内蒙古自治区赤峰市松山区2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题：（本大题10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．）
1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查最简二次根式的判断，解题的关键是掌握最简二次根式的定义：被开方数的因数是整数，因式是整式，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，据此逐一判定即可．
【详解】解：A．，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B．，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
C．中的被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
D．是最简二次根式，故此选项符合题意．
故选：D．
2. 在中，如果，那么的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，掌握“平行四边形对角相等”是解答本题的关键．
详解】解：∵中，
∴．
故选：C．
3. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次根式的运算，二次根式的性质，根据二次根式加法判断A；根据二次根式的减法判断B；根据二次根式的除法判断C；根据二次根式的性质及减法判断D．掌握相应的运算法则和性质是解题的关键．
【详解】解：A．和不同类二次根式不能合并，故此选项不符合题意；
B．，故此选项不符合题意；
C．，故此选项符合题意；
D．，故此选项不符合题意．
故选：C．
4. 若代数式有意义，则的取值范围是 ）
A. B. C. 且D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x－1≥0，根据分式有意义的条件可得x﹣2≠0，再解即可．
【详解】由题意得：x－1≥0且x﹣2≠0，解得：x≥1且x≠2．
故选C．
【点睛】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数，分式分母不为零．
5. 如图，四边形是平行四边形，下列结论中正确的是（ ）

A. 当时，是正方形
B. 当时，是菱形
C. 当是矩形时，
D. 当是矩形时，
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查正方形的判定，菱形的判定及矩形的性质．解题的关键是正确运用判定定理和性质定理依次进行判断即可．
【详解】解：A．∵四边形是平行四边形，当时，是矩形，原结论不正确，故此选项不符合题意；
B．∵四边形是平行四边形，当时，是矩形，原结论不正确，故此选项不符合题意；
C．当是矩形时，，原结论正确，故此选项符合题意；
D．当是矩形时，，原结论不正确，故此选项不符合题意．
故选：C．
6. 如图，在菱形中，对角线，，则的面积为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质，三角形的面积．由菱形的性质得，，，再根据三角形面积公式计算即可．解题的关键是掌握菱形的性质．
【详解】解：∵四边形是菱形，，，
∴，，，
∴，
∴的面积为．
故选：B．
7. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的逆定理以及二次根式的运算，解题的关键是掌握：两边平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形．据此依次进行判断即可．
【详解】解：A．，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B．，能构成直角三角形，故此选项符合题意；
C．，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D．，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意．
故选：B．
8. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺.问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确画出图形，熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键．
【详解】根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，则，，
在中，，
即．
故选D．
9. 历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的图形，其中两个全等的直角三角形的直角边在同一条直线上.证明中用到的面积相等关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而证明勾股定理．
【详解】解：∵由S△EDA+S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD．
可知ab+c2+ab=（a+b）2，
∴c2+2ab=a2+2ab+b2，整理得a2+b2=c2，
∴证明中用到的面积相等关系是：S△EDA+S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD．
故选D．
【点睛】本题考查勾股定理的证明依据．此类证明要转化成该图形面积的两种表示方法，从而转化成方程达到证明的结果．
10. 数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明，小丽和小亮在学习思考后各自尝试作了一种辅助线，如图1，2，其中辅助线作法能够用来证明三角形中位线定理的是（ ）
A. 小丽和小亮的辅助线作法都可以B. 小丽和小亮的辅助线作法都不可以
C. 小丽的辅助线作法可以，小亮的不可以D. 小亮的辅线作法可以，小丽的不可以
【答案】A
【解析】
【分析】用辅助线构造平行四边形，利用平行四边形的性质即可证得．
【详解】解：如图1，延长DE到F，使EF=DE，
∵AE=EC， EF=DE，
∴四边形ADCF为平行四边形
∴ADCF，AD=CF
又∵BD=AD，
∴BDCF，
∴四边形BDFC是平行四边形，
∴DF=BC ，DFBC，
∴，
∴小丽辅助线作法可以．
如图2，过点G作GEAB，过点A作AFBC，
∵GEAB，AFBC，
∴四边形ABGF是平行四边形．
∴AB=FG，
在△AEF和△GEC中，
，
∴△AEF≌△CEG（AAS）
∴EF=GE，AE=EC，AF=GC，
∴AD=EF，BD=EG，
∴四边形ADEF、DBGE是平行四边形，
∴DEBC，，
∴小亮的辅助线作法可以．
故选：A．
【点睛】此题考查了中位线定理的证明，解题的关键是构造平行四边形，根据平行四边形的性质去证明．
二、填空题：（每小题3分，共18分）请把答案填在题后对应横线上．
11. 化简：=______
【答案】.
