山东省枣庄市峄城区2023-2024学年九年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1．本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟．
2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡中规定的位置上．
3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．
4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．
1. 2023年第31届世界水日宣传语为：珍惜每滴清水，拥有美好明天．世界水日提醒我们节约用水要从生活中的点点滴滴做起．小丽将节约用水3立方米记作立方米，那么浪费用水2立方米记作（ ）
A. 立方米B. 立方米C. 立方米D. 立方米
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了正数与负数，熟练掌握相反意义量的定义是解本题的关键．利用相反意义量的定义判断即可．
【详解】解：如果节约用水3立方米记作立方米，那么浪费用水2立方米记作立方米．
故选：A
2. 如图所示的几何体的俯视图可能是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】解：从上边看，是一个六边形和圆形．
故选：C．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图是解题关键．
3. “中国空间站”入选了2023年全球十大工程成就．空间站离地球距离约为380000米，数据380000用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．
【详解】解：．
故选：C
4. 下列四个2024年巴黎奥运会项目图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，本选项符合题意；
B、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，本选项不符合题意；
C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，本选项不符合题意；
D、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，本选项不符合题意．
故选：A．
5. 在4月份跳绳训练中，妍妍同学一周成绩记录如下：176，178，178，180，182，185，189（单位：次/分钟），这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A. 182，182B. 178，182C. 180，180D. 178，180
【答案】D
【解析】
【分析】根据众数和中位数的定义求解即可．本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义．
【详解】解：这组数据178出现2次，次数最多，
∴这组数据的众数为178，
∵176，178，178，180，182，185，189
∴位于数据的中间位置为180，即这组数据的中位数为180，
故选：D．
6. 已知，计算的值是（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后把代入原式即可求出答案．
【详解】解：
=
=
=，
∵，
∴，
∴原式==1，
故选A.
【点睛】本题考查分式的混合运算及求值．解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则．
7. 《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容是单位）；大容器1个，小容器5个，总容暴为2斛．问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为斛，小容器的容量为斛，则可列方程组是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，根据“大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛”即可得出关于x、y的二元一次方程组．
【详解】解：设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，
根据题意得：．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据数量关系列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键．
8. 如图，将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形．若，则四边形的面积为（ ）
