重庆市凤鸣山中学教育集团校2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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考试说明：1．考试时间：120分钟；2．试题总分150分；3．试卷页数8页．
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置．
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．
3．答非选择题时，必须使用0．5毫米，黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．
1. 在平面直角坐标系中，下列各点在第三象限的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据平面直角坐标系中每个象限内的点的坐标特点进行求解即可．
【详解】解：A、，在第一象限，不符合题意；
B、，在第二象限，符合题意；
C、，在第三象限，不符合题意；
D、，在第四象限，不符合题意；
故选C．
2. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，掌握函数自变量取值范围的计算方法是关键．
根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】解：由，得，所以x的取值范围为．
故选：B．
3. 甲、乙、丙、丁四名同学参加科技知识竞赛，他们平时测验成绩的平均分相同，方差分别是，则成绩最稳定的是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查根据方差判断稳定性．根据方差越小，成绩越稳定，由此可解．
【详解】解：∵，
∴，
∴成绩最稳定的同学是丙，
故选：．
4. 下列说法不正确的是（ ）
A. 有一个角为直角的平行四边形是矩形B. 有三个角为直角的四边形是矩形
C. 对角线相等的平行四边形是矩形D. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形
【答案】D
【解析】
【分析】根据矩形的判定逐个进行判断即可．
【详解】解：A、根据矩形的定义可知：有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确，故A选项不符合题意；
B、根据矩形的判定可知：有三个角为直角的四边形是矩形，正确，故B选项不符合题意；
C、根据矩形的判定可知：对角线相等的平行四边形是矩形，正确，故C选项不符合题意；
D、根据菱形的判定可知：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故对角线互相垂直的平行四边形是矩形的说法不正确，故D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定，熟记矩形的判定定理是解决问题的关键．
5. 如图，在中，，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及三角形三边关系，熟练掌握平行四边形性质，利用三角形三边关系是解题的关键．先求出的长度，根据三角形边长关系求得的范围，即可求得的范围．
【详解】解： 四边形是平行四边形，，
，，
，即，
．
故选：D．
6. 在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向上平移一个单位长度，则平移后的图象不经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象与系数的关系，先由“上加下减”的平移规律求出正比例函数的图象向上平移一个单位后的解析式，再根据一次函数图象与系数的关系即可求解．
【详解】解：将正比例函数的图像向上平移一个单位长度，得到，
，，
平移后图象经过一，二，四象限，不经过第三象限，
故选：C．
7. 如图，已知矩形，将沿对角线折叠，记点C的对应点为，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质．关键是根据∠ADB+∠BDC=90°列方程求解．由折叠的性质可知，故，根据，列方程求即可．
【详解】由折叠的性质，得，
则，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
解得．
故选：D．
8. 洗衣机在洗涤衣服时，每浆洗一遍都经历了注水、清洗、排水三个连续过程（工作前洗衣机内无水）．在这三个过程中，洗衣机内的水量y（升）与浆洗一遍的时间x（分）之间函数关系的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：每浆洗一遍，注水阶段，洗衣机内的水量从0开始逐渐增多；
清洗阶段，洗衣机内的水量不变且保持一段时间；
排水阶段，洗衣机内的水量开始减少，直至排空为0．
纵观各选项，只有D选项图象符合．
故选D．
9. 如图，在中，和的平分线交于点，且分别交直线于点，．若，则的值是（ ）
A. 50B. 64C. 100D. 121
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及勾股定理的运用，依据平行四边形的性质以及角平分线的定义即可得到， 和的长，进而得出的长；最后根据勾股定理进行计算即可得到结果．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
，
又平分，
，
，
，
又，
，
同理可得，，
，
，
，
又和的平分线交于点，
，
，
中，，
故选：B．
10 已知三个函数：．下列说法：
①已知，若关于x的方程无解，则；
②若为整数，则满足条件的整数x的值的和为8；
③若，则；
其中正确的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，分式的混合运算．①根据题意可得，再由关于x的方程无解，可得，故①正确；②根据分式的性质，可得，再由为整数，可得x取1或3或9或，故②正确；根据，可得 ，从而得到，进而得到，故③错误，即可．
【详解】解：①∵，，
∴，
即，
∵关于x的方程无解，
∴，
∴，故①正确；
②∵，
∴，
∵为整数，
∴为整数，
