安徽省安庆市示范高中2024届高三下学期三模数学试卷（Word版附解析）

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2024.4
命题单位：安庆一中 审稿单位：太湖中学、野寨中学、石化一中
考生注意：
1．满分150分，考试时间120分钟．
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知线段是圆的一条长为4的弦，则（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】取中点，连接,根据向量的相关计算性质计算即可.
【详解】取中点，连接，
易知，所以.
故选：C．
2. 复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，用复数的除法运算求，进而求即可.
【详解】由条件知，
所以.
故选：D．
3. 已知圆锥的轴截面是等边三角形，则其外接球与内切球的表面积之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据截面图分析即可得半径比，然后可得答案.
【详解】如图，等边三角形的内切圆和外接圆的半径即为内切球和外接球的半径，
记内切球和外接球的半径分别为和，
则
所以其外接球与内切球的表面积之比为.
故选：A．
4. 已知一组数据的平均数为，另一组数据的平均数为.若数据，的平均数为，其中，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D. 的大小关系不确定
【答案】B
【解析】
【分析】根据平均数的定义表示，结合已知列等式，作差比较即可.
【详解】由题意可知，，
，于是，
又，所以，
所以，两式相减得，
所以.
故选：B
5. 已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，点是抛物线上两个不同点，且，则（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】抛物线的焦点到其准线的距离为，又，进而利用得，从而可得的值.
【详解】因为抛物线的焦点到其准线的距离为2，所以，
所以,即,
由得，即，则，
由焦半径公式可得.
故选：A.
6. 已知函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据图象经过点得到解析式，再由单调性和奇偶性化简不等式即可求解.
【详解】由题意知，解得，所以，其在上单调递增，
又因，所以函数为奇函数，，
所以不等式可化为，
于是，即，解得或.
故选：C．
7. 在正方体中，点分别为棱的中点，过点三点作该正方体的截面，则（ ）
A. 该截面多边形是四边形
B. 该截面多边形与棱的交点是棱的一个三等分点
C. 平面
D. 平面平面
【答案】B
【解析】
【分析】将线段向两边延长，分别与棱的延长线，棱的延长线交于，连分别与棱交于，可判断A；利用相似比可得，可判断B；证明平面即可判断C；通过证明平面，可判断D.
【详解】对于A，将线段向两边延长，分别与棱的延长线，棱的延长线交于，
连分别与棱交于，得到截面多边形是五边形，A错误；
对于B，易知和全等且都是等腰直角三角形，所以，
所以，即，点是棱的一个三等分点，B正确；
对于C，因为平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
因为平面，所以，同理可证，
因为平面，所以平面，
因为平面与平面相交，所以与平面不垂直，C错误；
对于D，易知，所以，
又，所以平面，
结合C结论，所以平面与平面不平行，D错误.
故选：B．
8. 若项数均为的两个数列满足，且集合，则称数列是一对“项紧密数列”．设数列是一对“4项紧密数列”，则这样的“4项紧密数列”有（ ）对．
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】根据可得，结合可得，，然后列举出所有紧密数列对即可.
【详解】由条件知，
于是，
又，
所以，
于是“4项紧密数列”有；
共有6对.
故选：B．
【点睛】关键点点睛：关键在于对新定义的理解，根据定义求得，然后据此列举出所有紧密数列对.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知集合，集合，若有且仅有3个不同元素，则实数的值可以为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】AB
【解析】
【分析】解一元二次不等式可得，结合指数函数性质可解出，结合交集性质即可得解.
【详解】由，解得，
故，
由，可得，
，
要使有且仅有3个不同元素，则，解得，
故选：AB．
10. 已知函数，则（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数在上单调递增
C. 函数的最大值为
D. 若方程在上有且仅有8个不同的实根，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项，由函数与的最小正周期的周期性即可；B选项，利用函数的单调性定义求解；C选项，由倍角公式化简函数解析式，利用二次函数的性质求最大值；D选项，利用导数讨论函数的单调性，数形结合求的取值范围.