A. 2B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、菱形的面积公式，熟知折叠的性质和菱形的判定方法是解题关键．由折叠可知，，，，由同旁内角互补，两直线平行得，，由平行线的性质可得，，，，，再根据对角线互相垂直平分的四边形为菱形可知四边形为菱形，最后利用菱形的面积公式计算即可求解．
【详解】解：如图，设与交于点，
四边形为矩形，
，，，
根据折叠的性质可得，，，，，
，，
，，，，，
四边形为菱形，
．
故选：B
9. 如图1，在中，，直线l经过点A且垂直于． 现将直线l以的速度向右匀速平移，直至到达点B时停止运动，直线l与边交于点M，与边（或）交于点N． 设直线l移动的时间是，的面积为． ，若y关于x的函数图象如图2所示，则 的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了动点问题函数图像，等腰三角形的性质，勾股定理；根据图形与函数图像求出是解题的关键；过C作于D，观察图像知，当直线l与重合时，y的值最大，此时，则可求得底边上的高，由勾股定理及等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解：过C作于D，如图，
由函数图像知，当直线l与重合时，y的值最大为6，
此时，，
∴，
∵，，
∴，
由勾股定理得：，
∴的周长为，
故选：C．
10. 如图，是抛物线（）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为B（－1，－3），与轴的一个交点为A（－4，0）．直线（）经过点A和点B．以下结论：①；②；③抛物线与轴的另一个交点是（4，0）；④方程有两个不相等的实数根；⑤；⑥不等式的解集为．其中结论正确的是（ ）
A. ①④⑥B. ②⑤⑥C. ②③⑤D. ①⑤⑥
【答案】B
【解析】
【分析】观察图象得：抛物线的对称轴为直线 ，可得到 ；进而得到 同号，再有抛物线开口向上，与 轴交于负半轴，可得 ， ，从而得到 ；再由抛物线的对称轴为直线 ，与轴的一个交点为A（－4，0），可得线与轴的另一个交点为；然后根据抛物线的顶点坐标为B（－1，－3），可得抛物线与直线只有一个交点，从而得到方程有两个相等的实数根；再由观察图象得：当 时， ，根据抛物线的增减性，可得：；最后根据观察图象得：当 时，直线的图象位于抛物线的上方，可得不等式的解集为，即可求解．
【详解】解：观察图象得：抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，即 ，故①错误；
∵，
∴，即 同号，
∵抛物线开口向上，与 轴交于负半轴，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
∵抛物线的对称轴为直线 ，与轴的一个交点为A（－4，0），
∴抛物线与轴的另一个交点为 ，故③错误；
∵抛物线的顶点坐标为B（－1，－3），
∴当时 ， ，
即抛物线与直线只有一个交点，
∴方程有两个相等的实数根，故④错误；
观察图象得：当 时， ，
在对称轴的右侧，抛物线的图象自左向右呈上升趋势，
即此时 随 的增大而增大，
又当 时， ，
∴，故⑤正确；
观察图象得：当 时，直线的图象位于抛物线的上方，
∴不等式的解集为，故⑥正确；
∴正确的有②⑤⑥．
故选：B
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题填对得3分，共18分．只要求在答题纸上填写最后结果．
11. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的大小是______．
【答案】##55度
【解析】
【分析】本题考查实际问题中的求角度，涉及平行线性质、邻补角、三角形外角性质等知识，先由邻补角定义，再由平行线性质得到中的两个内角，再根据图形中是的一个外角，利用外角性质即可得到答案，熟练掌握平行线性质及外角性质求角度是解决问题的关键．
【详解】解：如图所示：
，
，
一束平行于主光轴的光线，
，
是的一个外角，
，
故答案为：．
12. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，以点P为中心，把点A按逆时针方向旋转得到点B，在，，，四个点中，直线经过的点是____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了图形的旋转变换，待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是求出点的坐标．过点作轴于点，根据旋转的性质可得，，进而推出，结合勾股定理可求出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，最后一次将四个点代入直线的解析式中即可求解．
【详解】如图，过点作轴于点，
点，点，
轴，，
由旋转得：，，
，
，，
，
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
直线的解析式为：，
当时，，
点不在直线上，
当时，，
点在直线上，
当时，，
点不在直线上，
当时，，
点不在直线上，
故答案为：．
13. 在平面直角坐标系中有五个点，分别是，，，，，从中任选一个点恰好在第一象限的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据第一象限的点的特征，可得共有2个点在第一象限，进而根据概率公式即可求解．