∴取，
∴x取1或3或9或，
∴满足条件的整数x的值的和为，故②正确；
③∵，，
∴
即，
∴，
∵，
∴，
∴
，故③错误；
故选：C
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11. 在中，若，则__________．
【答案】##度
【解析】
【分析】根据平行四边形对角相等求出，再根据，即可得到答案．
【详解】解：如图，

在中，，，，
∴，，
∴，
故答案为：
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等是解题的关键
12. 在平面直角坐标系中，已知双曲线经过、两点，则_______（填“>”、“
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标，解题关键是求出点的坐标，进行比较．求出和的值，进行比较即可．
【详解】解： 双曲线经过、两点，
，，
．
故答案为：．
13. 某校拟招聘一名优秀教师，小王的面试、笔试、试讲成绩分别为95分、90分、96分．根据实际需要，综合成绩将面试、笔试和试讲三项得分按的比例确定最后成绩，那么小王最后的成绩为__________分．
【答案】93.5
【解析】
【分析】根据加权平均数求解公式解答即可．本题考查加权平均数，熟知加权平均数的计算公式是解答的关键．
【详解】解：由题意，（分，
小王最后的成绩为93.5分
故答案为：93.5
14. 如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=6，AC垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是__________．
【答案】10
【解析】
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB=4，AD=BC=6．
∵AC的垂直平分线交AD于点E，
∴AE=CE，
∴△CDE的周长=DE+CE+DC=DE+AE+DC=AD+DC=6+4=10；
故答案为10．
15. 如图，菱形的周长为8，，E是的中点，P是对角线上的一个动点，则的最小值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查轴对称确定最短路线问题，菱形性质，等边三角形的判定与性质
连接，，根据菱形的性质可得，是等边三角形，再证明，可得，从而得到的最小值为的长，再由E是的中点，可得，然后根据勾股定理可得，即可求解．
【详解】解：如图，连接，，
∵四边形是菱形，周长为8，，
∴，，，
∴是等边三角形，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
即的最小值为的长，
∵E是的中点，
∴，
∴，
即的最小值为．
故答案为：．
16. 如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形的两边、分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数与相交于点D，与相交于点E，若点D为线段的中点，且的面积是15，则k值是__________．
【答案】20
【解析】
【分析】本题考查反比例函数和几何图形的面积，利用分割图形求面积是解题的关键．根据的面积等于矩形的面积减去其他三个三角形的面积即可求解．
【详解】解：设点，由于点D为线段的中点，四边形为矩形，
则，，，
点在上，，
，
，
，
即，
解得．
故答案为：20．
17. 若关于x的一元一次不等式组，的解集，且关于y的分式方程的解是非正数，则所有满足条件的整数a的值之和为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，分别通过解一元一次不等式组和分式方程确定的取值范围，再确定所有满足条件的整数，最后求解此题结果．
【详解】∵不等式组，
解不等式组得，
∵关于的一元一次不等式组的解集为，
∴，
∴，
∵，
解分式方程得：，
∵是非正数，且，
∴是非正数，且，
∴且，
∵且为整数，
∴且，
∴的值为、、、，，
∴所有满足条件的整数的值之和为：，
故答案为：．
18. 一个三位数n的百位为a，十位为b，个位为c，各数位上的数字互不相同，且都不为零．将n的任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和记为．如，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和．那么_________；若点在直线上，称直线为数n的互动直线，点M为数n的互动点．若为8的整数倍，则满足条件的n的互动点个数为__________．
【答案】 ①. 1332 ②. 8
【解析】
【分析】本题综合考查了新运算、新定义及一次函数上点的坐标．重点掌握的应用，理解并掌握新定义的运算方法，是解题的关键．
根据新定义的计算方法，进行计算即可； 根据新定义的计算方法，进行计算即可．
【详解】解：，对调百位与十位上的数字得到561，对调百位与个位上的数字得到156，对调十位与个位上的数字得到615，这三个新三位数的和，
故答案为：1332；
的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，任意一个三位数，对调百位与十位上的数字得到，对调百位与个位上的数字得到，对调十位与个位上的数字得到，这三个新三位数的和



．
点在直线上，，c是最大为9的正整数，
为8的整数倍，
或，
或，
或或 ，点，则满足条件的n的互动点个数为8，
故答案为：8．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上．
19. 已知y关于x的一次函数．
（1）若该函数的图象经过坐标原点，求m的值；
（2）若该函数图象经过第一、二、三象限，求m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
（1）根据函数图象过原点得到，即可求出m的值；
（2）根据函数图象的性质得到一元一元不等式组，解不等式组即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意得
可得；
【小问2详解】
由，
可得，
当时，函数图象经过第一、二、三象限．
