四川省成都市成都市石室天府中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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班级：_____________ 姓名：_______________
A卷（共100分）
一、选择题（每小题4分，共32分）
1. 在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念：一个图形沿某个点旋转180度后能与原图完全重合的；由此问题可求解．
【详解】解：选项A、B、D不能找到一个点绕其旋转180度后能与原图完全重合，所以都不是中心对称图形，而C选项可以找到一个点绕其旋转180度后能与原图完全重合，所以是中心对称图形；
故选C．
【点睛】本题主要考查中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键．
2. 如果，那么下列各式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查不等式的性质：1、不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；2、不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向要改变．据此逐项判断即可．
【详解】解：A、如果，则，原计算错误，不符合题意；
B、如果，则，原计算错误，不符合题意；
C、如果，则，原计算错误，不符合题意；
D、如果，则，原计算错误，不符合题意；
故选：D．
3. 下列因式分解正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查平方差公式，提取公因式与公式法的综合运算，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
利用因式分解的方法进行判断即可．
【详解】解：A．不能进行因式分解，故本选项不符合题意；
B．是因式分解且正确，故本选项符合题意；
C．，不正确，故本选项不符合题意；
D．不能进行因式分解，故本选项不符合题意；
故答案为：B．
4. 如图A，B坐标分别为，．若将线段AB平移至，，的坐标分别为，，则的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由已知得出线段向右平移了3个单位，向上平移了2个单位，即可得出、的值，从而得出答案．
【详解】解：由的对应点的坐标为知，线段向上平移了2个单位，
由的对应点的坐标为知，线段向右平移了3个单位，
则，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
5. 已知点关于原点的对称点在第四象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先确定点P所在的象限，然后根据点所在象限的坐标特点列不等式组求解即可．
【详解】解：点关于原点的对称点在第四象限，
点在第二象限，
，
解得：，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了点的坐标特征，掌握第二象限的点的横坐标小于零、纵坐标大于零是解答本题的关键．
6. 如图，三座商场分别坐落在A、B、C所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在（ ）

A. 三角形三条中线的交点B. 三角形三条高所在直线的交点
C. 三角形三个内角的角平分线的交点D. 三角形三条边的垂直平分线的交点
【答案】D
【解析】
【分析】根据线段的垂直平分线的性质即可求解．
【详解】解：依题意，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在三角形三条边的垂直平分线的交点,
故选：D．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
7. 已知分解因式的结果为，则（ ）
A. B. 4C. 1D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了十字相乘法进行因式分解，正确掌握运算法则，将原式展开是解题关键．
首先利用多项式乘法将原式展开，进而得出m，n的值，即可得出答案．
【详解】解：多项式分解因式的结果为，
，
，，
，
，
．
故答案为：0．
8. 如图，一次函数和的图象相交于点，则不等式的解集是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先将A点坐标代入中求出的值，得到点坐标，再以交点为分界，结合图象可得到表示的是轴上方点到与轴交点部分，找到端点对应的的值，直接求出解集即可．
【详解】解：∵函数的图象过点，
∴有，
∴，
∴点A的坐标为，
∴由图可知，不等式的解集为．
故选D．
【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，由函数图象判断不等式的解集是解题的关键．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9. 用不等式表示x的3倍与5的和不大于10是____________________；
【答案】3x+5≤10
【解析】
【分析】直接利用x的3倍，即3x，与5的和，则3x+5，进而小于等于10得出答案．
【详解】解：由题意可得：3x+5≤10．
故答案为：3x+5≤10．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确理解题意是解题关键．
10. 化简：＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】先根据平方差公式和完全平方公式把分子与分母进行整理，然后进行约分即可．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了约分，用到的知识点是平方差公式和完全平方公式，关键是把要求的式子进行变形．
11. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，点D恰好落在上，交于点F，则_______°．
【答案】90
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
由旋转的性质可得是等腰三角形，再根据其性质求出，再由三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：将绕点A逆时针旋转，
，，，
，
，
，
，
故答案为：90．
12. 不等式组无实数解，则m的取值范围是_____．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了不等式组无解的情况，根据不等式组解集的口诀“大大取较大，小小取较小，大小小打中间找，大大小小无处找”进行求解即可．
【详解】∵不等式组无实数解，
∴，
故答案为：．
13. 如图，在中，，，请观察尺规作图的痕迹（，，分别是连线与边的交点），则的度数是__________°．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了复杂作图，掌握线段的垂直平分线的性质及三角形的内角和定理是解题的关键．
由作图得：垂直平分，平分，再根据线段的垂直平分线的性质及三角形的内角和求解．
【详解】解：由作图得：垂直平分，平分，
，
，
，
，
，
故答案为∶．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14. （1）因式分解：；
（2）因式分解：．
（3）解不等式（组）：，并指出它的所有的非负整数解．
【答案】（1）
（2）
（3），非负整数解为：，0，1，2
【解析】
【分析】本题考查了综合提公因式法和公式法因式分解，解一元一次不等式组，求不等式组的非负整数解，正确的计算是解题的关键．
（1）综合运用提公因式法因式分解和公式法因式分解；
（2）先利用整式的乘法化简，再用完全平方公式因式分解；
（3）分别解不等式组①②，求出解集，再根据解集求得非负整数解．
【详解】解：（1）
；
（2）
；
（3），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式的解集为：
∴非负整数解为：，0，1，2．
15. 已知 ．
（1）化简A；
（2）若x的值刚好使分式的值为0，求A的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，分式的值为零，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）先算分式的减法，再算除法即可；
（2）根据分式的值为零，可得分式的分子为零，分母不为零，求得x的值，代入求解即可．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
由题意得，，
∴，
解得，
∴原式．
16. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长1个单位长度的正方形）．
（1）将沿y轴方向向下平移6个单位，画出平移后得到的；
（2）将绕着点A逆时针旋转，画出旋转后得到的，直接写出的坐标；
（3）作出关于原点O成中心对称的，并直接写出的坐标．
【答案】（1）图见解析；
（2）图见解析，；
（3）图见解析，；
【解析】
【分析】（1）本题考查了图形的平移，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行且相等．根据平移的性质，只要将点，，分别向下平移6个单位长度，得到了点，，，顺次连接起来即得到．
（2）本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．利用网格特点和旋转的性质画出点，，的对应点，，，从而得到；
（3）本题考查了图形关于原点中心对称，熟悉关于原点中心对称坐标的特点是解决问题的关键．根据点关于原点中心对称的特征，横纵坐标都互为相反数，求出点，，关于原点对称的对应点，，，顺次连接起来即得到．
【小问1详解】
解：将点，，分别沿轴向下平移6个单位长度，得到了点，，，顺次连接起来即得到．如图所示，
【小问2详解】
解：绕着点A逆时针旋转90°，过点A分别作的垂线，然后在垂线上截取，，，即为所求点，顺次连接，，即得到．
【小问3详解】
解：点，，，关于原点的对称点分别为
点，，，顺次连接起来即得到，如图所示，
17. 在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过点，过点A的直线与x轴、y轴分别交于B，C两点．
（1）直接写出正比例函数的表达式；若的面积为的面积的倍，求直线的表达式；
（2）在（1）的条件下，在线段上找一点D，使平分，求点D的坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，对称的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）直接利用待定系数法求正比例函数解析式即可；先根据的面积为的面积的倍得出点C的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）作点A关于y轴的对称点，连接，由对称可得平分，先求出直线的解析式，再求直线与直线的交点坐标即可．
【小问1详解】
解：∵正比例函数的图象经过点，
∴，
解得，
∴正比例函数的表达式为：；
∵的面积为的面积的倍，
∴，
∴，
∴，
把，代入，得，
解得，
∴一次函数的表达式为：；
【小问2详解】
解：如图，作点A关于y轴的对称点，连接，
由对称可知，，即平分，
∴平分，
由对称可知，，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
令，解得，
∴，
∴．
18.