【详解】解：在平面直角坐标系中有五个点，分别是，，，，，
其中，，在第一象限，共2个点，
∴从中任选一个点恰好在第一象限的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了概率公式求概率，第一象限点的坐标特征，熟练掌握以上知识是解题的关键．
14. 已知关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为__________，另一个根为__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】将代入原方程，解得，根据一元二次方程根与系数的关系，得出，即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为，
∴
解得：，
设原方程的另一个根为，则，
∵
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
15. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是________米．
【答案】
【解析】
【分析】连接交于，连接，根据垂径定理得到，根据勾股定理求出，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：连接交于，连接，
点为运行轨道的最低点，
，
（米，
在中，（米，
点到弦所在直线的距离米，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
16. “莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，弧长公式，熟练掌握等边三角形的性质和弧长公式是解题的关键．根据等边三角形的性质及弧长公式求解即可．
【详解】解：∵等边三角形的边长为3，，
∴，
∴该“莱洛三角形”的周长，
故答案为：．
三、解答题：本题共8小题，满分72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （1）计算：．
（2）解不等式组请按下列步骤完成解答．
解：解不等式①，得____________；
解不等式②，得____________；
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
所以，原不等式组的解集是____________．
【答案】（1）3（2），，见详解，
【解析】
【分析】（1）先化简算术平方根、正弦值、零次幂、绝对值，再运算乘法，最后运算加减，即可作答．
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是含特殊角的三角函数的混合运算以及解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【详解】解：（1）
；
（2），
解不等式①，得；
解不等式②，得；
所以，原不等式组的解集是．
把不等式①和不等式②的解集在数轴上表示出来如下：
18. 东方市教育局为了解本市中学生对海南省学业水平体育科目考试中选考科目（：篮球，：排球，：足球，：跳绳，：游泳）的喜好程度，随机抽取了部分中学生进行调查（每人必选且只能选一项）．图1和图2是整理数据后绘制的两幅不完整的统计图：

根据所给的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查活动中，采取的调查方式是______．（填写“普查”或“抽样调查”）；
（2）这次被调查的学生共有______人；在扇形统计图中“跳绳”所对应圆心角为______度；
（3）若全市共有名学生参加体育考试，请你估计这名学生中约有______人喜欢足球；
（4）在喜欢篮球项目同学中，由于甲，乙，丙，丁四人的成绩突出，现决定从他们中任选两名参加省级比赛．则恰好选中甲，乙两位同学参加的概率是______．
【答案】（1）抽样调查
（2），
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题主要考查调查与统计的相关运用，掌握样本百分比计算样本总量，圆心角的计算方法，列表法或画树状图法求随机事件的概率的方法是解题的关键．
（1）根据题意即可求解；
（2）根据篮球的人数与百分比即可求解抽样人数，根据圆心角度数的计算方法即可求解；
（3）根据样本百分比求总量的方法即可求解；
（4）运用列表法或画树状图法求随机事件的概率即可求解．
【小问1详解】
解：了解本市中学生对海南省学业水平体育科目考试中选考科目（：篮球，：排球，：足球，：跳绳，：游泳）的喜好程度，随机抽取了部分中学生进行调查，
∴是抽样调查，
故答案为：抽样调查；
【小问2详解】
解：篮球有人，所占百分比为，
∴被调查的学生共有：（人），
∴跳绳的人数为：（人），
补全条形图如下，

∴“跳绳”所对应圆心角为：，
故答案为：，；
【小问3详解】
解：（人），
故答案为：；
【小问4详解】
解：列表法或画树状图法把所有选择结果表示出来，如图所示，

共有种等可能结果，恰好选中甲，乙两位同学参加的结果有种，
∴恰好选中甲，乙两位同学参加的概率是，
故答案为：．
