山东省淄博市桓台县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 矩形、菱形都具有的性质是（ ）
A. 对角线互相平分B. 对角线互相垂直且相等
C. 对角线相等D. 对角线互相垂直
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的性质．由矩形的性质和菱形的性质可直接求解．
【详解】解：∵菱形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线互相平分且相等，
∴矩形、菱形都具有的性质是对角线互相平分，
故选：A．
2. 下列二次根式是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据最简二次根式的概念逐一进行判断即可.
【详解】A. ，故A选项不符合题意；
B. ，故B选项不符合题意；
C. ，故C选项不符合题意；
D. 是最简二次根式，符合题意，
故选D.
【点睛】本题考查了最简二次根式的识别，熟练掌握二次根式的化简以及最简二次根式的概念是解题的关键.
3. 已知关于 x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（ ）
A. B. 且C. 且D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，根据根的判别式和一元二次方程的定义得出且，求出的取值范围即可．能根据题意得出关于的不等式是解此题的关键．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
且，
解得：且，
故选：C．
4. 下列各数中与的积是有理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用平方差公式可知与的积是有理数的为；
【详解】；
故选D．
【点睛】本题考查分母有理化；熟练掌握利用平方差公式求无理数的无理化因子是解题的关键．
5. 三角形两边长分别为3和4，第三边长是方程的根，则三角形周长为（ ）
A. 1.5B. 13C. 12或14D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的求解，三角形三边关系，先利用因式分解的方法求出方程的两个根，根据三角形三边关系确定符合题意的边长，即可求出最后结果．
【详解】解：，
，
，，
角形两边长分别为3和4，第三边长是方程的根，
（舍），
则三角形周长，
故选：D．
6. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，根据“今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元”即可列出方程．
【详解】解：设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，由题意可得
，
故选：B
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找到等量关系，正确列出方程是解题的关键．
7. 如图，矩形，E是的中点，将沿直线折叠后得到，延长交于点F．若，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、三角形中位线的性质以及全等三角形的判定与性质，首先过点E作与M，交于N，易证得，是的中位线，根据全等三角形的性质，即可求得，由折叠的性质，可得，继而求得的值，又由勾股定理，即可求得的长．
【详解】解：如图，过点E作与M，交于N，
四边形是矩形，
，
，
四边形是矩形，
，
由折叠的性质得：，，
，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
8. 已知为实数，且．则的值为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据算术平方根的非负性，可得，则，再将代入原式即可解答．
【详解】解：根据算术平方根的非负性，可得，
解得，
把代入，可得，
，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，求一个数的立方根，根据题意得出，是解题的关键．
9. 已知m为方程的根，那么的值为（ ）
A. B. 0C. 2022D. 4044
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意有，即有，据此即可作答．
【详解】∵m为的根，
∴，且m≠0，
∴，
则有原式=，
故选：B．
【点睛】本题考查了利用未知数是一元二次方程的根求解代数式的值，由m为得到是解答本题的关键．
10. 如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分是一个小正方形，其面积为2，则空白部分的面积为（ ）
A. 6B. 8C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的应用，先算出三个小正方形的边长，再得到大正方形的边长，通过面积的计算得结论．
【详解】解：三个小正方形的面积分别为18、12、2，
三个小正方形的边长分别为、、，
由题图知：大正方形的边长为：，
．
故选：D．
二、填空题（本题共5个小题）
11. 关于的方程的一个根是2，则另一根是_______．
【答案】（或）
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系，即可得到另一根．
【详解】解：∵方程的一个根是2，设另一根是，
∴，
∴；
故答案为：．
12. 若的整数部分为a，小数部分为b，则代数式的值是______．
【答案】2
【解析】
【分析】先由得到，进而得出a和b，代入求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴，
∵ 的整数部分为a，小数部分为b，
∴，．
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查无理数及代数式化简求值，解决本题的关键是要熟练掌握无理数估算方法和无理数整数和小数部分的求解方法．
13. 如图，菱形，P为对角线上一动点，E为边的中点，连接．若菱形的面积为，，则的最小值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查轴对称一最短问题、菱形性质，勾股定理等知识，作于，交于，连接，首先证明与E重合，因为A、C关于对称，所以当P与重合时，的值最小，由此求出即可解决问题．
【详解】如图，作于，交于，连接，
∵菱形的面积为，，
，
，
在中，，
，
与重合，
∵四边形是菱形，
垂直平分，
关于对称，
当P与重合时，的值最小，
最小值为，
故答案为：．