【详解】由条件可知，
因，
又函数与的最小正周期均为，
所以函数最小正周期为，A选项正确；
时，，，，
，则函数在上不可能单调递增，B选项错误；
，
当时，函数取最大值，C选项正确；
，所以函数为偶函数，
方程在上有且仅有8个不同的实根，则在上有四个根，
此时，则，
设
令，得，令，得
则在上和单调递增，在和上单调递减，
又，，，如图所示，
若想方程在上有四个根，则，即，
因此选项D正确.
故选：ACD．
11. 直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，与的两条渐近线分别交于两点，从左到右依次排列，则（ ）
A. 线段与线段的中点必重合B.
C. 线段的长度不可能成等差数列D. 线段的长度可能成等比数列
【答案】ABD
【解析】
【分析】设出直线的方程，并分别与双曲线的渐近线方程、双曲线方程联立，利用中点坐标公式判断出线段和共中点，可判断A；从而证得线段与线段的长度始终相等，可判断B；由等差中项的性质可判断C；由等比中项的性质可判断D.
【详解】设直线，
联立得，
于是，
联立得，
于是，所以，
因此线段与线段的中点必重合，A正确；
设中点为，则，所以，B正确；
假设线段的长度成等差数列，则，
所以，于是，
两边同时平方并整理得，
于是，
展开整理得，该方程有解，所以存在直线，
使得线段的长度成等差数列，C错误；
同上推理，当线段的长度相等时，
线段，的长度成等比数列，D正确.
故选：ABD．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在的展开式中，不含字母的项为_________．
【答案】
【解析】
【分析】在的展开式的所有项中，若不含字母，则只能取2个与4个相乘，由此即可列式得解.
【详解】由条件可知不含字母的项为．
故答案为：.
13. 一个不透明的袋子装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4，4．现甲从中随机摸出一个球记下所标数字后放回，乙再从中随机摸出一个球记下所标数字，若摸出的球上所标数字大即获胜（若所标数字相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸到2号球的概率为_________．
【答案】
【解析】
【分析】设事件“甲获胜”为事件，事件“乙摸到2号球”为事件，由古典概率公式求出，再由条件概率求解即可.
【详解】设事件“甲获胜”为事件，事件“乙摸到2号球”为事件，
则，，
所以，
故答案为：．
14. 由函数图象上一点向圆引两条切线，切点分别为点，连接，当直线的横截距最大时，直线的方程为_________，此时_________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】计算以线段为直径的圆，并与圆相减可得直线，通过导数计算直线横截距最大即可.
【详解】设点，圆的圆心为，如图所示，
则以线段为直径的圆的方程为
，
整理得，
与圆相交，
两个圆相减得：
直线，
令，则，
构造函数，
对其求导得，
令，则，
于是函数在上单调递增，在上单调递减，
故函数最大值为，
此时直线的方程为，
且,
于是．
故答案为：，.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 随着生活水平的不断提高，老百姓对身体健康越来越重视，特别认识到“肥胖是祸不是福”．某校生物学社团在对人体的脂肪含量和年龄之间的相关关系研究中，利用简单随机抽样的方法得到40组样本数据，其中表示年龄，表示脂肪含量，并计算得到，作出散点图，发现脂肪含量与年龄具有线性相关关系，并得到其线性回归方程为．
（1）请求出的值，并估计35岁的小赵的脂肪含量约为多少？
（2）小赵将自己实际的脂肪含量与（1）中脂肪含量的估计值进行比较，发现自己的脂肪含量严重超标，于是他打算进行科学健身来降低自己的脂肪含量，来到健身器材销售商场，看中了甲、乙两款健身器材，并通过售货员得到这两款健身器材的使用年限（整年），如下表所示：
如果小赵以使用年限的频率估计概率，请根据以上数据估计，小赵应选择购买哪一款健身器材，才能使用更长久？
【答案】（1）值为，估计35岁的小赵的脂肪含量约为19.317
（2）应购买甲款健身器材
【解析】
【分析】（1）根据线性回归直线方程经过样本中心求出，进而得到线性回归直线方程，再进行预测即可；
（2）分别列出甲，乙两款健身器材使用年限的分布列，求出期望，再比较即可.