19. 国庆节前，某超市为了满足人们的购物需求，计划购进甲、乙两种水果进行销售.经了解，乙种水果的进价比甲种水果的进价多5元，售价如下表所示：
已知用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同．
（1）求甲、乙两种水果的进价；
（2）若超市购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】（1）甲种水果的进价为20元，则乙种水果的进价为25元
（2）购进甲种水果100千克，乙种水果50千克，获得最大利润1550元．
【解析】
【分析】（1）设甲种水果的进价为x元，则乙种水果的进价为（x+5）元，由题意：用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果（150﹣m）千克，利润为y元，由题意得y＝﹣m+1650，再由甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，得m≥2（150﹣m），解得m≥100，然后由一次函数的性质即可得出结论．
【小问1详解】
设甲种水果的进价为x元，则乙种水果的进价为（x+5）元，
由题意得：，
解得：x＝20，
经检验：x＝20是原方程的解，且符合题意，
则x+5＝25，
答：甲种水果的进价为20元，则乙种水果的进价为25元；
【小问2详解】
设购进甲种水果m千克，则乙种水果（150﹣m）千克，利润为y元，
由题意得：y＝（30﹣20）m+（36﹣25）（150﹣m）＝﹣m+1650，
∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，
∴m≥2（150﹣m），
解得：m≥100，
∵﹣1＜0，则y随m的增大而减小，
∴当m＝100时，y最大，最大值＝﹣100+1650＝1550，
则150﹣m＝50，
答：购进甲种水果100千克，乙种水果50千克才能获得最大利润，最大利润为1550元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
20. 如图，正比例函数和反比例函数的图像交于点．

（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线向上平移3个单位后，与轴交于点，与的图像交于点，连接，求的面积．
【答案】（1）
（2）3
【解析】
【分析】（1）待定系数法求函数解析式；
（2）根据平移的性质求得平移后函数解析式，确定B点坐标，然后待定系数法求直线的解析式，从而利用三角形面积公式分析计算．
【小问1详解】
解：把代入中，，
解得，
∴，
把代入中，，
解得，
∴反比例函数的解析式为；
【小问2详解】
解：将直线向上平移3个单位后，其函数解析式为，
当时，，
∴点B的坐标为，
设直线的函数解析式为，
将，代入可得，
解得，
∴直线的函数解析式为，
联立方程组，解得，
∴C点坐标为，
过点C作轴，交于点，

在中，当时，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式，运用数形结合思想解题是关键．
21. 清风湖公园是山东省最大城市公园，是全国首个以展现黄河文化为主题的公园，拥有山东省最大的8000平方米市民健身广场、作为国内最高的音乐喷泉之一、中国唯一的黄河水体纪念碑．多宝塔建在清风岛的至高地台上，是清风湖景区的制高点和视觉中心，也是整个清风湖的点睛之作．多宝塔是仿明清建筑形式，建筑面积716平方米，钢筋混凝土框架结构，阁内三层，设有楼梯人们可以登顶瞭望．为了测量多宝塔的高度，两个数学研学小组设计了不同的方案，测量方案与数据如表：
请选择其中一个方案及其数据计算多宝塔的高．
【答案】多宝塔的高为42米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，相似三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键．
第一小组：根据题意可得：米，，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后列出关于的方程，进行计算，即可解答．
第二小组：根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：第一小组：由题意得：米，，
设米，
∴米，
在中，，
∴米，
在中，，
∴（米），
∴，
解得：，
∴（米），
∴多宝塔的高度约为42米．
第二小组：根据题意得，，，
∴，
∴，
∴，
∴米，
答：多宝塔的高为42米．
22. 如图，在中，，在上取一点D，以为直径作，与相交于点E，作线段的垂直平分线交于点N，连接．
（1）求证：是切线；
（2）若的半径为1，求线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查切线的判定和性质，中垂线的性质，勾股定理：
（1）连接，根据中垂线的性质，等边对等角，推出，进而得到，即可；
（2）连接，设，利用勾股定理进行求解即可．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵是的中垂线，
∴，
∴，
∵是直角三角形，，
∴，
∴，
∴，
即，
