重庆市南川区三校联盟2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答．
2．做答前认真阅读答题卡上的注意事项．
3．考试结束后，监考人员将答题卡收回．
一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑）
1. 若二次根式有意义，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式被开方数为非负数，可得出关于的不等式，解出即可得出答案．
【详解】解：二次根式有意义，
，
解得：．
故选：．
【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的被开方数为非负数，难度一般．
2. 已知的三边分别是a、b、c，下列条件中不能判断为直角三角形的是（ ）
A B.
C. D. ，，
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答．
【详解】解：A、，，
，
，
直角三角形，故A不符合题意；
B、，，
，
为直角三角形，故B不符合题意；
C、，
，
为直角三角形，故C不符合题意；
D、，，，
，
不是直角三角形，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．
3. 如图，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定方法逐个判断即可解决问题．
【详解】解：A、根据，，可能得出四边形可能是等腰梯形，不一定能推出四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
B、，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，得出四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、∵，，四边形内角和为，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
D、，，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可以判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是记住平行四边形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．两组对角分别相等的四边形是平行四边形．对角线互相平分的四边形是平行四边形．
4. 下列计算结果，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，熟知二次根式的四则运算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：B．
5. 如图，在中，，．将AB边与数轴重合，点A，点B对应的数分别为，2．以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意知，再根据勾股定理求，最后看图中点的位置求解即可．
【详解】解：由题意可知，，
∵在中，，，
∴，
∴，
又∵点在点的左边，点表示的数为，
∴点表示的数为，
故选：D．
【点睛】本题考查了数轴与几何的综合，读懂题意，熟练运用勾股定理是解题的关键．
6. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，已知，则的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据矩形的性质，等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，即可求解．
【详解】解：∵矩形的对角线，相交于点，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
7. 估计的值应该在（ ）
A. 6和7之间B. 7和8之间C. 8和9之间D. 9和10之间
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，估算无理数的大小．根据二次根式的混合运算法则先计算出的结果，再根据算术平方根的定义估算无理数的大小，进而得出的大小即可．
【详解】解：，
，
，
故选：B．
8. 如图，在中，过对角线的中点作交、分别于、，为中点，若，，则长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由平行四边形的性质得，则，可证明，则，由，，得，而为中点，则，于是得到问题的答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
，
为的中点，
，
在和中，
，
，
，
于点，
，
，
，
为中点，
，
故选：A．
【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，证明是解题的关键．
9. 如图，在菱形中，对角线、交于点，、分别为、中点．若，，则的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由菱形，证明，，，证明是的中位线，，可得，，，，，再利用勾股定理可得答案．
【详解】解：∵菱形，
∴，，，
∵、分别为、中点．，，
∴是的中位线，，
∴，，
∴，，
∴，
∴；
故选D
【点睛】本题考查的是三角形的中位线的性质，菱形的性质的应用，勾股定理的应用，熟记菱形的性质是解本题的关键．
10. 有依次排列的一列式子：，，，小明对前两个式子进行操作时发现：，，根据操作，小明得出来下面几个结论：
①；
②对第个式子进行操作可得；
③前10个式子之和为；
④如果前个式子之和为，那么．
小明得出的结论中正确的有（ ）
A. ①②③B. ①③④C. ②③④D. ①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】通过阅读题中给出的操作方法，总结出规律即可．
【详解】解：根据规律可知，
，故①②都正确；
前10个式子之和，故③正确；
如果前个式子之和为，
