广西壮族自治区南宁市武鸣区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列属于最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】判断最简二次根式的两个条件：不含分母（小数），不含开得尽方的因数或因式是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】解：A、属于最简二次根式；
B、，故本项不是最简二次根式；
C、，故本项不是最简二次根式；
D、，故本项不是最简二次根式；
故选：A．
【点睛】在判断最简二次根式的过程中要注意：①在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；②在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．
2. 以下列长度的线段为边，能构成直角三角形的是（ ）
A. 1，2，5B. 1，，4C. 2，3，4D. 3，4，5
【答案】D
【解析】
【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．
【详解】解：A、因为，所以1，2，5三条线段不能组成直角三角形；
B、因为，所以1，，4三条线段不能组成直角三角形；
C、因为，所以2，3，4三条线段不能组成直角三角形；
D、因为，所以3，4，5三条线段能组成直角三角形．
故选：D．
【点睛】此题考查勾股定理逆定理的运用，注意数据的计算，理解并掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
3. 如图，在平行四边形中，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由平行四边形的性质可得，由平行线的性质可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠C＝∠A＝130°，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题关键．
4. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，若DE=4，则BC等于（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】解：∵D、E分别是AB、AC边上的中点，DE=4，
∴BC=2DE=2×4=8，
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
5. 如果一个平行四边形相邻两边的长分别为5和3，那么它的周长是（ ）
A 6B. 10C. 16D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的周长＝2（a+b）可得．
【详解】∵平行四边形的两组对边相等，且相邻两边的长分别为5和3，
∴平行四边形的四边为5，3，5，3，
∴平行四边形的周长＝16，
故选C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练运用平行四边形的性质解决问题是本题的关键．
6. 下列运算错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．
【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，所以A选项的计算错误；
B、，所以B选项的计算正确；
C、，所以C选项的计算正确；
D、，所以D选项的计算正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算．熟练掌握法则是解题的关键
7. 数学老师用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个如图1所示的菱形教具，此时测得，对角线长为，改变教具的形状成为如图2所示的正方形，则正方形的边长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接，根据菱形的性质可知，，可判定是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，故正方形的边长为．
【详解】解：如图，连接，

∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴正方形的边长是，
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质并灵活运用，菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
8. 下列命题正确的是（ ）
A. 对角线相等的四边形是矩形B. 如果，那么且
C. 如果，那么D. 四边相等的四边形是菱形
【答案】D
【解析】
【分析】根据矩形的判定，菱形的判定，等式和不等式的性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，原命题是假命题，不符合题意；
B、如果，那么同号，同为正或同为负，原命题是假命题，不符合题意；
C、如果，那么或，原命题是假命题，不符合题意；
D、四边相等的四边形是菱形，原命题是真命题，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查判断命题的真假．熟练掌握矩形的判定，菱形的判定，等式和不等式的性质，是解题的关键．
9. 已知四边形，下列条件中不能确定四边形是平行四边形的是（ ）
A. 且B. 且
C. 且D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定定理判断即可;
【详解】A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可确定四边形是平行四边形，不符合题意；
B、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可确定四边形是平行四边形，不符合题意；
C、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
D、不能确定是平行四边形，有可能是等腰梯形，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键，平行四边形的五种判定方法：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四匹边形是平行四边形．
10. 小华新买了一条跳绳，如图1，他按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯屈，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图1抽象成如图2，若两手握住的绳柄两端距离约为1米，小臂到地面的距离约1.2米，则适合小华的绳长为（ ）
A. 2.2米B. 2.4米C. 2.6米D. 2.8米
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理，作于，由题意可得：，，，由等腰三角形的性质可得，由勾股定理可得，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，作于，
，
由题意可得：，，，
，
，
，
，
适合小华的绳长为2.6米，
故选：C．
11. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1+S4＝125，S3＝46，则S2＝（ ）
A. 171B. 79C. 100D. 81
【答案】B
【解析】
【分析】连接BD，利用勾股定理的几何意义解答．
【详解】由题意可知：S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝CD2，S4＝AD2，
连接BD，
在直角△ABD和△BCD中，
BD2＝AD2+AB2＝CD2+BC2，
即S1+S4＝S3+S2，
因此S2＝125﹣46＝79，
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边．
12. 正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC边上，是等边三角形．以下结论：①；②；③；④EF的垂直平分线是直线AC．正确结论个数有（ ）个．