【小问1详解】
因线性回归直线方程经过样本中心，
所以将代入，
得到．
于是，
当时，．
所以的值为，估计35岁的小赵的脂肪含量约为19.317．
【小问2详解】
以频率估计概率，设甲款健身器材使用年限为（单位：年），则的分布列为
于是．
设乙款健身器材使用年限为（单位：年），则的分布列为
于是．
因，所以小赵应购买甲款健身器材才能使用更长久．
16. 如图，在四棱锥中，，，连接．
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角正弦值的大小．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）已知条件利用余弦定理和勾股定理，求出，由勾股定理证明且，得证平面，结合面面垂直判定定理得平面平面．
（2）以点为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值.
【小问1详解】
因，所以，
又，所以，
根据余弦定理知，
直角梯形中，，，，，，
则，
过点作，垂足为，则，,得，
则有，得，，得，
因，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面．
【小问2详解】
如图，以点为原点，分别以所在直线为轴，轴建立空间直角坐标系．
则，于是，
又，
设平面的一个法向量为，于是，
令，则，即，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
17. 已知函数在点处的切线平行于直线．
（1）若对任意恒成立，求实数的取值范围；
（2）若是函数的极值点，求证：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据等于直线的斜率可得，然后参变分离，将恒成立问题转化为求的最小值问题，利用导数求解即可；
（2）求导，利用零点存在性定理判断存在隐零点，利用隐零点方程代入化简，结合隐零点范围即可得证.
【小问1详解】
的定义域为，，
由题知，解得．
由题意可知对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，只需，
令，则，
所以当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增．
所以，
于是，因此实数的取值范围是．
【小问2详解】
由条件知，对其求导得，
函数在上单调递增，且，
所以存在，使，即，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
于是是函数的极值点，
所以，即得证．
18. 已知数列的首项等于3，从第二项起是一个公差为2的等差数列，且成等比数列.
（1）求数列的前项的和；
（2）设数列满足且，若数列的前项的和为，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）借助等差数列的性质，等比数列的性质与等差数列求和公式计算即可得；
（2）可令，借助两角差的正切公式可得，即可得，即可得.
【小问1详解】
因成等比数列，所以，即，
解得，所以当时，，
又不符合上式，
所以数列的通项公式为，
因此，
当时，，
又符合上式，
所以当时，；
【小问2详解】
由（1）知，
令，
所以，
又，所以，
因此
，
所以，
于是.
19. 已知椭圆，圆．
（1）点是椭圆的下顶点，点在椭圆上，点在圆上（点异于点），连，直线与直线的斜率分别记作，若，试判断直线是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
（2）椭圆的左、右顶点分别为点，点（异于顶点）在椭圆上且位于轴上方，连分别交轴于点，点在圆上，求证：的充要条件为轴．
【答案】（1）过定点，定点坐标为
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设，结合题设推出，从而求出直线的方程，化简即可得结论；
（2）设，设，利用椭圆和圆的方程推出，然后分充分性以及必要性两方面，结合直线和圆锥曲线的位置关系，进行证明即可.
【小问1详解】
设，则，
于是，
因点，所以，于是，
整理得，
又直线的方程为，
即，
所以直线过定点，定点坐标为．
【小问2详解】
设，则，设，
因，所以直线，所以，
因，所以直线，所以，
于是．
先证充分性：当轴时，，所以，即，
于是，
设直线交轴于点，
因轴，所以，又，
所以，于是，
不妨设点在第一象限，点在第二象限，则，即，
所以直线的方程为，
联立，得，解得或，
所以，
于是
，所以充分性成立．
再证必要性：当时，即，
整理得，
又，所以，
又三点共线，所以直线的方程为，
三分共线，所以直线的方程为，
联立，消去，得，即，
所以轴，即必要性得证．
【点睛】难点点睛：第二问是依然是直线和圆锥曲线的位置关系问题，解答的难点在于复杂的计算，并且基本上都是字母参数的运算，因此解答时要保持清晰的解题思路，计算需要十分细心.甲款使用年限统计表
使用年限
5年
6年
7年
8年
合计
台数
10
40
30
20
100
乙款使用年限统计表
使用年限
5年
6年
7年
8年
合计
台数
30
40
20
10
100
5
6
7
8
0.1
0.4
0.3
0.2
5
6
7
8
0.3
04
0.2
0.1