则，故④正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简和规律性问题，解题关键是严格按照规律进行运算即可．
二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分，请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上）
11. ______．
【答案】1
【解析】
【分析】根据算术平方根的性质和零指数幂的性质进行计算即可．
【详解】解：
；
故答案为：1
【点睛】本题考查了算术平方根的性质和零指数幂，熟练掌握它们是解题的关键．
12. 在平行四边形中，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】由平行四边形的性质得出，，，由已知条件求出，即可得出结果．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，，
又，
，
解得：，
；
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质；熟记平行四边形的对角相等，邻角互补是解决问题的关键．
13. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，点在轴上，则点的坐标为______ ．
【答案】
【解析】
【分析】由两点距离公式可求的长，由矩形的性质可求，即可求解．
【详解】解：连接，
点，，
，
四边形是矩形，
，
点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，掌握矩形的对角线相等是解题的关键．
14. 若最简二次根式与可以合并，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据同类二次根式、最简二次根式的定义解决此题．
【详解】解：∵最简二次根式与可以合并，
∴．
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查同类二次根式、最简二次根式，熟练掌握同类二次根式、最简二次根式的定义是解决本题的关键．
15. 如图，在中，，点是边的中点，，，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得的长，再直接利用勾股定理得出的长．
【详解】解：∵点是斜边的中点，，
∴．
∵，，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了勾股定理以及直角三角形的性质，正确掌握直角三角形的性质是解题关键．
16. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，点E是BC的中点，连结DE，且AB＝6，AC＝10，则DE＝__．
【答案】2
【解析】
【分析】延长BD交AC于F，证明△ADB≌△ADF，根据全等三角形的性质得到AF=AB=6，BD=DF，求出FC，根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】解：延长BD交AC于F，
在△ADB和△ADF中，
，
∴△ADB≌△ADF（ASA）
∴AF＝AB＝6，BD＝DF，
∴FC＝AC﹣AF＝4，
∵BD＝DF，BE＝EC，
∴DEFC＝2，
故答案为：2．
【点睛】题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
17. 若实数使得关于的分式方程有正整数解，且二次根式有意义，则符合题意的整数的和是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、分式方程的解的定义解决此题．
【详解】解：二次根式有意义，
，．
且．
，
去分母，得．
去括号，得．
移项，得．
关于的分式方程有正整数解，
，且是正整数且．
，且．
是整数，
或或．
符合题意的整数的和是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查分式方程的解、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，熟练掌握分式方程的解的定义、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件是解决本题的关键．
18. 对于一个各个数位上的数字均不为的三位自然数，将的各个数位上数字之和记为，若能被整除，则称是的“整和数”，最小的“整和数”为______ ；若三位数是的“整和数”，、、分别是数中某个数位上的数字，在、、任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为，最小的两位数记为，若为整数，则满足条件的数的最大值为______ ．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据“整和数”的定义进行分析即可，再由题意可得，则这个三位数的个位数字必为5，可设，则，再结合条件进行分析即可．
【详解】解：三位自然数的各个数位上的数字均不为0，
最小的“整和数”为：111；
三位数是15的“整和数”， 、、分别是数中某个数位上的数字，
，且数的个位数字必为5，
设，则，
令，
，
为整数，
当时，，则；
当时，，不符合题意；
当时，，，则或285；
当时，，不符合题意；
则满足条件的最大值为825．
故答案为：111，825．
【点睛】本题主要考查整式的加减，二元一次方程组的解法，解答的关键是明确数中的个位数字为．
三、解答题（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上）
19. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）10 （2）
【解析】
【分析】（1）先计算零次幂，化简二次根式，计算乘方运算，再合并即可；
（2）先计算二次根式的乘法运算，再合并即可．
【小问1详解】
解：原式；
【小问2详解】
原式．
【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，实数的混合运算，实数运算中涉及零次幂的含义、化简算术平方根，熟记运算法则是解本题的关键．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，2
