四川省眉山市东坡区苏洵中学办学共同体2023-2024学年八年级下学期4月期中考试数学试题

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1. 下列数中，3.14159，，0.131131113..，，，，无理数的个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了无理数的定义：无限不循环小数即为无理数，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：依题意，
则无限不循环小数： ，0.131131113….
故选：B．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根，单项式除以单项式，积的乘方．根据整式的运算法则以及算术平方根的性质即可求出答案．
【详解】解：A、，本选项不符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、，本选项符合题意；
D、，本选项不符合题意；
故选：C．
3. 在下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平方差公式的特点，两个数的和乘以这两个数的差，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】A、不存在互为相反数的项，故本选项错误；
B、是相同的项，互为相反数的项是与，正确；
C、，不符合平方差公式的特点；
D、不存在相同的项，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式，熟记公式结构特征是解题的关键．
4. 下列因式分解正确的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解，根据平方差公式分解闭关判断A，提取2，再根据平方差公式分解判断B，提出“”，再根据完全平方公式分解判断C，最后根据完全平方公式分解判断D．
【详解】因为，所以A不正确；
因为，所以B不正确；
因为，所以C正确；
因为，所以D不正确．
故选：C．
5. 已知、是实数，，．则、的大小关系是（ ）
A. B. C. ＜D. ＞
【答案】B
【解析】
【分析】判断、的大小关系，把进行整理，判断结果的符号可得、的大小关系．考查了配方法的应用；关键是根据比较式子的大小进行计算；通常是让两个式子相减，若为正数，则被减数大；反之减数大．
【详解】解：，
，，
，
，
故选：B
6. 如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是
A. ∠A=∠CB. AD=CBC. BE=DFD. AD∥BC
【答案】B
【解析】
【分析】利用全等三角形的判定依次证明即可．
【详解】解：∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF．
∴AF=CE．
A．在△ADF和△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项不符合题意．
B．根据AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选项符合题意．
C．在△ADF和△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（SAS），正确，故本选项不符合题意．
D．∵AD∥BC，
∴∠A=∠C．由A选项可知，△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项不符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查了添加条件证明三角形全等，解题的关键是熟练运用判定三角形全等的方法．
7. 直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1,l2与l3的距离为3.把一块含有45°角的直角三角板如图放置,顶点A、B、C恰好分别落在三条直线上，则△ABC的面积为（ ）
A. B. C. 12D. 25
【答案】B
【解析】
【分析】作BE⊥l3于E，作AF⊥l3于F，得出BE=3，AF=3+1=4，再证明△BEC≌△CFA，得出CE=AF，根据勾股定理求出BC，即可得出结果．
【详解】解：作BE⊥l3于D，作AF⊥l3于F，如图所示：
则∠BEC=∠CFA=90°，BE=3，AF=3+1=4，
∴∠ECB+∠EBC=90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠ECB+∠FCA=90°，
∴∠EBC=∠FCA，
在△BEC和△CFA中，
，
∴△BEC≌△CFA（AAS），
∴CE=AF=4，
∴BC==5，
∴AC=BC=5，
∴S△ABC=AC•BC=×5×5=．
故选B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线之间的距离、勾股定理以及等腰直角三角形的性质；通过作辅助线证明三角形全等得出对应边相等是解决问题的关键．
8. 如图，中，，，垂直平分交于点，交于点，连接，于点，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，求得，根据三角形的内角和即可得到结论．
【详解】解：，，
，
垂直平分交于点，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
9. 如图，D为内一点，平分，，，若，则的长为（ ）

A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，解题的关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．延长与交于点E，由题意可推出，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出，，根据，即可推出的长度．
【详解】解：延长与交于点E，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：5．
10. 如图，有一个水池，截面是一个边长为14尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池的一边，它的顶端恰好到达池边的水面．则水的深度是（ ）
A. 15尺B. 24尺C. 25尺D. 28尺
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，正方形的性质等知识，熟悉数形结合的解题思想是解题关键．根据题意，可知EB'的长为14尺，则尺，设出尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程即可．
【详解】解：依题意画出图形，
设芦苇长尺，则水深尺，因为尺，所以尺，
在中，∵，
∴，
解得：，
∴水深为：尺，
故选：B．
11. 如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将容器的侧面展开，作A点关于EF的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为最短距离．利用勾股定理求出即可．
【详解】解：如图，将容器的侧面展开，作A关于EF的对称点，连接，则即为最短距离，
由题意知cm，cm，cm，
则由勾股定理得：＝＝＝13（cm）．
故选：A．
【点睛】本题考查了立体图形平面展开的最短路径问题．了解“两点之间线段最短”并结合轴对称和勾股定理进行求解是解题的关键．
12. 如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下六个结论：①；②是等边三角形；③；④；⑤平分；⑥；其中正确的结论个数是（ ）

