四川省内江市资中县育才学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）
1. 下列关于x的函数中，一次函数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一次函数的定义逐项判断即可．
【详解】解：A．，自变量次数不为1，不是一次函数，故该选项不符合题意；
B．，分母中含有未知数，不符合一次函数的一般形式，不是一次函数，故该选项不符合题意；
C．，不符合一次函数的一般形式，是二次函数，故该选项不符合题意；
D．，符合一次函数的一般形式，是一次函数，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数的定义．一般地，形如（，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算，根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方运算法则分别计算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：、，该选项错误，不合题意；
、，该选项错误，不合题意；
、，该选项正确，符合题意；
、，该选项错误，不合题意；
故选：．
3. 在平面直角坐标系中，下列各点属于第三象限的是（ ）
A. （﹣1，5）B. （1，﹣5）
C. （﹣1，﹣5）D. （1，5）
【答案】C
【解析】
【分析】根据各象限内点坐标特征对各选项分析判断利用排除法求解．
【详解】解：A．（-1，5）在第二象限，故本选项不符合题意；
B．（1，-5）在第四象限，故本选项不符合题意；
C．（-1，-5）第三象限，故本选项符合题意；
D．（1，5）在第一象限，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决问题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
4. 下列各分式中，是最简分式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无相同的因式或互为相反数的因式，互为相反数的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【详解】解：A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、是最简分式，符合题意；
D、，不符合题意．
故选C．
【点睛】此题考查最简分式问题，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意．
5. 反比例函数的图象经过点A(3，2)，下列各点在此反比例函数图象上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了图象与点的关系，代入解析式，计算判断即可．
【详解】解：∵反比例函数，
∴，
A、∵，
∴点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意；
B、∵，
∴点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意；
C、∵，
∴点在反比例函数图象上，故本选项符合题意；
D、∵，
∴点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意．
故选：C．
6. 一次函数与轴的交点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，把代入中计算即可求解，掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的关键．
【详解】解：把代入得，，
解得，
∴一次函数与轴的交点坐标为，
故选：．
7. 如图，点P在双曲线第一象限的图象上，PA⊥x轴于点A，则的面积为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】设P(x，y)，根据题意xy=6，PA=y，OA=x，利用三角形面积公式，列式代入计算即可．
【详解】解：设P(x，y)，根据题意xy=6，PA=y，OA=x，
∵PA⊥x轴于点A，
∴
=
=3，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，正确进行推导计算是解题的关键．
8. 如果两个变量x、y之间的函数关系如图所示，则函数值y的取值范围是（ ）
A. －3≤y≤3B. 0≤y≤2
C. 1≤y≤3D. 0≤y≤3
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：根据函数图象可得y的最大值为3，最小值为0，则y的取值范围为：0≤y≤3．
考点：函数图象的性质．
9. 一天，李师傅骑车上班途中因车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了单位，如图描述了他上班途中的情景，下列说法中错误的是（ ）
A. 李师傅上班处距他家米
B. 李师傅修车用了分钟
C. 修车后李师傅骑车速度是修车前的倍
