2024年湖南省娄底市中考三模数学试题（原卷版+解析版）

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时量：120分钟总分：120分
温馨提示：数学试卷分为试题卷和答题卡两部分，本卷为试题卷，请在答题卡上按要求作答，书写在试题卷上的无效．考试结束时，请将试题卷和答题卡一并交回．
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 下列四个数中，最小的数是( )
A. B. 0C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了实数比较大小，根据实数比较大小的方法即可求解，熟练掌握实数比较大小的方法是解题的关键．
【详解】解：，
∴最小的数是，
故选D．
2. 如图，，，，那么的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平角的定义、角度计算问题，根据平角的定义、已知角度，得出计算即可，观察图形、计算角度是解题的关键．
【详解】解：∵，，，
∴，
故选：D．
3. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质，进行计算即可解答，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
4. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 只有一个实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 没有实数根
【答案】C
【解析】
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可得出一元二次方程有两个不相等的实数根．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
5. 四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（ ）

A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】利用三角形三边关系求得，再利用等腰三角形的定义即可求解．
【详解】解：在中，，
∴，即，
当时，为等腰三角形，但不合题意，舍去；
若时，为等腰三角形，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形三边关系以及等腰三角形的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
6. 下列说法（或等式）正确的是（ ）
A. B. 一条线段的黄金分割点有两个
C. 与是同类项D. 是最简二次根式
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式、黄金分割点、同类项、最简二次根式，逐项判断即可，熟练掌握知识点判断是解题的关键．
【详解】解：A、，原结果错误，故不符合题意；
B、一条线段的黄金分割点有两个，靠近两端各有一个，正确，故符合题意；
C、与相同字母的指数不同，不是同类项，原说法错误，故不符合题意；
D、，不是最简二次根式，原说法错误，故不符合题意．
故选：B．
7. 某月1日—10日，甲、乙两人的手机“微信运动”的步数统计图如图所示，则下列错误的结论是（ ）
A. 1日—10日，甲的步数逐天增加
B. 1日—6日，乙的步数逐天减少
C. 第9日，甲、乙两人的步数正好相等
D. 第11日，甲的步数不一定比乙的步数多
【答案】B
【解析】
【分析】对照折线统计图，逐项分析，找到合乎题意的选项，甲，乙两条线，分开看，注意图例．
【详解】A. 通过折线统计图中甲的图例实线部分，在1日—10日步数逐天增加，正确，不符合题意；
B. 通过折线统计图中乙的图例虚线部分，在1日—5日步数逐天减少，第6日有所增加，错误，符合题意；
C. 通过折线统计图中甲乙折线部分在第9日出现了重合，所以甲、乙两人的步数正好相等，正确；
D. 第11日图形没有给出，只能预测，所以不一定，正确．
题目要求选择错误的结论，B选项错误．
故选B．
【点睛】本题考查了折线统计图，折线统计图用折线的起伏表示数据的增减变化情况。不仅可以表示数量的多少，而且可以反映数据的增减变化情况，理解折线起伏的意义是解题关键．
8. 已知反比例函数和一次函数的图像如图所示，则函数的图像可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的图象与性质，根据反比例函数和一次函数的图象，判断出，，得出函数的图象，随的增大而增大，与轴的交点在轴的负半轴，选择符合的选项即可，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象与轴的交点在轴的正半轴，
∴，，
∴函数的图象，随的增大而增大，与轴的交点在轴的负半轴，
故选：D．
9. 某停车场24小时营业，其收费方式如表所示，已知王爱国某日进场停车，停了x小时后离场，x为整数．若王爱国离场时间介于当日的之间，则他此次停车的费用为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查列代数式．由题意得王爱国停车的时间第一时段超过6小时，且第二个时段的停车时间为小时，则可求解．
【详解】解：王爱国离场时间介于当日的间，
王爱国停车费为：元．
故选：A．
10. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于，两点，直线分别与边，相交于点，，连接．若，，，则的长为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边对等角、三角形内角和定理、勾股定理，熟练掌握知识点推出是解题的关键．
根据线段垂直平分线的性质、等边对等角，结合已知，推出，，然后利用三角形内角和定理推出，最后利用勾股定理计算即可．
【详解】解：由题意得：是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
故选：A．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11. 若，则__
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查整体代入法求解代数式的值．把看成一个整体，用整体代入法即可求解．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：．
12. 计算= _________________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据平方差公式计算，即可求解．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，灵活利用平方差公式计算是解题的关键．
13. 将点先向上平移5个单位，再向左平移3个单位，得到点Q，则点Q的坐标为__．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平移与坐标与图形的变化．根据向下平移，纵坐标减；向左平移，横坐标减进行求解即可．
【详解】解：根据题意，点Q的坐标是，
即．
故答案为：．
14. 已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的值可以是__．（任意写一个满足条件的k值）
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数的图象与系数的关系．先根据反比例函数的图象位于第二、四象限得出k的取值范围，进而可而得出答案．
【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴，
∴，
∴k的值可以是0，
故答案为：0（答案不唯一）．
15. 如图，四边形内接于，E为延长线上一点，，则的度数是______．