A. 6个B. 5个C. 4个D. 3个
【答案】A
【解析】
【分析】由等边三角形的性质得，，，则，，即可根据“”证明，得，，可判断①正确；再推导出，可判断④正确；再证明，得，，可判断③正确；由，，证明是等边三角形，可判断②正确；因为，所以，可判断⑥正确；作于点，于点，由，得，则，即可证明平分，可判断⑤正确，于是得到问题的答案．此题重点考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、平行线的判定、角平分线的性质等知识，证明是解题的关键．
【详解】解：和都是等边三角形，
，，，
，，
，
在和中，
，
，
，，
故①正确；
，
故④正确；
在和中，
，
，
，，
故③正确；
，，
是等边三角形，
故②正确；
，
，
故⑥正确；
作于点，于点，
，，且，
，
，
，
点在的平分线上，
平分，
故⑤正确，
故选：A．

二、填空题：（每题4分，共24分）
13. 写出“全等三角形的面积相等”的逆命题是______________；这个逆命题是_____命题（填“真”或“假”）
【答案】 ①. 面积相等的两个三角形为全等三角形 ②. 假
【解析】
【分析】本题考查了命题的真假性．根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，根据全等三角形的概念判断即可．
【详解】解：原命题的逆命题为：面积相等的两个三角形为全等三角形，则这个命题为假命题．
故答案为：面积相等的两个三角形为全等三角形，假．
14. 两位同学将一个二次三项式分解因式时，其中一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成,则原来的多项式为 _____
【答案】
【解析】
【分析】由于看错了一次项系数即值看错而与的值正确，根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可将运用多项式的乘法法则展开求出与的值；同样，看错了常数项即值看错而与的值正确，可将运用多项式的乘法法则展开求出的值，进而得出答案．本题考查的是因式分解的应用，掌握求解的方法是解题的关键．
【详解】解： ，
，；
又，
．
∵二次三项式为：
原多项式为，
故答案为：．
15. 如图所示，化简_________
【答案】
【解析】
【分析】根据数轴上点的位置判断出，的正负，利用平方根、立方根定义，以及绝对值的代数意义化简即可得到结果．此题考查了实数的运算，绝对值，以及实数与数轴，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键．
【详解】解：根据数轴上点的位置得：，
且，
，，
则
故答案为：
16. 如图，△ABC≌△ADE，线段BC的延长线过点E，与线段AD交于点F，∠ACB＝∠AED＝108°，∠CAD＝12°，∠B＝48°，则∠DEF的度数_____．
【答案】36°
【解析】
【分析】由△ACB的内角和定理求得∠CAB＝24°；然后由全等三角形的对应角相等得到∠EAD＝∠CAB＝24°．则结合已知条件易求∠EAB的度数；最后利用△AEB的内角和是180度和图形来求∠DEF的度数．
【详解】解：∵∠ACB＝108°，∠B＝48°，
∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣48°﹣108°＝24°．
又∵△ABC≌△ADE，
∴∠EAD＝∠CAB＝24°．
又∵∠EAB＝∠EAD+∠CAD+∠CAB，∠CAD＝12°，
∴∠EAB＝24°+12°+24°＝60°，
∴∠AEB＝180°﹣∠EAB﹣∠B＝180°﹣60°﹣48°＝72°，
∴∠DEF＝∠AED﹣∠AEB＝108°﹣72°＝36°．
故答案为36°
【点睛】本题考查全等三角形的性质．全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
17. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，的长为半径作弧，交边于点；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；③作射线，交边于点．若，则线段的长为_____