20. 4月23日是世界读书日，为激发学生对阅读的热情，某校组织了一场课外知识竞赛．现从该校七、八年级各随机抽取20名同学的竞赛成绩（单位：分，满分100分），并进行整理、描述和分析（竞赛成绩用x表示，并分为A、B、C、D四个等级：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息：
七年级抽取的学生竞赛成绩的数据是：
66，68，77，78，78，79，85，86，86，86，86，87，88，88，89，89，95，96，96，97．
八年级抽取的学生竞赛成绩在B等的数据是：
80，80，81，84，87，89，89，89，89．
八年级抽取的学生竞赛成绩的扇形统计图
七、八年级抽取的学生竞赛成绩的统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出a，b，c的值；
（2）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的课外知识掌握较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七年级有600人、八年级有700人参加了此次课外知识竞赛，90分及以上为优秀，请估计七、八年级参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数共有多少？
【答案】（1）
（2）八年级学生的课外知识掌握较好，理由见解析
（3）330人
【解析】
【分析】本题考查了众数，中位数的求解，由众数做决策，由样本估计总体，扇形统计图的应用，正确应用扇形统计图是解题关键．
（1）根据众数，中位数的定义分别进行求解即可；
（2）八年级抽取的学生竞赛成绩的众数89大于七年级的众数86，故八年级学生的课外知识掌握较好；
（3）由成绩为A的学生数除以20人，乘以七八年级的学生总数即可求解．
【小问1详解】
解：由七年级抽取的学生竞赛成绩的数据可知，取得86分的人最多有4人，
，
七年级抽取的20名学生，第十名与十一名都是86分，
，
八年级B等成绩的学生有9人，故所占比例为，
C等成绩的学生所占比例为，
等成绩的学生所占比例为，
等成绩的学生有人，
八年级抽取的20名学生，第十名与十一名分别是分84分，87分，
【小问2详解】
八年级抽取的学生竞赛成绩的众数89大于七年级的众数86，故八年级学生的课外知识掌握较好；
【小问3详解】
由（1）可知等成绩的学生有6人，
（人）．
答：估计七、八年级参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数共有330人．
21. 如图，在中，点E在边上，连接．
（1）利用尺规作图，在边求作一点F，使得；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若，证明：四边形为菱形．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴______________________，．
∵，
∴（）．
∴，______________________．
∵，
∴，
∴______________________
∵，
∴四边形是平行四边形（______________________）．（填推理依据）
∵，
∴四边形是菱形（______________________）．（填推理依据）
【答案】（1）如图点F即为所求；
（2）； ； ；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
【解析】
【分析】本题主要考查了作图—基本作图，平行四边形的性质与判定，菱形的判定，熟练掌握基本作图方法以及菱形的性质与判定是关键．
（1）理解基本作图（作一个角等于已知角），即利用尺规作出即可．
（2）利用“四边形是平行四边形”证出，得，，进而推出四边形是平行四边形，最后依据，即可得出四边形是菱形．
【小问1详解】
解：如图点F即为所求；
【小问2详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，．
∵，
∴（）．
∴，．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
∵，
∴四边形是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）．
22. 如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于点，，且．直线与反比例函数（，）的图象交于点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）在该反比例函数图象上存在点，且到轴的距离为；连接，直线交轴于点，求的面积．
【答案】（1）；；（2）的面积为8．
【解析】
【分析】（1）先求得点坐标，将、代入一次函数表达式，得到一次函数的表达式，再求得点的坐标，将点代入反比例函数解析式即可求解；
（2）求得点坐标，再求得直线解析式，再求得点坐标，由图形可得
，分别求得和即可求解．
【详解】解：（1），
，
又，
．
将，分别代入中，
得 解得：
一次函数的表达式．
将代入中，
得
．
将代入中，得，
，
该反比例函数的表达式为．
（2）到轴的距离为，
．
在的图象上，
，
，
直线的表达式为．
直线交轴于点，
，．
．
【点睛】此题主要考查了一次函数与反比例函数的综合应用，涉及了割补法求解三角形面积，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
23. 如图1，菱形的周长为24，，点G为对角线上一点，且．动点P从点O出发，沿移动到点B时停止运动（点P不与点O、点B重合）．设点P的运动路程为x，的面积为y．
请回答以下问题：
（1）直接写出y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围：
（2）在图2的平面直角坐标系中画出y与x的函数图像，并写出该函数的一条性质；
（3）若的函数图像如图2所示，结合你画出的y与x的函数图像，直接写出当时，自变量x的取值范围．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）或
【解析】