D. 李师傅路上耗时分钟
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了函数图象，根据函数图象逐一判断即可求解，看懂函数图象是解题的关键．
【详解】解：、由图象可知，李师傅上班处距他家米，该说法正确，不合题意；
、由图象可得，李师傅修车用了分钟，该说法错误，不合题意；
、由图象可知，修车前李师傅的骑车速度为米分钟，修车后李师傅的骑车速度为米分钟，所以修车后李师傅骑车速度是修车前的倍，该说法正确，不合题意；
、由图象可知，李师傅路上耗时分钟，该说法正确，不合题意；
故选：．
10. 若点，，在反比例函数的图像上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，求得，，的值是解题关键．先把点，，代入反比例函数，求出，，的值，再比较大小即可．
【详解】解：∵点，，在反比例函数的图像上，
∴，，，
∵，
∴．
故选：C．
11. 某服装制造厂要在开学前赶制套校服，为了尽快完成任务，厂领导合理调配加强第一线人力，使每天完成的校服比原计划多，结果提前天完成任务，问：原计划每天能完成多少套校服？设原来每天完成校服套，则可列出方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由实际每天完成的校服比原计划多得到实际每天完成校服x（1+20%）套，再根据提前4天完成任务即可列出方程．
【详解】∵原来每天完成校服套，实际每天完成的校服比原计划多，
∴实际每天完成校服x（1+20%）套，
由题意得，
故选：C．
【点睛】此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
12. 如图，一次函数的图象与轴的交点坐标为，则下列说法：随的增大而减小；，；关于，的二元一次方程必有一个解为，；当时，．其中正确的有（ ）

A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了一次函数与一元一次方程，利用函数的图象结合一次函数的性质进行解答即可判断求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵图象过第一、二、三象限，
∴，，随的增大而增大，故错误；
又∵图象与轴交于，
∴的解为，正确；
当时，图象在轴上方，，故正确；
综上可得正确，共个，
故选：．
二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13. “墙角数枝梅，凌寒独自开．遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅花》．梅花的花粉直径约为0.000036m，用科学记数法表示该数据为______．
【答案】
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
14. 周长为的等腰三角形，腰长与底边长的函数关系为______，自变量范围为______．
【答案】 ① ； ②. ．
【解析】
【分析】本题考查了列函数解析式，求自变量的取值范围，根据底边长两腰长周长，建立等量关系，变形即可列出函数关系式，再根据三角形三边的关系即可求出自变量的范围，正确列出函数解析式是解题的关键．
【详解】解：∵等腰三角形的周长为，
∴，
∴，
∵三角形两边之和大于第三边，
∴，
即，
解得，
又∵，
∴自变量范围为，
故答案为：，．
15. 已知与成反比例，且当时，，则关于的函数关系式为__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用成反比例的定义，设，然后把时，代入求出k即可．
【详解】解：设，
把时，代入得
，
解得k=-，
所以．
故答案为．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式：设出含有待定系数的反比例函数解析式y=（k为常数，k≠0）；把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程；解方程，求出待定系数；写出解析式．
16. 已知一次函数的图像如图所示，则代数式化简后的结果是________.

【答案】
【解析】
【分析】根据一次函数图象的特点确定m-n的符号，代入原式计算即可．
【详解】由一次函数的性质可知，m>0，n>0，即m+n>0；
且当x=−1时，y<0，即−m+n<0，
∴m−n>0.
所以|m+n|−|m−n|=m+n−(m−n)=2n.
故答案为.
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）．也考查了完全平方公式.
三．解答题（共6小题，满分56分）
17. （）计算；
（）化简：．
【答案】（）（）
【解析】
【分析】（）利用负整数指数幂、零指数幂分别计算，再合并即可求解；
（）利用分式的性质和运算法则计算即可求解；
本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，掌握实数和分式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：（）原式
，
；
（）原式
，
，
．
18. 解方程：
