河南省漯河市第三初级中学2023-2024学年七年级下学期5月期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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第I卷（选择题）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 实数（相邻两个1之间依次多一个0），其中无理数（ ）个．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）判断即可．无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，因此，
【详解】∵，∴，0，，是有理数.
∴无理数有：﹣π，0.1010010001…．共有2个.
故选B.
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…等有这样规律的数．
2. 如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先判断出小手盖住的点在第三象限，再根据第三象限内点的横坐标与纵坐标都是负数解答即可．
【详解】由图可知，小手盖住的点的坐标位于第三象限，
（﹣4，﹣5）（﹣4，5）（4，5）（4，﹣5）中，只有（﹣4，﹣5）在第三象限，
所以，小手盖住的点的坐标可能为（﹣4，﹣5）．
故选A．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
3. 如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的度数是（ ）

A. 20°B. 30°C. 50°D. 70°
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，首先求出和，再根据平行线的性质求出和即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
4. 下列说法：①有理数与数轴上点一一对应；②1的平方根是它本身；③立方根是它本身的数是0，1；④对于任意一个实数，都可以用表示它的倒数．⑤任何无理数都是无限不循环小数．正确的有（ ）个．
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据实数与数轴、求一个数的平方根和立方根、倒数以及无理数的定义逐项判定即可．
【详解】解：①实数与数轴上的点一一对应；故①错误；
②1的平方根是，故②错误；
③立方根是它本身的数是0，1和，故③错误；
④对于除零以外的任意一个实数，都可以用表示它的倒数，故④错误；
⑤任何无理数都是无限不循环小数，符合无理数是无限不循环小数的定义，故⑤正确．
故选：B
【点睛】本题考查实数与数轴、求一个数的平方根和立方根、倒数以及无理数的定义，解答关键熟练掌握相关概念和性质，并应用其进行判定．
5. 如图，表示弘义阁的点的坐标为，表示本仁殿的点的坐标为，则表示中福海商店的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
6. 如图，在平面直角坐标系中用大小形状完全相同的长方形纸片摆成如图图案．已知点，则长方形的面积为（ ）
A. B. C. D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形，二元一次方程的应用，有理数乘法的应用，利用数形结合的思想，正确列方程求出长方形的长和宽是解题关键．设长方形的长为，宽为，根据坐标列二元一次方程，求出长方形的长和宽，即可得到答案．
【详解】解：设长方形的长为，宽为，
由直角坐标系可知，，解得：，
长方形的面积，
故选：C
7. 方程组的解，的值互为相反数，则的值是（ ）
A. B. 2C. 0.5D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组等知识．根据相反数的定义得到，代入方程组得，即可求出a的值．
【详解】解：∵，互为相反数，
∴，
∴，
把代入方程组得
得，
解得．
故选：B
8. 已知点P(a，b)到x轴的距离是2，到y轴的距离是5，且，则P点的坐标是( )
A. (5，2)B. (2，−5)
C. (5，2)或(5，−2)D. (2，−5)或(5，2)
【答案】C
【解析】
【分析】由题意得：|b|=2, |a|=5，再根据|a﹣b|=a﹣b可得a﹣b≥0，即a≥b，写出符合条件的点P的坐标即可.
【详解】由题意得：|b|=2, |a|=5，即b=±2，a=±5，
∵|a﹣b|=a﹣b，
∴a﹣b≥0，
∴a≥b，
∴当a=5时，b=﹣2；当a=5时，b=2.
∴点P的坐标是(5，2)或(5，−2).
故选C.
【点睛】本题关键在于由点到坐标轴的距离推出点的横纵坐标.