【答案】##128度
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质．根据圆的内接四边形的性质以及圆周角定理求解即可．
【详解】解：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案：．
16. 如图所示，是工人师傅用边长均为的两块正方形和一块正三角形地砖绕着点进行的铺设，若将一块边长为的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是_________．

【答案】
【解析】
【分析】正多边形的组合进行平面镶嵌，位于同一顶点处的几个角之和为，从而可得的度数，计算正多边形的外角，由此可得边数．
【详解】解：正三角形和正方形的内角分别为与，
，
这块正多边形地砖的边数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平面密铺的知识，解决此类题，记住几个常用正多边形的内角，关键是看位于同一顶点处的几个角之和为．
17. 某中学为了了解学生最喜欢的课外活动，以便更好开展课后服务，随机抽取若干名学生进行了问卷调查．调查问卷如下：
调查问卷
（单选）在下列课外活动中，你最喜欢的是（ ）
A．文学B．科技C．艺术D．体育
填完后，请将问卷交教务处．
根据统计得到的数据，绘制成了下面两幅不完整的统计图．
已知选择“艺术”类课外活动学生中有16名男生和若干名女生．若从“艺术”类学生中随机抽取1名女生座谈，且每名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到女生的概率是__．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图的信息关联、根据概率公式求概率，熟练掌握处理数据与应用是解题的关键．
根据统计图，先求出抽取的总人数，再求出选择“艺术”类课外活动的学生的人数，然后得出选择“艺术”类课外活动的学生中女生人数，最后根据概率公式求出概率即可．
【详解】解：抽取的学生一共有：（人），
选择“艺术”类课外活动的学生一共有：（人），
∵选择“艺术”类课外活动的学生中有16名男生，
∴选择“艺术”类课外活动的学生中女生有：（人），
∴若从“艺术”类学生中随机抽取1名女生座谈，恰好抽到女生的概率，
故答案为：．
18. 如图，在中，，将绕着点旋转（至，旋转后的点落在上的点处，是的角平分线，则__．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质、角平分线的定义、等边对等角、三角形的外角性质以及三角形的内角和等知识，观察图形、分析角的关系是解题的关键，根据旋转的性质、角平分线的定义、三角形的外角性质、等边对等角，得出，，然后根据三角形的内角和定理，得出，则，求解即可．
【详解】解：∵将绕着点旋转（）至，
∴，，
∵是的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值、二次根式的混合运算、负整数指数幂、求绝对值和算术平方根，先计算特殊角三角函数值、负整数指数幂、绝对值和二次根式，再计算加减即可，熟练掌握知识点、正确计算是解题的关键．
【详解】解：
．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【解析】
【分析】本题主要考查了分式化简求值．先将原式的分子、分母进行因式分解，再将除法化乘法，化简后代值求解即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
21. 某校舞蹈队共名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：），数据整理如下：
．名学生的身高：
，，，，，，，，，，，；
．名学生的身高的平均数、中位数、众数：
（1）表中 ， ；
（2）对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好，据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是 （填“甲组”或“乙组”）；
（3）该舞蹈队要选五名学生参加比赛，已确定三名学生参赛，他们的身高分别为，，，他们的身高的方差为在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为 和 ．
【答案】（1）；
（2）甲组 （3）；
【解析】
【分析】本题考查了平均数、中位数、众数和方差，熟练掌握中位数、众数和方差的知识点是解题的关键．
（1）根据中位数和众数的定义得出答案即可；
（2）根据方差的计算公式计算方差，然后根据方差的意义进行比较，得出答案即可；
（3）根据方差进行分析计算，得出答案即可．
【小问1详解】
解：数据按由小到大的顺序排序：，，，，，，，，，，，，
则舞蹈队名学生身高的中位数，众数，
故答案为：；；
【小问2详解】
解：甲组学生身高的平均值是：，
甲组学生身高的方差是：，
乙组学生身高的平均值是：，
乙组学生身高的方差是：，
∵，
∴甲组舞台呈现效果更好．
故答案为：甲组；
小问3详解】
解：∵已选168，168，172，
∴从剩下舞蹈队学生的身高“，，，，，，，，”中再选两名，
又∵所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，
∴先选择剩下的最大的两名，，，
平均数为：，
方差：，符合题意，
∴选出的另外两名学生的身高分别为和，
故答案为：；．
22. 为了满足市民的需求，某市在一条小河的两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图：①；②．经勘测，点在点的正东方，点在点的正北方千米处，点在点的正西方千米处，点在点的北偏东方向，点在点的正南方，点在点的南偏西方向．由于时间比较宽松，小明决定选择一条较长线路进行锻炼，请计算说明小明应该选择线路①还是线路②呢？（参考数据：，）
【答案】小明应该选择线路①
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的相关定义、特殊角三角函数值是解题的关键．
过点作于点，根据题意可得四边形是矩形，进而得出，然后解直角三角形，分别求出线路①和线路②的总路程，比较即可．
【详解】解：如图，过点作于点，
又∵点在点的正东方，点在点的正北方千米处，点在点的正西方千米处，点在点的北偏东方向，点在点的正南方，点在点的南偏西方向，
∴，，，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵在中，，，
∴，，
∴，
∵在中，，
∴，，
∴路线①的长度为，
路线②的长度为，
∵，
∴小明应该选择线路①．
23. 某中学为更好地课后服务学生，丰富学生课余生活，计划从体育用品专店一次性购置若干个同一品牌足球和篮球．经协商，购置3个足球和2个篮球共需310元，购置2个足球和5个篮球共需500元．问：
（1）购置一个足球和一个篮球各需多少元?
（2）根据学校对学生课后爱好情况统计分析，需一次性购置足球和篮球共96个，但学校要求购置足球和篮球的总费用不得超过5720元，该校最多可以购置多少个篮球?
【答案】（1）购买一个足球需要50元，购买一个篮球需要80元；
（2）这所学校最多可以购买30个篮球．
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式解实际问题的运用，解答本题时找到建立方程的等量关系和建立不等式的不等关系是解答本题的关键．
（1）设购买一个足球、一个篮球分别为x、y元，根据购买3个足球和2个篮球共需310元，购买2个足球和5个篮球共需500元，列出方程组，再进行求解即可得出答案；
（2）设最多买篮球a个，则买足球个，根据购买足球和篮球的总费用不超过5720元建立不等式求出其解即可．
【小问1详解】
解：设购买一个足球需要x元，购买一个篮球需要y元，
列方程组得： ，
解得：，
答：购买一个足球需要50元，购买一个篮球需要80元；
【小问2详解】
设购买了a个篮球，则购买了个足球．列不等式得：
，
解得，
∵a为正整数，
∴a最多可以购买30个篮球．
∴这所学校最多可以购买30个篮球．
24. 如图，四边形是矩形，点E，F分别在的延长线上，．