（1）．
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先确定最小公分母，然后再将原方程化成整式方程求解，最后检验即可；
（2）先确定最小公分母，然后再将原方程化成整式方程求解，最后检验即可．
【小问1详解】
解：
5x-1=0
x=
检验，当x=时，（x+1）（1-2x）=≠0
故x=是原分式方程的解．
【小问2详解】
解：
x=
检验，当x=时，（x+2）（x-2）=≠0
故x=是原分式方程的解．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，将分式方程化成整式方程是解答本题的关键，遗忘检验是解答本题的易错点．
19. 先化简：，再从，，中选取一个合适的数作为的值代入求值．
【答案】，2
【解析】
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【详解】解：


，
，，
，，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
20. 某城市为了节约用水，采用分段收费标准，若某户居民每月应交水费（元）与用水量（吨）之间关系的图像如图所示，根据图形回答：
（1）该市自来水收费时，每户使用不超过吨时，每吨收费________元；超过吨时，每吨收费________元；
（2）求该户居民每月应交水费（元）与用水量（吨）之间的关系式；
（3）若某户居民某月交水费元该户居民用水多少吨？
【答案】（1），；
（2）；
（3）吨．
【解析】
【分析】（）分两种情况，用水费除以用水量即可得每吨收费；
（）分两种情况，用待定系数法求出函数关系式即可；
（）把代入法（）所得对应的函数解析式计算即可求解；
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用信息，列出函数关系式．
【小问1详解】
解：∵(元吨)，
∴不超过吨时，每吨收费元，
∵(元吨)，
∴超过吨时，每吨收费元，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：当时，设，
把，代入得，，
解得，
∴；
当时，设，
把，代入得，
，
解得，
∴；
综上所述，与之间的关系式为；
【小问3详解】
解：∵ ，
∴用水量超过吨，
把代入得， ，
解得，
答：该户居民用水吨．
21. 如图，一次函数与反比例函数的图像交于，两点．
（1）求反比例函数的解析式并求出的值；
（2）求一次函数的解析式；
【答案】（1），；
（2）．
【解析】
【分析】（）利用待定系数法即可求出反比例函数解析式，再把点坐标即可求出的值；
（）利用待定系数法解答即可求解；
本题考查了用待定系数法求函数解析式，正确计算是解题的关键．
【小问1详解】
解：把代入得，，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
把代入得，，
即；
【小问2详解】
由（）可得，
把、代入得，
，
解，
∴一次函数的解析式为．
22. 在平面几何中，我们学过两条直线垂直的定义，下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们垂直的定义：设一次函数的图象为直线，一次函数的图象为直线，若，我们就称直线与直线互相垂直，如直线与直线，因为，所以相互垂直．根据以上定义内容，解答下面的问题：
（1）求过点且与已知直线垂直直线的函数表达式，并在如图所示的坐标系中画出直线的图象．
（2）求（）问中的两条直线与轴所围的三角形的面积；
（3）已知点，点，分别是（）问中直线和轴上的动点，求出周长的最小值．（不化简根式）
【答案】（1），画图见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（）根据垂直的定义设直线的解析式为，利用待定系数法即可求出的解析式，再求出直线与轴的交点坐标，即可画出直线的图象；
（）求出直线与轴和轴的交点坐标，画出直线的图象，再求出两条直线的交点坐标，最后结合图形，即可求出与轴所围的三角形的面积；
（）作点关于直线的对称点，再作点关于轴的对称点，连接，与直线交于点，与轴交于点，连接，得到，此时的周长最小，最小值为，根据垂直的定义求出线段的函数解析式，再求出直线与线段的交点坐标，利用中点坐标公式求出点坐标，再利用勾股定理求出，即可得到周长的最小值；
本题考查了两条直线垂直的定义，一次函数，一次函数的交点问题，轴对称最短路径问题，中点坐标公式，勾股定理，理解两条直线垂直的定义是解题的关键．
【小问1详解】
解：设直线的解析式为，
把代入得，，
∴，
∴直线的解析式为，
∴直线过点，
画图如下：
【小问2详解】
解：由得，当时，；当时，；
∴直线过点和，如图，
由得，，
∴两条直线的交点坐标为，
∴两条直线与y轴所围的三角形的面积为；
【小问3详解】
解：作点关于直线的对称点，再作点关于轴的对称点，连接，与直线交于点，与轴交于点，连接，得到，此时的周长最小，最小值为，
∵线段与直线垂直，
∴设线段的函数解析式为，
把代入得，，
∴，
∴线段函数解析式为，
由得，，
∴直线与线段的交点坐标为，即线段的中点坐标为，
设点坐标为，则有，，
解得，，
∴，
又由对称可得，点的坐标为，
∴由勾股定理得，，
∴周长的最小值为．