【解析】
【分析】直接进行分母有理化．
【详解】解：；
故答案为.
【点睛】此题考查了分母有理化和二次根式的性质：．
12. 若实数，满足，则________．
【答案】9
【解析】
【分析】分别用平方的非负性和算术平方根的非负性求出，的值，再代入求值即可．
【详解】解：∵，且，
∴，
∴，
∴，
故答案为：9
【点睛】本题考查代数式求值、平方的非负性和算术平方根的非负性，根据非负数的性质得到，的值是解题的关键．
13. 如图，在中，．，分别是，边中点，，，则的长度为__________；
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，先求出，则，设，则，由勾股定理得到，解方程得到，再由三角形中位线定理即可得到答案．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∵，分别是，边中点，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：．
14. 如图，是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则的度数为__________．
【答案】##150度
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理．由等边三角形的性质得，根据全等三角形的性质得，，，，证明是等边三角形，得，证明，得，可得结论．掌握等边三角形的判定和性质及勾股定理的逆定理是解题的关键．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵，，，，
∴，，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴度数为．
故答案为：．
15. 如图，在中，，，，为边上的高，点P为射线上一动点，当时，的长度为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了含度的角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握含的角的直角三角形的性质是解题的关键．根据直角三角形的性质得到，根据含的角的直角三角形的性质得到，根据勾股定理求解即可．
【详解】如图所示，∵为边上的高，
∴
∵，，
∴，
∴，，
∴．
，
在中，，
在中，，
∴，
故答案为：
16. 已知一个直角三角形的两条边分别为和，那么这个直角三角形的第三条边为_____．
【答案】或
【解析】
【分析】分两种情况：当为直角边时，利用勾股定理求出第三边；当为斜边时，利用勾股定理求出第三边．
【详解】解：当这个直角三角形的两直角边分别为和时，
则该三角形的斜边的长为cm．
当这个直角三角形的一条直角边为，斜边为时，
则该三角形的另一条直角边的长为．
故答案为：或．
【点睛】此题考查勾股定理，题中没有确定已知的两条边长是直角边或是斜边，故应分情况讨论，避免漏解．
三、解答题（本大题共有8个小题，共52分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并且写在每题对应的答题区域内．
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式的运算，先根据二次根式的性质，二次根式的乘法将原式化简，再进行合并即可．掌握相应的运算法则和性质是解题的关键．
【详解】解：
．
18. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查整式的混合运算，二次根式的混合运算，根据平方差公式，单项式乘多项式及完全平方公式将原式化简，再将、的值代入，利用平方差公式计算可得结论．掌握相应的运算法则和公式是解题的关键．
【详解】解：
，
当，时，
原式．
19. 如图，在中，，点是边的中点，连接，过点作的平行线，并在此直线上截取，连接．
（1）判断四边形的形状并请说明理由；
（2）直接写出当满足什么条件时，四边形是正方形．
【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析
（2）当是等腰直角三角形时，四边形是正方形
【解析】
【分析】（1）说明，证明四边形是平行四边形，再根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得到，即可得证；
（2）当是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得出，即可得证．
【小问1详解】
解：四边形是菱形．
理由：∵，点是边的中点，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，点是边的中点，
∴，
∴平行四边形是菱形；