（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）．
【解析】
【分析】（1）利用证明，推出，，再证明，推出，即可证明四边形是平行四边形；
（2）利用勾股定理求得，利用正弦函数求得，由相似三角形的性质求得，再解直角三角形即可求解．
【小问1详解】
证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了解直角三角形，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
25. 如图，是的直径，点是上一点，延长到点，使得，点在的延长线上，点是线段上一点，交于、交于．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求证：
（3）若，，，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查了圆的切线的判定定理、直径所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质、勾股定理、圆的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）由是的直径得，结合已知，推出，即可证明是的切线；
（2）根据，结合是的切线，推出，根据是的直径，得出，结合已知，推出，证明，则，即可证明；
（3）根据是的直径，得出，结合已知，证明，则，得出，计算求出，根据取舍，根据勾股定理计算，再得出的半径，计算出的面积即可．
【小问1详解】
证明：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴是的切线；
【小问2详解】
证明：∵，由（1）得是的切线，
∴，
又∵，
∴，即，
∵是的直径，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：∵是的直径，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
解得：或，
当时，，
当时，，
∵，即，
∴，
∴，
∴的半径，
∴的面积．
26. 如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点是抛物线上一个动点．

（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）当点的坐标为时，求四边形的面积；
（3）当动点在直线上方时，在平面直角坐标系内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，点的坐标为或
【解析】
【分析】（1）把，代入中求解，得出抛物线的函数表达式即可；
（2）连接、、、，过点作于点，利用点的坐标得出出线段、、、、的长度，再根据，进行计算即可；
（3）当为矩形的边时，四边形为矩形，交轴于点，交轴于点，连接，过点作轴于点，过点作轴于点，利用等腰直角三角形的判定与性质及矩形的判定与性质得到，利用待定系数法求得直线的解析式与抛物线的解析式联立方程组求得点的坐标，则，进而得到、的长度，即可得出点的坐标；当为对角线时，四边形为矩形，过点作轴于点，轴于点，证明，得出，设，，表示出，，，，，得出方程，整理、分解因式得，则或，求解并取舍，求出、，即可得出点的坐标．
【小问1详解】
解：把，代入得：，
解得：，
∴该抛物线的函数表达式为；
【小问2详解】
解：如图，连接、、、，过点作于点，

∵点的坐标为，
∴，，
∵时，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴
；
【小问3详解】
解：存在，
如图，当为边时，四边形为矩形，交轴于点，交轴于点，连接，过点作轴于点，过点作轴于点，

∵，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴和为等腰直角三角形，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴和为全等的等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立方程组得，
解得或，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，当为对角线时，四边形为矩形，过点作轴于点，轴于点，

则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，，
∵，，动点在直线上方，
∴，，或，
∴，
∴，，，，
∴，
整理得：，
，
分解因式得：，
∴或，
解得：（舍去），（舍去），，
∴，，
∴此时点的坐标为．
综上所述，在平面直角坐标系内存在点，使得以、、、为顶点的四边形是矩形，点的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质、求函数解析式、一次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质、矩形和正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点、分类讨论、数形结合是解题的关键．停车时间
收费方式
3元/小时，该时段最多收18元．
1元/小时，该时段最多收10元．
若进场时间与离场时间不在同一时段，则两时段分别计费
平均数
中位数
众数
甲组学生的身高
乙组学生的身高