14. 如图，已知四边形是正方形，正方形的边长为2，点B，C分别在两条直线和上，点A，D是x轴上两点，则k=_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可设出点B的坐标，从而可求得点C的坐标，根据正方形的边长，可以得到点C的纵坐标，从而可以求得k的值．
【详解】∵点B在直线上，
∴设B的坐标为，
∵正方形的边长为2，点C在直线上，
∴点C的坐标为，
∴，
∵正方形的边长为2，
∴，得，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质与一次函数图象的结合，能利用正方形的性质表示C点坐标是解题关键．
15. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=5，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是_____．
【答案】
【解析】
【分析】连接AD由PQ垂直平分线段AB，推出DA=DB，设DA=DB=x，在Rt△ACD中，∠C=90°，根据AD2=AC2+CD2构建方程即可解决问题；
详解】解：连接AD．
∵PQ垂直平分线段AB，
∴DA=DB，设DA=DB=x，
在Rt△ACD中，∠C=90°，AD2=AC2+CD2，
∴，
解得x=，
∴CD=BC﹣DB，
故答案为：．
【点睛】本题考查基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
三、解答题（本题共8个小题）
16. 化简：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式混合运算，二次根式的性质化简，平方差公式，完全平方公式的运用，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）先根据二次根式性质化简，再从左往右以此计算即可；
（2）先利用平方差公式，完全平方公式计算，再从左往右以此计算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
．
17. 解方程：
（1）（用配方法解）；
（2）（用公式法解）．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键．
（1）利用配方法进行求解即可；
（2）利用公式法进行求解即可．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
，
，；
【小问2详解】
，
，，，
，
，
．
18. 已知：如图，∠ACB=∠ADB=90°，点E、F分别是线段AB、CD的中点．求证：EF⊥CD．
【答案】详见解析.
【解析】
【分析】连接DE、CE，根据E是AB中点，可得CE= AB，同理可得出DE=CE，再根据F是CD中点，等腰三角形的性质可得出结论.
【详解】证明：连接DE、CE，
∵△ABC中，∠ACB=90°，E是AB中点，
∴CE=AB，
同理可得，DE=AB，
∴DE=CE．
∵△CDE中，F是CD中点，
∴EF⊥CD．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握等腰三角形的性质.
19. 已知，关于x的一元二次方程．试判定该方程的根的情况．
【答案】原方程总有两个实根
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，根据结合当时一元二次方程有两个实数根，当时一元二次方程有一个实数根，当时一元二次方程没有实数根，进行作答即可．
【详解】证明：
不论k取何实数，总有
∴
∴原方程总有两个实根．
20. 已知，．求的值．
【答案】15
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式变形求值，平方差公式的运用，先根据题求出，，再将原式变形，最后代入计算即可．
【详解】解：，，
，，
，
∴ 原式．
21. 如图，在菱形中，，点，将对角线三等分，且，连接，，，．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）求菱形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形性质与判定，勾股定理：
（1）如图1中，连接交于点．首先证明四边形是平行四边形，再根据对角线垂直，证明四边形是菱形．
（2）求出菱形的对角线的长，利用菱形的面积等于对角线乘积的一半解决问题即可．
【小问1详解】
解：证明：如图1中，连接交于点．
四边形是菱形，
，，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
【小问2详解】
四边形是菱形，
，，
，，
，，
．
22. 为确保安全出行，交警提醒骑车出行必须戴头盔．某头盔品牌厂商在各大电商平台共有100个网店，一个网店平均每月售出1000个头盔，现准备多开一些网店以提高销售量．试验发现，每多开一个网店，每个网店头盔月销售量就会减少2个，但随着网店数量增加，运营成本也会增加．如果要使每月总销售量增加，且尽可能减少运营成本，那么应多开几个网店？
【答案】20家
【解析】
【分析】此题考查一元二次方程的实际应用，根据题意，设应增加x个网店根据销售总量每个网点销售量乘以网点数量，据此即可解答．
【详解】解：设多开x个网店，
根据题意得：，
整理得，
解得：，
因为尽可能减少运营成本，应该选择少开店，
所以应选择，
答：应多开20家网点．
23. 如图①，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为点C）．延长交于点F，连接．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由．
（2）如图①，若，，求的长．
（3）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明．
【答案】（1）四边形是正方形，理由见解析
（2）
（3），证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据邻边相等的矩形是正方形证明即可；
（2）过点作于点．证明，推出，，利用勾股定理求解即可；
（3）过点作于点，由全等三角形的性质和等腰三角形的性质，可得结论．
【小问1详解】
解：结论：四边形是正方形．理由如下：
是由绕点按顺时针方向旋转得到的，
，，
又，
，
四边形是矩形，
由旋转可知：，
四边形是正方形；
【小问2详解】
如图①，过点作于点．则
四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
在中，，
根据勾股定理得：，
，
或（舍去），
，
故答案为：12．
【小问3详解】
结论：．
证明：如图②，过点作于点，
，
，
，
，
由旋转可知：，
由（1）可知：四边形正方形，
，
，
．
【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．