【小问2详解】
当是等腰直角三角形时，四边形是正方形．
理由：∵，且是等腰直角三角形，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
∴，
由（1）知：四边形是菱形，
∴四边形是正方形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，正方形的判定，菱形的判定，直角三角形斜边上的中线性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形三线合一性质．熟练掌握平行四边形的判定及特殊平行四边形的判定，并能进行推理论证是解题的关键．
20. 超速行驶是引发交通事故的主要原因．某数学小组三位同学跟着交警叔叔在腾飞大道路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为的处．这时，一辆红旗轿车由西向东匀速驶来，测得此车从处行驶到处所用的时间为，并测得，请你帮助该小组判断此车是否超过了的限制速度？（）
【答案】此车超过的限制速度，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的应用，根据题意知：，，，得，，再根据勾股定理得出，进而求出小车的速度，再和比较即可．从复杂的实际问题中整理出直角三角形进而利用勾股定理求解是解题的关键．
【详解】解：此车超过的限制速度．
理由：
由题意知：，，，
在中，，
∴，
∴，
∵从处行驶到处所用的时间为，
∴速度为，
∴此车超过的限制速度．
21. 下面是小东设计的“作矩形”的尺规作图过程．
已知：Rt△ABC，∠ABC＝90°，求作：矩形ABCD．
作法：如图，①作线段AC的垂直平分线交AC于点O；
②连接BO并延长，在延长线上截取OD＝OB；
③连接AD，CD．
所以四边形ABCD即为所求作的矩形．
根据小东设计尺规作图过程．
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹，下结论）
（2）为什么这样作出的四边形是矩形？请写出证明过程．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据作图过程即可补全图形；
（2）根据平行四边形的判定方法和矩形的判定方法即可完成证明．
【小问1详解】
解：如图即为补全的图形；
【小问2详解】
证明：由作图知：OA=OC，OD=OB，
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∵∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
22. 阅读材料并解决问题：
像上述解题过程中，与相乘的积不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．
解答下面的问题：
（1）计算： ， ；若为正整数，请你猜想 ；
（2）计算：．
【答案】（1）；；
（2）
【解析】
【分析】(1)根据平方差公式，类比例子解答即可．
(2)根据平方差公式，类比例子解答即可．
本题考查了分母有理化的计算，平方差公式的应用，熟练掌握有理化的依据和计算是解题的关键．
【小问1详解】
，
故答案为：；
，
故答案为：．
，
故答案为：．
【小问2详解】

．
23. 如图，把长方形纸片ABCD折叠，使顶点A与顶点C重合在一起，EF为折痕．若AB＝3，BC＝9．点D对应点是G．
（1）求BE长；
（2）求EF长．
【答案】（1）4；（2）
【解析】
【分析】（1）由翻折可知：AE＝EC，设AE＝EC＝x，则BE＝9﹣x，在Rt△ABE中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
（2）作FH⊥BC于H，则四边形ABHF是矩形，求出FH，EH，利用勾股定理即可解决问题．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
由翻折可知：AE＝EC，设AE＝EC＝x，则BE＝9﹣x，
在Rt△ABE中，∵AB2+BE2＝AE2，
∴32+（9﹣x）2＝x2，
∴x＝5，
∴BE＝9﹣5＝4．
（2）作FH⊥BC于H，则四边形ABHF是矩形，
∴FH＝AB＝3，
∵AD∥BC，
∴∠AFE＝∠FEC，
∵∠FEC＝∠FEA，
∴∠AFE＝∠FEA，
∴AF＝AE＝BH＝5，
∴EH＝BH﹣BE＝1，
∴EF＝＝＝．
【点睛】本题主要考查的是翻折的性质、矩形的性质、勾股定理的应用，熟练掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．小丽的辅助线作法：
延长DE到F，使EF=DE，
连接DC、AF、FC．
小亮的辅助线作法：
过点B作GBAB，
过点A作AFBC，
GE与AF交于点F．