
故的最小值是，即的最小值是.
法二：，
时取到等号，即的最小值是.
【点睛】思路点睛：求解直线与抛物线综合应用中的与三角形面积有关的最值（取值范围）问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于x或y一元二次方程的形式；
②利用或其他限制条件求得变量的取值范围；
③利用变量表示出所求三角形的面积；
④通过换元法将所求内容转化为关于某一变量的函数的形式，利用函数的单调性或基本不等式求解出最值（范围）.
19. 若函数满足以下三个条件，则称为函数.①定义域为；②对任意，；③对任意正整数，，当时，有.若给定函数某几个函数值，在满足条件①②③的情况下，可能的如果有种，分别为，，，.
那么我们记等于，，，的最大值.这样得到的称为的最大生成函数.
（1）若为函数，且是在给定条件，下的的最大生成函数，求和的值；
（2）若为函数，且满足，求数列的前10项和；
（3）若为函数，且是在给定条件，下的的最大生成函数，求数列的前项和.
【答案】（1），
（2）1024 （3）
【解析】
【分析】（1）根据所给定义得到，结合所给条件求出，即可猜想，即可求出
（2）首先求出，，猜想，再由数学归纳法证明，再由等比数列求和公式计算可得；
（3）首先求出的前几个数，猜想，利用数学归纳法证明，再分为偶数和为奇数，利用分组求和法计算可得.
【小问1详解】
因为，
所以，所以.
但是若，则，又，这出现矛盾，
所以不成立，即，
此时，，所以或者.
若令，显然它是满足函数的3个条件的，不会出现矛盾.
所以.
【小问2详解】
由，则，若，则，，出现矛盾.
所以.同理求得，我们猜想
下面证明它.当，2，3时，的公式显然成立.
假设当时，的公式成立.
则当时，
，
，
，
，
显然，只能是.
所以得证.
可知，该公式给定的数列也满足函数的3个条件.
于是，
所以数列的前10项和为.
【小问3详解】
因为，，所以，，
因为，不妨取，则且，
所以，即.
我们猜想，
下面证明它.
当，2，3，4时，的公式显然成立.
假设当，2，3，4，，，时，的公式成立，则当时
即只需即可，所以.
又当时
即只有，所以，
所以得证.
可知，该公式给定的数列也满足函数的3个条件.
于是当为偶数时，
；
当为奇数时，；
所以数列的前项和为.
【点睛】关键点点睛：对于新定义型问题，关键是理解所给定义，对于直接证明比较困难的问题，先猜想，再利用数学归纳法证明.0
1
2
3