（1）如图1，在中，，点D是斜边上一点，连接，将绕点C逆时针旋转，得到线段，连接．若，，求的长；
（2）如图2，在四边形中，，若，求出的长；
（3）如图3，点P为正方形的对称中心，其边长为6，点E为平面内一点，且，点Q为线段的中点，连接，直接写出的长度．
【答案】（1）
（2）9 （3）或
【解析】
【分析】（1）由勾股定理得，，则，，如图1，连接，由旋转的性质可知，，，证明，则，，，由勾股定理得，，，计算求解即可；
（2）如图2，过作交的延长线于，连接，则，，由勾股定理得，，由（1）可得，，则，，，由勾股定理得，，计算求解即可；
（3）如图，连接，过作于，的延长线于，则四边形是矩形，，设，则，由勾股定理得，，，即，可求，则，，，由勾股定理得，，由题意知，是的中位线，则；如图，连接，过作于，于，则四边形是矩形，同理求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
由勾股定理得，，
∴，，
如图1，连接，
由旋转的性质可知，，，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
由勾股定理得，，，
解得，，
∴的长为；
【小问2详解】
解：如图2，过作交的延长线于，连接，
图2
∵，∴，
∴，
由勾股定理得，，
由（1）可得，，
∴，，
∴，
由勾股定理得，，
∴的长为9；
【小问3详解】
解：如图，连接，过作于，的延长线于，则四边形是矩形，
图
∴，
设，则，
由勾股定理得，，，
∴，
解得，，
∴，，，
由勾股定理得，，
由题意知，是的中位线，
∴；
如图，连接，过作于，于，则四边形是矩形，
图
同理，，，，
由勾股定理得，，
由题意知，是的中位线，
∴；
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，中位线等知识．熟练掌握旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，中位线是解题的关键．
B卷（共50分）
一、填空题（每小题4分，共20分）
19. 已知，则代数式的值为_________．
【答案】49
【解析】
【分析】先将条件的式子转换成a+3b=7，再平方即可求出代数式的值．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：49．
【点睛】本题考查完全平方公式的简单应用，关键在于通过已知条件进行转换．
20. 已知关于x的不等式组的整数解有且仅有4个，则m的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组只有4个整数解进行求解即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵关于x的不等式组的整数解有且仅有4个，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查的是一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
21. 某商品的标价比成本价高，当该商品降价出售时，为了不亏本，降价幅度最多为，若用m表示n，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意得到，把成本价看做单位1，根据题意列出方程，然后用m表示n即可求解．
【详解】解：由题意得，
，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程，并正确解方程是解题关键，注意列方程时把成本价看做单位1，解方程时把m看做已知数．
22. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为，将长方形绕O按顺时针方向旋转度得到，此时直线、直线分别与直线相交于点P、Q．当，且时，线段的长是 ___________________．
【答案】
【解析】
【分析】先确定点P的位置，根据题意求出，，，再作，可知，然后根据面积相等得，可设，并表示，，，最后根据勾股定理，得，即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴点P在点B右侧．
∵四边形是矩形，点A的坐标是，点C的坐标是，
∴，，．
过点Q作于点H，连接，如图，则．
∵，，
∴．
设，
∵，
∴，
则，．
在中，由勾股定理，得，
即，
解得，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，三角形的面积等，合理地作出辅助线是解题的关键．
23. 已知矩形中，，，点E为延长线上一点，若，连接，M为的中点， P、Q为边上两个动点，且，连接P、B、M、Q，则四边形周长的最小值为____________________．
【答案】
【解析】
【分析】由于和是定值，只要最小，利用对称确定出就是的最小值，最后利用勾股定理即可得出结论．
【详解】解：如图1，
过点Q作交于G，作点G关于的对称点，连接，
当点，Q，M在同一条线上时，最小，而和是定值，
此时，四边形周长最小，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
如图2，
在中，，，
，
∵
，
∵M为 的中点，
，，
在中，，，
在中，，
，
在中，，
四边形周长最小值为
，
故答案为：
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，对称性，确定出的最小值是解本题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，24题8分、25题10分、26题12分，共30分）
24. 为践行环保理念，守护绿水青山，某餐厅计划从“2024中国国际生物降解材料展览会（生物降解展）”采购甲、乙两种可降解的一次性餐具．已知甲种餐具的单价是乙种餐具单价的，用1000元采购的甲种餐具套数比乙种餐具的套数多3000套．
（1）求甲、乙两种餐具的单价．
（2）如果采购甲、乙两种可降解一次性餐具共20000套，其中甲种m套，乙种的套数不少于甲种的一半，一共需要w元，那么采购甲种多少套时需要的采购款最少？
【答案】（1）甲种餐具的单价为0.2元/套，乙种餐具的单价为0.5元/套
（2）13333套
【解析】
分析】本题考查分式方程和一次函数解决实际问题．
（1）设乙种餐具的单价为x元/套，则甲种餐具的单价为元/套，根据“用1000元采购的甲种餐具套数比乙种餐具的套数多3000套”即可列出方程，求解并检验即可解答；