【分析】此题考查了菱形的性质，动点问题的函数图象，解题关键是利用分类讨论思想，求出y与x的函数关系式和数形结合思想的应用．
（1）首先根据菱形的性质得到，，然后求出，然后分两种情况讨论：点P在上运动时和点P在上运动时，分别求解即可；
（2）根据（1）求出的表达式画出图象，进而求解即可；
（3）根据图象求解即可．
【小问1详解】
∵菱形的周长为24，
∴，
∵
∴
∴
∴当点P在上运动时，即时，
如图所示，当点P在上运动时，即时，过点P作于点E，
∴
∴
综上所述，；
【小问2详解】
如下图所示，
时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小；
当时，y有最大值6，无最小值．（答案不唯一）
【小问3详解】
根据图象得，
当时，或．
24. 如图，点E是正方形的边上的一点，的平分线交的延长线于点F，交于点G．
（1）若，求的长；
（2）求证：．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）求出，设，则， ，在中，由勾股定理得出方程，求出方程的解即可；
（2）根据平行线性质得出，
证，推出
，求出，推出即可．
【小问1详解】
解：四边形是正方形，
，
，
平分，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理，得，
解得，即；
【小问2详解】
证明：如图，延长到点M，使，
连结，
四边形是正方形，
，
，
平分，
．
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了正方形性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，用了方程思想．
25. 在一次抗击地震灾害中，某市组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种救灾物资共100吨到灾民安置点．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种救灾物资且必须装满．根据如表中提供的信息，解答下列问题：
（1）设装运食品的车辆数为x辆，装运药品的车辆数为y辆，求y与x之间的函数解析式（不用写出自变量取值范围）；
（2）如果装运食品的车辆数不少于6辆，装运药品的车辆数不少于4辆，那么车辆的安排有哪几种方案？若要求总运费最少，应采用哪种方案？并求出最少总运费．
【答案】（1）y＝﹣2x+20；（2）方案有三种，方案一：装运食品6辆、药品8辆，生活用品6辆；方案二：装运食品7辆、药品6辆，生活用品7辆；方案三：装运食品8辆、药品4辆，生活用品8辆； 选择方案三，最少总运费为12160元，见解析．
【解析】
【分析】（1）装运生活用品的车辆数为（20﹣x﹣y），根据三种救灾物资共100吨列出关系式；
（2）根据装运食品的车辆数不少于7辆装运药品的车辆数不少于4辆列出不等式组，求出x的取值范围并取整数值从而确定方案；分别表示装运三种物质的费用，求出表示总运费的表达式，再运用函数性质得到哪种方案总费用最少，并且可以求出最少费用是多少．
【详解】解：（1）根据题意，装运食品的车辆数为x，装运药品的车辆数为y，
那么装运生活用品车辆数为（20﹣x﹣y），
则有6x+5y+4（20﹣x﹣y）＝100，
整理得，y＝﹣2x+20；
（2）由（1）知，装运食品，药品，生活用品三种物资的车辆数分别为x，20﹣2x，x，
由题意，得，
解这个不等式组，得6≤x≤8，
因为x为整数，所以x的值为6，7，8．
所以安排方案有3种：
方案一：装运食品6辆、药品8辆，生活用品6辆；
方案二：装运食品7辆、药品6辆，生活用品7辆；
方案三：装运食品8辆、药品4辆，生活用品8辆；
设总运费为W（元），
则W＝6x×120+5（20﹣2x）×160+4x×100＝16000﹣480x，
因为k＝﹣480＜0，
所以W的值随x的增大而减小．
要使总运费最少，需x最大，则x＝8．
故选方案三．
W最小＝16000﹣480×8＝12160元．
最少总运费为12160元．
【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
26. 如图，中，，点为边上一点．
（1）如图1，若于点，，求的长；
（2）如图2，已知，延长至点，以、为边作，连接、，若于点，求证：；
（3）如图3，已知，将沿直线翻折，点落在点，在线段上求一点，使得的值最小，请直接写出最小值．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）由勾股定理可得，再根据，进行计算即可得到答案；
（2）在线段上取一点，使，证明得到，，再证明得到，即可得证；
（3）由折叠的性质可得，，将绕点逆时针旋转得到，连接，由旋转的性质可得，，，，连接，则，则当、、、四点在一条直线上时，的值最小，最小值为，作交的延长线于点，根据含30度角的直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，从而得到，最后再由勾股定理求出的长即可得到答案．
【小问1详解】
解：，，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
证明：如图，在线段上取一点，使，
于点，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：在中，，，将沿直线翻折，使点落点处，
，，
如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，
则，，，，
，
连接，则，
当、、、四点在一条直线上时，的值最小，最小值为的长度，
作交的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的最小值为．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、三角形全等的判定与性质、旋转的性质、含30度角直角三角形的性质、折叠的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．
年级
平均数
众数
中位数
七年级
85
a
b
八年级
85
89
c
物资种类
食品
药品
生活用品
每辆汽车运载量（吨）
6
5
4
每吨所需运费（元/吨）
120
160
100