【解析】
【分析】先对分式进行化简，然后再代入进行二次根式的运算即可．
【详解】解：原式=，
把代入得：原式=．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值及二次根式的运算，熟练掌握分式的运算及二次根式的运算是解题的关键．
21. 如图，四边形是矩形，连接交于点O，的平分线交于点E．
（1）尺规作图：作的角平分线交于点F，连接；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：四边形是平行四边形．
证明：∵四边形是矩形
∴，
∴
∵平分，平分
∴
∴
∵在和中

∴
∴
又∵
∴四边形是平行四边形
【答案】（1）见解析 （2）；；；
【解析】
【分析】（1）利用尺规作出图形即可；
（2）证明，推出，可得结论．
【小问1详解】
解∶如图， 即为所求；
【小问2详解】
证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
故答案为：；；；
【点睛】本题考查作图——基本作图，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
22. 四边形中，，，且，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求四边形的周长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）先证，得，，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由勾股定理得，，再由平行四边形的性质得，，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
【小问1详解】
证明：，，
，
在和中，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴平行四边形的周长．
23. 如图，要在河边修一个水泵站，分别向A、B两村送水，已知A、B两村到江边的距离分别为和，且A、B两村相距．
（1）水泵站应修建在何处，可使所用水管最短，请在图中设计出水泵站P的位置；
（2）若铺设水管的费用为每千米4000元，为了使铺设水管费用最节省，请求出最节省铺设水管的费用为多少元？
【答案】（1）见解析 （2）60000元
【解析】
【分析】本题考查最短路线问题，作出辅助线，构造出最短路线为斜边的直角三角形是解题的关键．
（1）作点关于河边所在直线的对称点，连接交直线于，则点为水泵站的位置；
（2）利用了轴对称的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质即可求解．
【小问1详解】
解：作点关于河边所在直线的对称点，连接交直线于，则点为水泵站的位置，此时，的长度之和最短，即所铺设水管最短；
小问2详解】
过点作直线的垂线，过作直线的平行线，设这两线交于点，则．过作于，
依题意：，，
，
（负值已舍去），
由题意得：，
，，
，
（负值已舍去），
，
，
答：最节约铺设水管的费用为60000元．
24. 如图，平行四边形中，对角线，相交于点O，于点E，于点F，且．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的证明，矩形的判定与性质，三角形内角和定理，通过比值换算，求出角的度数，再通过三角形内角和计算是解题的关键．
（1）要证明平行四边形是矩形，证明求得即可．
（2）首先根据矩形的性质和得到，，则，然后利用三角形内角和定理求解即可．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
【小问2详解】
解：∵，四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴在直角三角形中，，
∴．
25. 阅读下列材料并解决问题．
当时，比如，则，此时a的绝对值是它本身；
当时，，此时a的绝对值是零；
当时，比如，则，此时a的绝对值是它的相反数．由此可知：一个数的绝对值要分三种情况讨论，即：
，
在此分析的过程中，主要渗透了数学分类讨论思想．
问题解决：
（1）请仿照上述分类讨论的方法，分析二次根式的各种可能；
（2）猜想：与的大小关系；
（3）当x满足什么条件时，．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简：灵活运用二次根式的性质是解决问题的关键．
（1）讨论：当时，直接利用二次根式的性质得到；当时，利用零的算术平方根的定义得到，当时，先把变形为，再根据二次根式性质化简；
（2）由题中结论和（1）中的结论可得；
（3）先根据二次根式有意义的条件得，所以，则，所以只要满足即可．
【小问1详解】
解：当时，；
当时，，
当时，，
即；
【小问2详解】
解：由题意及（1）得，
；
【小问3详解】
解：有意义，
，
，
，
即，
解得，
即当满足时，．
26. 如图，正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交、或它们的延长线于点、．
（1）当绕点旋转到时如图，证明：；
（2）绕点旋转到时如图，求证：；
（3）当绕点旋转到如图位置时，线段、和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3），见解析
【解析】
【分析】（1）把绕点顺时针旋转，得到，证得、、三点共线，即可得到≌，从而证得；
（2）证明方法与（1）类似；
（3）在线段上截取，判断出≌，同（2）的方法，即可得出结论．
【小问1详解】
证明：如图，
∵把绕点顺时针旋转，得到，
≌，
，，
四边形是正方形，
，
，
点、、三点共线．
，
又，
在与中，
，
≌，
，
，
，
，
．
【小问2详解】
证明：如图，
把绕点顺时针旋转，得到，
≌，
，，
四边形是正方形，
，
，
点、、三点共线．
，
又，
在与中，
，
≌，
，
，
．
【小问3详解】
解： 理由如下：如图，在线段上截取，连接，
在与中，
，
≌，
，
．
在和中，
，
≌，
，
．
【点睛】本题是四边形综合题，考查正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．