（2）列出w关于m的函数关系式，根据“乙种的套数不少于甲种的一半”求出m的取值范围，根据函数的增减性即可解答．
【小问1详解】
解：设乙种餐具的单价为x元/套，则甲种餐具的单价为元/套．根据题意，得
，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
∴．
答：甲种餐具的单价为0.2元/套，乙种餐具的单价为0.5元/套．
【小问2详解】
由题意得，
∵，
∴w随m的增大而减小．
∵，
解得，
∵m为正整数，
∴当时，w有最小值．
答：当采购甲种13333套时需要的采购款最少．
25. 如图，在中，，点P为斜边上一动点，将沿直线折叠，使得点B的对应点为．
（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，连接，若，且，求出的值；
（3）如图3，连接，若，是否存在点P，使得，若存在，直接写出的值，若不存在，说明理由．
【答案】（1）详见解析
（2）1 （3）
【解析】
【分析】（1）先根据同位角相等，两直线平行得出，再由平行线的性质得出，根据折叠的性质得出，即可证明，再根据等角对等边证明即可；
（2）设，根据直角三角形中30度角所对的边是斜边的一半及勾股定理得，过点作，垂足为Q，进而证得是等边三角形，即可求解；
（3）先由三边相等证明是等边三角形，再分两种情况讨论：①当点在左侧时，过点C作于点H，②当点在右侧时，过点C作于点H，设，则，由勾股定理得，分别表示出的值，求解即可．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
∴，
∵将沿直线折叠，使得点B的对应点为，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴,，
∵将沿直线折叠，使得点B的对应点为，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，由勾股定理得，
过点作，垂足为Q，
∴，
由勾股定理得，
∴，
延长到点M，使，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：存在，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∵将沿直线折叠，使得点B的对应点为，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
①当点左侧时，过点C作于点H，则，
∵将沿直线折叠，使得点B的对应点为，
∴，又，
∴，
∴，
∴，
设，则，由勾股定理得，
∴，
∴，
∴；
②当点在右侧时，过点C作于点H，则，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，由勾股定理得，
∴，
∴，
∴；
综上，的值为．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，翻折的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握知识点并添加适当的辅助线是解题的关键．
26. 如图，平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴正半轴于点B．直线交y轴负半轴于点C，．
（1）求直线的函数表达式和的面积；
（2）若点P为直线（不含A，B两点）上一点，连接，若的面积为7，求点P的坐标；
（3）若点P为射线（不含A，B两点）上一点，M为线段延长线上一点，且，在直线上是否存在点N，使是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出每种等腰直角三角形对应顶点P、N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），10
（2）或
（3）或或
【解析】
【分析】（1）把代入求出一次函数解析式为，得到，根据，求出，根据待定系数法求出函数解析式，根据三角形面积公式求得；
（2）设点P的坐标为，根据，的面积为7，得出点P在线段或在线段的延长线上，然后分两种情况分别列出方程，解方程即可；
（3）分三种情况：当N点在轴下方，点P在上，时，当点P在线段上，点在x轴上方，时，当点P在的延长线上时，点在x轴上方，时，分别画出图形，求出结果即可．
【小问1详解】
解：把代入得：，
解得：，
把代入得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
设直线的解析式为：，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为；
．
【小问2详解】
解：设点P的坐标为，
∵，的面积为7，
∴点P在线段或在线段的延长线上，
∴，
∴，
当点P在线段上时，，
即，
解得：，
∴，
∴此时；
当点P在线段的延长线上时，，
即，
解得：，
∴，
∴此时点；
综上分析可知，点P的坐标为：或．
【小问3详解】
解：当N点在轴下方，点P在上，时，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵是以为直角边的等腰直角三角形，，
∴，，
设，，
过P点作直线轴，作，，
∴，
∴，
在与中，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
在与中，，
∴，
∴，，
∴，作，则，
∴，
∵，
∴，
∴M在直线AB上，
∴
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
当点P在线段上，点在x轴上方，时，如图所示：
此时，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴此时点与关于对称，
则，即，
此时；
当点P在的延长线上时，点在x轴上方，时，如图所示：
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
根据上一种情况可知，此时点的坐标仍然为，点的坐标与上一种情况中点M的坐标相同，即此时点的坐标为；
综上分析可知：存在或或使是以为直角边的等腰直角三角形．
【点睛】此题考查一次函数的综合题，待定系数法求函数解析式，直线所成三角形的面积，等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定及性质，中心对称的点的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．