A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可证△ABF≌△ADE，可得BF＝DE，即可得EC＝CF，由勾股定理可得EF＝EC，由平角定义可求∠AED＝75°，由AE＝AF，EC＝FC可证AC垂直平分EF，则可判断各命题是否正确．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠C＝∠D＝∠DAB＝90°，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE＝AF＝EF，∠EAF＝∠AEF＝60°，
∵AD＝AB，AF＝AE，
∴△ABF≌△ADE，
∴BF＝DE，
∴BC−BF＝CD−DE，
∴CE＝CF，故①正确；
∵CE＝CF，∠C＝90°；
∴EF＝CE，∠CEF＝45°；
∴AF＝CE，
∴CF＝AF，故③错误；
∵∠AED＝180°−∠CEF−∠AEF；
∴∠AED＝75°；故②正确；
∵AE＝AF，CE＝CF；
∴AC垂直平分EF；故④正确．
故选C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定，熟练运用这些性质和判定是解决本题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13. 要使二次根式有意义，字母x必须满足的条件是________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件即可求解，熟练掌握二次根式有意义的条件：“二次根式有意义的条件，二次根号下的式子为非负数”是解题的关键．
【详解】解：依题意得：，
解得：，
故答案为：．
14. 在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝100°，则∠A＝__．
【答案】50°．
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质即可求解.
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
∵∠A+∠C＝100°，
∴∠A＝50°，
故答案为：50°．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行四边形的性质.
15. 在Rt△ABC中，∠ C＝90°，∠ B＝30°，最短边上长为5cm，则最长边上的中线长是__________．
【答案】5cm
【解析】
【分析】根据含30度角的直角三角形性质求出AB，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．
【详解】∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝10cm，
∵CD是AB的中线，
∴CD＝AB＝5cm．
故答案为：5cm．
【点睛】本题主要考查对直角三角形斜边上的中线，含30度角的直角三角形等知识点的理解和掌握，能求出AB和得到CD＝AB是解此题的关键．
16. 如图，平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于E点，已知AB＝4，AD＝6，则DE长为___．
【答案】2
【解析】
【分析】利用平行四边形的性质可得出AD∥BC，由角平分线的定义可得出∠ABE＝∠CBE，由AD∥BC可得出∠AEB＝∠CBE，利用等角对等边可求出AE的长，即可求出DE的长．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠ABE
∴AE＝AB＝4，
∵DE＝AD-AE＝2，
故答案为：2
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、角平分线以及等腰三角形的性质与判定，利用平行四边形的性质及等腰三角形的性质与判定，求出AE的长是解题的关键．
17. 如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了_____步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．．

【答案】4
【解析】
【分析】先根据勾股定理求出斜边的长，与直角边进行比较即可求得结果．
【详解】解：依据题意可得：，
，
少走了，
2步为1米，
，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，会用勾股定理解决问题是解题的关键．
18. 如图，菱形的对角线，相交于点O，且，．点P是边上一动点（不与点B，点C重合），于点E，于点F，则的最小值为____________．
【答案】
【解析】
【分析】连接，根据菱形的性质得到，，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，即可得到，当时，最小，然后根据三角形的面积公式即可求得最小值．
【详解】连接，
∵四边形是菱形，
∴，且，
∴，
∵于点E，于点F，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵当取得最小值时，也最小，
∴当时，最小，
∵，，，
∴，，，，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：
【点睛】本题考查了矩形的判定定理和性质，菱形的性质，直角三角形中30°角对应的直角边和斜边的关系，熟练掌握垂线段最短是解题的关键
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的加减法．先化简，再进行减法运算即可．
【详解】解：
．
20. 计算：．
【答案】3
【解析】
【分析】先计算二次根式除法，再算加减，即可解答．
【详解】解：


．
【点睛】本题考查了二次根式混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21. 小明将要组织策划社区龙年春节联欢活动，活动需要准备一块会场背景板，形状如图所示．具体要求如下：在四边形中，连接，，米，米，米，米．
（1）求线段的长；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）线段的长为5米；
（2）（平方米）
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积公式等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）由勾股定理求出的长即可；
（2）由勾股定理的逆定理证出是直角三角形，且，然后由三角形面积公式求出四边形的面积即可．
【小问1详解】
解：，米，米，
（米，
即线段的长为5米；
【小问2详解】
解：，米，米，米，
，
是直角三角形，且，
（平方米）．
22. 在四边形中，，，，，求证四边形是平行四边形．

【答案】见解析
【解析】
【分析】此题考查平行四边形的判定，勾股定理．根据勾股定理得出，进而利用平行四边形的判定解答即可．
【详解】证明：，，，
，
，
，
四边形为平行四边形．
23. 如图，点E是矩形的边上的一点，且．

（1）尺规作图（请用铅笔）：作的平分线，交的延长线于点F，连接．（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）试判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）四边形菱形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意结合尺规作角平分线的方法作图即可；
（2）根据矩形的性质和平行线的性质得出，结合角平分线的定义可得，则，然后根据平行四边形和菱形的判定定理得出结论．
【小问1详解】
解：如图所示：
【小问2详解】
四边形是菱形；
理由：∵矩形中，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是菱形．
【点睛】本题主要考查了尺规作角平分线，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定以及菱形的判定等知识，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．
24. 【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度．
【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．
【实践探究】设计测量方案：第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米；第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离为5米；
【问题解决】设旗杆的高度为x米，通过计算即可求得旗杆的高度．
（1）依题知 米，用含有x的式子表示为 米；
（2）请你求出旗杆的高度．
【答案】（1）5；
（2）12米
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
（1）根据“测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为5米”和“测得多出部分绳子的长度是1米”填空；
（2）因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．
小问1详解】
解：根据题意知：米，米．
故答案为：5；；
【小问2详解】
解：在直角中，由勾股定理得：
，
即．
解得．
答：旗杆的高度为12米．
25. 如图，在平面直角坐标系中，矩形，，．在上取一点D，沿折叠，点B恰好落在上的点E处．
（1）点E的坐标为 ；
（2）求的周长；
（3）动点P从点C出发沿边以每秒1个单位的速度向终点B运动．设点P运动的时间为秒．另一动点Q从点O出发以每秒2个单位的速度，在上往返运动，P，Q两点同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当以O、P、B、Q为顶点的四边形是平行四边形时，请求出t的值．
【答案】（1）
（2）的周长为6
（3）时，以O、P、B、Q为顶点的四边形是平行四边形
【解析】
【分析】（1）根据折叠和矩形的性质可求出，在中，根据勾股定理求出，即可求解；
（2）先求出，然后根据三角形周长公式求解即可；
（3）由知，要使以O、P、B、Q为顶点的四边形是平行四边形，则有，然后分点Q没有到达点A，点Q到达点A后两种情况讨论．
【小问1详解】
解：（1）∵矩形沿折叠，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
【小问2详解】
解：由题意得：，，
由（1）知，
∴，
∴的周长；
【小问3详解】
解：由题意可知，
当点Q没有到达点A时，，
∴，
当点Q到达点A后，返回时，，
∴，
此时点P与点B重合，不合题意舍去．
综上所述，时，以O、P、B、Q为顶点的四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，平行四边形的性质，一元一次方程的应用等知识，明确题意，合理分类讨论是解题的关键．
26. 探究与证明（八下教材63页《丰富多彩的正方形》）
【课本再现】
（1）如图，正方形的对角线交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的 ．
【类比迁移】
（2）如图，等腰三角形中，，D是斜边的中点，点D又是直角三角形的直角顶点，，绕点D转动，分别与交于M、N，若，请直接写出两个三角形重叠部分的面积 ．
【探索发现】
（3）小刚发现（1）在转动过程中，若边能与边交于点E、F，线段都存在一定的数量关系，请写出数量关系式，并加以证明．
【答案】（1）；（2）；（3），证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定：
（1）①当正方形绕点绕点O转动到其边分别于正方形的两条对角线重合这一特殊位置时，显然；②当正方形绕点绕点O转动到如图位置时，由正方形的性质可得，，，由“”可证，可求解；
（2）连接，仿照仿照（1），，即可可得；
（3）连接EF，由全等三角形的性质可得，则，则由勾股定理可得，则．
【详解】解：（1）①当正方形绕点绕点O转动到其边分别于正方形的两条对角线重合这一特殊位置时，显然，
②当正方形绕点绕点O转动到如图位置时．
四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，
四边形的面积正方形的面积，
综上所知，无论正方形绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的．
故答案为：；
（2）连接，
∵，D是斜边的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴两个三角形重叠部分的面积；
故答案为：1；
（3）．
证明：
由（1）知，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴
∴．