∵是半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：如图，连接，
∵的半径为1，
∴，
∵是的中垂线，
∴，
设，则：，
在中，，
在中，，
∴，
即，
解得，
即．
23. 图1是某校园的紫藤花架，图2是其示意图，它是以直线为对称轴的轴对称图形，其中曲线均是抛物线的一部分．
素材1：某综合实践小组测量得到点A，B到地面距离分别为5米和4米．曲线的最低点到地面的距离是4米，与点A的水平距离是3米；曲线BF的最低点到地面的距离是米，与点B的水平距离是4米．
素材2：按图3的方式布置装饰灯带布置好后成轴对称分布，其中垂直于地面，与之间的距离比与之间的距离多2米．
图1 图2 备用图
任务一：（1）在图2中建立适当的平面直角坐标系，求曲线的函数解析式；
任务二：（2）若灯带长度为d米，求的长度（用含d的代数式表示）；
任务三：（3）求灯带总长度的最小值．
【答案】（1）见详解，（2）（3）米
【解析】
【分析】（1）以地面所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，根据题意用待定系数法求解析式即可；
（2）根据图象关于轴对称，可求出点的横坐标，再根据与之间的距离比与之间的距离多2米，可求出点的横坐标，再根据点在曲线上，求出的纵坐标，从而得出的长度；
（3）先用待定系数法求出曲线的解析式，再设灯带总长度为，，根据得出关于的二次函数解析式，根据函数的性质求的最小值即可．
本题考查二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合的思想求解问题．
【详解】解：（1）如图，以地面所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，
设曲线的函数解析式为，
代入得：，
解得：，
曲线的函数解析式为；
（2）长度为米，
，
与之间的距离比与之间的距离多2米，
，
则，
；
（3）设曲线的函数解析式为：，
代入得：，
解得：，
曲线的函数解析式为，
设灯带总长度为，，
则，
，
当时，有最小值，最小值为．
灯带总长度的最小值为米．
24. 如图1，在正方形中，点分别在边上，且，延长到点G，使得，连接．
【特例感知】
（1）图1中与的数量关系是______________．
【结论探索】
（2）图2，将图1中的绕着点A逆时针旋转，连接并延长到点G，使得，连接，此时与还存在（1）中的数量关系吗？判断并说明理由．
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，若，当是以为直角边的直角三角形时，请直接写出的长．
【答案】(1) =，(2)存在，证明见解析，（3）或或16或4．
【解析】
【分析】(1)连接GC，证△CDG≌△CBE，得出△GCE为等腰直角三角形即可；
(2)类似（1）的方法，先证△AFD≌△AEB，再证△CDG≌△CBE，得出△GCE为等腰直角三角形即可；
(3)根据E、F是直角顶点分类讨论，结合（2）中结论，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：(1)连接GC，
∵AE=AF，AD=AB，
∴DF=BE，
∵，
∴DG = BE，
∵∠GDC=∠B=90°，DC=BC，
∴△CDG≌△CBE，
∴CE=CG，∠GCD=∠ECB，
∵∠ECB+∠DCE=90°，
∴∠GCE=∠GCD+∠DCE=90°，
∴=；
故答案为：=；

(2) 存在，连接GC，
∵AE=AF，AD=AB，∠FAE=∠DAB=90°，
∴∠FAD=∠EAB，
∴△FAD≌△EAB，
∴FD=EB=GD，∠FDA=∠EBA，
∵∠GDC+∠FDA=90°，∠EBC+∠EBA=90°，
∴∠GDC=∠EBC，
∵DC=BD，
∴△CDG≌△CBE，
与（1）同理，=；
(3)当∠FEG=90°时，如图1，因为∠FEA=∠GEC=45°，
所以，A、E、C一条直线上，
∵AB=5，
∴AC=5,
CE=5-3=2,
GE=EC=4；
如图2，E在CA延长线上，同理可得，EC=8，
GE=EC=16；
当∠EFG=90°时，如图3，∠AFD=∠EFG+∠AFE=135°，
由（2）得，∠AFD=∠AEB=135°，DF=BE，
所以，B、E、F在一条直线上，作AM⊥EF，垂足为M，
∵，
∴EF=6，AM=ME=MF=3，
，
BE=DF=1,FG=2，
；
如图4，同图3，BE=DF=7，FG=14，EF=6，
，
综上，的长为或或16或4．
【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理和等腰直角三角形的性质，解题关键是恰当的连接辅助线，构造全等三角形；会分类讨论，结合题目前后联系，解决问题．水果单价
甲
乙
进价（元/千克）
售价（元/千克）
30
36
项目课题
测量多宝塔的高度
测量工具
测量角度的仪器，皮尺，平面镜等
测量小组
第一小组
第二小组
测量方案示意图

测量方案与测量数据
甲步行至点处，测得此时多宝塔顶的仰角，再从处沿方向步行21米至点处，此时测得多宝塔顶的仰角（点在同一条直线上，）
在处放一个平面镜，乙在处刚好在平面镜中看到多宝塔顶，测得乙的眼睛到地面的高度米，乙到平面镜的距离米，米（点在同一条直线上，，，平面镜大小忽略不计）
参考数据
，