9. 某商场按定价销售某种商品时，每件可获利元；按定价八折销售该商品件与将定价降低元销售该商品件利润相等．设该商品的进价、定价分别为，则可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设该商品的进价、定价分别为，根据题意列出方程组即可求解，根据题意，找到等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【详解】解：设该商品进价、定价分别为，
根据题意得，，
故选：．
10. 如图，长方形的各边分别平行于轴、轴，物体甲和物体乙由点同时出发，沿长方形的边做环绕运动，物体甲按逆时针方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，物体乙按顺时针方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动则两个物体运动后的第2024次相遇地点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了点坐标的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键．
由图可知，矩形的周长为，则甲、乙两个物体每次相遇的时间间隔为秒，即甲、乙两个物体相遇点依次为，，，……，可知相遇点每3次为一个循环，由，求解作答即可．
【详解】解：由图可知，矩形的周长为，
∴甲、乙两个物体每次相遇的时间间隔为秒，
∴甲、乙两个物体相遇点依次为，，，……
∴相遇点每3次为一个循环，
∵，
∴第2024次相遇地点的坐标是，
故选：A．
第II卷（非选择题）
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 已知，，，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，根据结合已知条件即可得到答案．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 若与是某个正数的平方根，则这个正数是__________．
【答案】或1
【解析】
【分析】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义，利用分类讨论思想求出的值是解此题的关键．根据平方根的定义得出或，求出，再求出的值，即可求出个正数．
【详解】解：∵与是一个正数的平方根，
∴或，
解得：或，
∴或1，
∴这个正数是或1，
故答案为：或1．
13. 已知、、在数轴上的位置如图，化简：__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，先算开方和绝对值，再算加减即可．
【详解】解：由数轴可知，，
∴
故答案为：．
14. 如图，第一象限内有两点，，将线段平移，使点P、Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是____．
【答案】或##或
【解析】
【分析】此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减；设平移后点P、Q的对应点分别是、，分两种情况进行讨论：①在y轴上，在x轴上；②在x轴上，在y轴上，再按平移的特征分别求解即可；
【详解】解：设平移后点P、Q的对应点分别是、，
当在y轴上，在x轴上，
则横坐标0，纵坐标为0，
，
，
点P平移后的对应点的坐标是，
当在x轴上，在y轴上，
则纵坐标为0，横坐标为0，
，
，
点P平移后的对应点的坐标是．
综上所述，点P平移后的对应点的坐标是或．
15. 如图，，平分，平分，，，则下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥．其中结论正确的是__________．
【答案】①②④⑤⑥
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．根据垂直得到， 根据平行线的性质得到；判断①；由角平分线的定义得到，，根据垂直的定义得到，判断②；由平行线的性质和角平分线可得，即可得到，再根据角平分线求出判断③；根据垂直的定义得到，求得，根据角的和差得到，等量代换得到，判断④；根据角平分线可以求出根据角的和差得到判断⑤；根据，判断⑥．
【详解】∵
∴
∵，
∴，
所以①正确；
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
所以②正确；
∵，，
∴，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
所以③错误；
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴；
所以④正确；
∵，平分，
∴，
又∵
∴，
∴
所以⑤正确；
∵，
∴，
所以⑥正确．
正确的有①②④⑤⑥，
故答案为：①②④⑤⑥．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16.
（1）计算：．
（2）解方程：．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）先分别求算术平方根，立方根，绝对值，然后进行加减运算即可；
（2）利用平方根解方程即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：，
，
，
解得，或．
【点睛】本题考查了算术平方根，立方根，绝对值，利用平方根解方程等知识．熟练掌握算术平方根，立方根，绝对值，利用平方根解方程是解题的关键．
17. 解方程组
（1）
（2）
【答案】（1）；（2） ．
【解析】
【分析】（1）利用加减消元法解之即可，
（2）利用加减消元法解之即可．
【详解】（1），
②×4+①得：
11x=22，
解得：x=2，
把x=2代入②得：
4-y=5，
解得：y=-1，
方程组的解为：，
（2）原方程组可整理得：
，
①+②得：6x=18，
解得：x=3，
把x=3代入①得：
9-2y=8，
解得：y=0.5，
方程组的解为： ．
【点睛】此题考查解二元一次方程组，正确掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
18. 已知的算术平方根是4，b是1的立方根，c是的整数部分，求的平方根．
【答案】
【解析】