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等垂直平分线的性质，勾股定理．利用基本作图得到，于，则根据等腰三角形的性质得到，如图，连接，接着利用勾股定理计算出，则可计算出，从而得到的长，然后计算即可．
【详解】解：由作法得垂直平分，
，
在中，，
，
，
．
故答案为：1
18. 观察下列等式：
；
；
；
…
已知按照一定规律排列的一组数，若
则____________（结果用含的代数式表示）
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了规律型问题：数字变化，列代数式等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题．由题意可得，再将代入即可求解．
【详解】解：∵，
∴
．
故答案为：．
三、计算题（共 78 分，其中19-21题每小题6分）
19. （1）
（2）
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】本题考查了幂的混合运算以及立方根，算术平方根等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先化简乘方、绝对值、立方根、算术平方根，再运算加减，即可作答．
（2）先化简同底数幂相乘、积的乘方，再合并同类项，即可作答．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
20 化简求值：
，其中，.
【答案】， -44.
【解析】
【分析】先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出即可．
【详解】解：原式
.
当，时，原式.
【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
21. 因式分解
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了提公因式和公式法进行因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先提公因式，再运用完全平方公式进行分解因式，即可作答．
（2）先提公因式，再运用平方差进行分解因式，即可作答．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
22. （1）已知的整数部分是，的小数部分是，求=
（2）若，，则=
（3）若，则＝_____
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的估算，同底数幂相乘和相除，二次根式和平方的非负性，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）通过判断无理数的范围，得到的值，即可解答；
（2）利用同底数幂相乘，同底数幂相除，得到的关系，即可解答；
（3）利用二次根式的非负性，平方的非负性得到的值，即可解答．
【详解】解：（1），即，
，，
的整数部分，的小数部分，
；
故答案为：；
（2），
，即，
，
，即，
，
，
；
故答案为：；
（3），
，
，
，
．
故答案为：．
23. 如图，在中，，把沿直线折叠，点A与点B重合．
（1）若，则的度数为 ______；
（2）若，求的长；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理的应用，依据翻折的性质和勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．
（1）设，由折叠的性质得出，根据直角三角形的性质可得出答案；
（2）由勾股定理求出AC=8，设，则，然后在中由勾股定理列方程求解即可．
【小问1详解】
解：设，把沿直线折叠，点A与点B重合，
，
，
，
，
，
，
故答案：；
【小问2详解】
把沿直线折叠，
，
，
，
，
设，则，
在中，，即，
解得：，
．
24. 【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图可以得到，基于此，请解答下列问题：
【直接应用】（1）若，，则=
（2）若满足，则=
（3）若，，则的值等于
【知识迁移】（4）两块全等的特制直角三角板（）如图所示放置，其中，，在一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积．

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式及其变形是解题的关键：
（1）根据完全平方公式变形计算；
（2）设，，得到，，利用完全平方公式变形计算；
（3）根据完全平方公式求出，将根据多项式乘以多项式法则计算后，代入，计算即可；
（4）设，根据题意得出，然后根据完全平方公式变形，即可求解．
【详解】（1）∵，，
∴，
∴，
故答案为：2；
（2）设，，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
故答案为:1007；
（3）∵，，
∴，
∴
，
故答案为:；
（4）依题意，设，
∵，A，O，D在一直线上，
∴
∵，
∴，即，
∴
∴一块三角板的面积为．
25. 如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．

（1）求证：△ABQ≌△CAP；
（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．
【答案】（1）证明见解析
（2）点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．∠QMC＝60°
（3）点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变．∠QMC＝120°
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP；
（2）由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠QMC=；
（3）由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠QMC=．
【小问1详解】
证明：∵△ABC是等边三角形
∴∠ABQ＝∠CAP，AB＝CA，
又∵点P、Q运动速度相同，
∴AP＝BQ，
在△ABQ与△CAP中，
∵，
∴△ABQ≌△CAP（SAS）；
【小问2详解】
解：点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QMC＝∠ACP+∠MAC，
∴∠QMC＝∠BAQ+∠MAC＝∠BAC；
【小问3详解】
解：点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变化．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QMC＝∠BAQ+∠APM，
∴∠QMC＝∠ACP+∠APM＝180°﹣∠PAC．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
26. 如图，中，，，，若动点P从点C开始，按C→A→B的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为t秒．
（1）当 时，是以为腰的等腰三角形．
（2）当为何值时，平分 ？
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒1cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，P、Q两点之间的距离为？直接写出答案．
【答案】（1）或或
（2）
（3）当t为1秒或秒时，P、Q两点之间的距离为
【解析】
【分析】（1）分和，两种情况进行讨论求解；
（2）利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，，求出，等积法求出即可；
（3）分在上，在上；在上，在上；都在上，三种情况进行讨论求解即可．
【小问1详解】
解：当是以为腰的等腰三角形时：
①时：如图：
∵动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，
∴，
∵，
∴，
∴；
②时，
当点上，如图：
此时：，；
当点在上，如图，过点作，则：，
∵，，，，，
∴，
∴，
∵，即：，
∴；
∴，
∴，
∴；
综上，当为或或时，是以为腰的等腰三角形；
【小问2详解】
解：如图2所示，
过点作于点，
∵平分，
∴．
在与中，
，
∴，
∴，
∴．
设，则．
在中，，
即，
解得：，
故答案为：．
【小问3详解】
解：由题意，得：点按运动，共需要：；
点按运动，共需要：；
∵当、中有一点到达终点时，另一点也停止运动，
∴、运动的总时间为：；
①在上，在上时：
由题意，得：，
∵ ，
∴，即：，
解得：或（舍去）；
②当点上、点在上时，，不合题意；
③当点、都在上，此时：，
点在点的左侧时， ，
解得：；
点P在点Q的右侧时， ，
解得：；
∵，
∴不合题意，舍掉；
综上所述，当t为1或时，P、Q两点之间的距离为．
【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质．熟练掌握勾股定理，等腰三角形两腰相等，三线合一，是解题的关键．注意，分类讨论．