【分析】利用平方根和立方根的定义，先求出，的值，再利用，估算出，从而确定出的值，代入求出的值，最后利用平方根的定义求出最后结果即可．
【详解】解：，
，解得：，
是的立方根，
，
，
，
的整数部分是，
，
，
的平方根．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，平方根和立方根，正确得出，，的值是解答本题的关键．
19. 如图所示，三角形ABC（记作ABC）在方格中，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，三个顶点的坐标分别是A(－2，1)，B(－3，－2)，C(1，－2)，先将ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到A1B1C1．
（1）在图中画出A1B1C1；
（2）点A1，B1，C1的坐标分别为 、 、 ；
（3）求三角形ABC的面积；
（4）若y轴上有一点P，使PBC与ABC面积相等，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）见解析；（2）、、；（3）6；（4）P点坐标为或
【解析】
【分析】（1）先根据平移的方式画出点A1、B1、C1的坐标，再顺次连接即可；
（2）根据坐标系中平移的规律：上加下减、左减右加解答即可；
（3）直接利用三角形的面积公式计算即可；
（4）先求出点P到BC的距离，再分点P在BC上方和点P在BC下方两种情况求解即可．
【详解】解：（1）△A1B1C1如图所示：
（2）、、；
故答案为：、、；
（3）△ABC的面积=；
（4）设P到BC的距离为h，则，解得：，
当点P在BC上方时，点P的坐标为（0，1）；
当点P在BC下方时，点P的坐标为（0，﹣5）；
所以P点坐标为或．
【点睛】本题考查了坐标系中平移作图、求点的坐标以及三角形的面积等知识，属于常考题型，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
20. 小米、大豆两人同时解方程组，小米一边做作业一边看电视，不小心看错了①中的，解得，大豆一边做作业一边吃零食，一走眼，看错了②中的，解得．求原方程组的解．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组等知识．熟练掌握二元一次方程组的解，解二元一次方程组是解题的关键．
将代入得，，解得，；将代入得，，解得，，即原方程组为，然后利用加减消元法解方程组即可．
【详解】解：将代入得，，
解得，；
将代入得，，
解得，，
∴原方程组为，
得，，
解得，，
将代入①得，，
解得，，
∴．
21. 如图，已知，且．

（1）求证：；
（2）若平分，且，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定与性质，与角平分线相关的角的计算．熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
（1）利用补角的性质求，即可由平行线的判定定理得出结论；
（2）先证明，由平行线的性质得出，，再根据角平分线的定义求解即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：∵
∴
∵
∴
∴
∴，，
∵平分，
∴
∴．
22. 福清某中学准备组织七年级师生共700人去福州鼓山春游．据了解：客运公司有49座和35座两种型号的客车可供租用，49座客年每辆每天的租金比35座的客车贵200元；4辆49座和2辆35座的客车一天的租金共计4400元．
（1）求49座和35座的客车每辆每天的租金分别是多少元？
（2）若该中学到客运公司租车一天，如何设计租车方案才能保证每辆车均满载且租金最少，最少为多少？
【答案】（1）49座的客车每辆每天的租金是800元，35座的客车每辆每天的租金是600元
（2）租金最少的租车方案为：租用10辆49座的客车，6辆35座的客车，租金最少为11600元
【解析】
【分析】（1）设49座的客车每辆每天的租金是元，35座的客车每辆每天的租金是元，根据“49座客车每辆每天的租金比35座的客车贵200元；4辆49座和2辆35座的客车一天的租金共计4400元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设租用辆49座的客车，辆35座的客车，根据租用的两种客车满载可乘坐700人，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为自然数，可得出各租车方案，再求出各方案所需租金，比较后即可得出结论．
【小问1详解】
解：设49座的客车每辆每天的租金是元，35座的客车每辆每天的租金是元，
根据题意得：，
解得：．
答：49座的客车每辆每天的租金是800元，35座的客车每辆每天的租金是600元；
【小问2详解】
设租用辆49座的客车，辆35座的客车，
根据题意得：，
．
又，均为自然数，
或或，
共有3种租车方案，
方案1：租用20辆35座的客车，所需租金为（元；
方案2：租用5辆49座的客车，13辆35座的客车，所需租金为（元；
方案3：租用10辆49座的客车，6辆35座的客车，所需租金为（元．
，
租金最少的租车方案为：租用10辆49座的客车，6辆35座的客车．
23. 已知，直线分别与直线相交于点G，H，并且．
（1）如图1，求证：；
（2）有一点在直线之间且在直线左侧，连接；
①如图2，当，时，求的度数；
②如图3，是的平分线，交于点O，是的平分线，作．设，，求和满足的数量关系．
【答案】（1）证明见解析
（2）①；②
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义：
（1）根据对顶角线段和已知条件可证明，即可证明；
（2）①如图所示，过点M作，则，由平行线的性质得到，，则；②由（2）①可知，角平分的定义得到，则由平行线的性质可得；再由角平分线的定义和平角的定义得到，即可得到，即.
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解；①如图所示，过点M作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
②由（2）①可知，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
∵，是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴.