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湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2024届高三下学期模拟（二）数学试卷
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这是一份湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2024届高三下学期模拟（二）数学试卷，共6页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题(共8题)
1. 已知集合 ， ， 则集合( )
A . B . C . D .
2. 已知z是复数，是实数，则z的( )
A . 实部为1 B . 实部为-1 C . 虚部为1 D . 虚部为-1
3. 若 ， 为单位向量，在方向上的投影向量为 ， 则( )
A . B . C . D .
4. 若5个正数之和为2，且依次构成等差数列，则其公差d的取值范围是( )
A . B . C . D .
5. 已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能为( )
A . B . C . D .
6. 已知实数 ， 则下列选项可作为的充分条件的是( )
A . B . C . D .
7. 若锐角 ， 满足 ， 则的最小值为( )
A . B . C . D .
8. 如图，在中， ， 其内切圆与AC边相切于点D且.延长BA至点E使得 ， 连接CE.设以C ， E两点为焦点且经过点A圆的离心率为 ， 以C ， E两点为焦点且经过点A双曲线的离心率为 ， 则的取值范围是( )
A . B . C . D .
二、多项选择题(共3题)
9. 某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成频，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析商分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10.则( )
参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：m ， ， ， n ， ， 平均数为.样本方差为 ， .
A . B . 估计该年级学生成绩的中位数约为77.14 C . 估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50 D . 估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25
10. 在菱形ABCD中， ， 将菱形ABCD沿对角线AC折成大小为的二面角 ， 若折成的四面体ABCD内接于球O ， 下列说法正确的是( )
A . 四面体ABCD的体积的最大值是 B . BD的取值范围是 C . 四面体ABCD的表面积的最大值是 D . 当时，球O体积为
11. 已知函数及其导函数的定义域均为R记.若满足 ， 的图像关于直线对称，且 ， 则( )
A . 是偶函数 B . C . D .
三、填空题(共3题)
12. 已知直线l是圆的切线，点和点到l的距离相等，则直线l的方程可以是.(写出一个满足条件的即可)
13. 初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明.四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数.设 ， 其中a ， b ， c ， d均为自然数，则满足条件的有序数组(a ， b ， c ， d)的个数是.(用数字作答)
14. 若一个正三棱台的各顶点之间的距离构成的集合为 ， 且该三棱台的所有顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为.
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
四、解答题(共5题)
15. 如图，直四棱柱的底面是边长为2的菱形， ， 平面.
（1） 求四棱柱的体积；
（2） 设点关于平面的对称点为E ， 点E和点关于平面对称(E和未在图中标出)，求平面ACD与平面所成锐二面角的大小.
16. 记为数列的前n项和，已知.
（1） 证明：数列是等比数列；
（2） 求最小的正整数m ， 使得对一切都成立.
17. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的右顶点为 ， 离心率为 ， P是直线上任一点，过点且与PM垂直的直线交椭圆于A ， B两点.
（1） 求椭圆的方程；
（2） 设直线PA ， PM ， PB的斜率分别为 ， ， ， 问：是否存在常数 ， 使得?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
18. 某大学有甲、乙两个运动场.假设同学们可以任意选择其中一个运动场锻炼，也可选择不锻炼，一天最多锻炼一次，一次只能选择一个运动场.若同学们每次锻炼选择去甲或乙运动场的概率均为 ， 每次选择相互独立.设王同学在某个假期的三天内去运动场锻炼的次数为X ， 已知X的分布列如下：(其中 ， )
（1） 记事件表示王同学假期三天内去运动场锻炼i次 ， 事件B表示王同学在这三天内去甲运动场锻炼的次数大于去乙运动场锻炼的次数.当时，试根据全概率公式求的值；
（2） 是否存在实数p ， 使得?若存在，求p的值：若不存在，请说明理由；
（3） 记M表示事件“甲运动场举办锻炼有奖的抽奖活动”，N表示事件“王同学去甲运动场锻炼”，.已知王同学在甲运动场举办锻炼有奖的抽奖活动的情况下去甲运动场锻炼的概率，比不举办抽奖活动的情况下去甲运动场锻炼的概率大，证明：.
19. 已知函数 ， ， 满足 ， 且在区间上无极值点.
（1） 求的单调递减区间；
（2） 当时，设的最大值为 ， 求的值域；
（3） 把曲线向左平移个单位，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.得到曲线.设函数 ， 将在区间上的极值点按从小到大的顺序排列成数列.若 ， 求实数k的值. X
0
1
2
3
P
a
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题(共8题)
1. 已知集合 ， ， 则集合( )
A . B . C . D .
2. 已知z是复数，是实数，则z的( )
A . 实部为1 B . 实部为-1 C . 虚部为1 D . 虚部为-1
3. 若 ， 为单位向量，在方向上的投影向量为 ， 则( )
A . B . C . D .
4. 若5个正数之和为2，且依次构成等差数列，则其公差d的取值范围是( )
A . B . C . D .
5. 已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能为( )
A . B . C . D .
6. 已知实数 ， 则下列选项可作为的充分条件的是( )
A . B . C . D .
7. 若锐角 ， 满足 ， 则的最小值为( )
A . B . C . D .
8. 如图，在中， ， 其内切圆与AC边相切于点D且.延长BA至点E使得 ， 连接CE.设以C ， E两点为焦点且经过点A圆的离心率为 ， 以C ， E两点为焦点且经过点A双曲线的离心率为 ， 则的取值范围是( )
A . B . C . D .
二、多项选择题(共3题)
9. 某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成频，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析商分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10.则( )
参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：m ， ， ， n ， ， 平均数为.样本方差为 ， .
A . B . 估计该年级学生成绩的中位数约为77.14 C . 估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50 D . 估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25
10. 在菱形ABCD中， ， 将菱形ABCD沿对角线AC折成大小为的二面角 ， 若折成的四面体ABCD内接于球O ， 下列说法正确的是( )
A . 四面体ABCD的体积的最大值是 B . BD的取值范围是 C . 四面体ABCD的表面积的最大值是 D . 当时，球O体积为
11. 已知函数及其导函数的定义域均为R记.若满足 ， 的图像关于直线对称，且 ， 则( )
A . 是偶函数 B . C . D .
三、填空题(共3题)
12. 已知直线l是圆的切线，点和点到l的距离相等，则直线l的方程可以是.(写出一个满足条件的即可)
13. 初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明.四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数.设 ， 其中a ， b ， c ， d均为自然数，则满足条件的有序数组(a ， b ， c ， d)的个数是.(用数字作答)
14. 若一个正三棱台的各顶点之间的距离构成的集合为 ， 且该三棱台的所有顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为.
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
四、解答题(共5题)
15. 如图，直四棱柱的底面是边长为2的菱形， ， 平面.
（1） 求四棱柱的体积；
（2） 设点关于平面的对称点为E ， 点E和点关于平面对称(E和未在图中标出)，求平面ACD与平面所成锐二面角的大小.
16. 记为数列的前n项和，已知.
（1） 证明：数列是等比数列；
（2） 求最小的正整数m ， 使得对一切都成立.
17. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的右顶点为 ， 离心率为 ， P是直线上任一点，过点且与PM垂直的直线交椭圆于A ， B两点.
（1） 求椭圆的方程；
（2） 设直线PA ， PM ， PB的斜率分别为 ， ， ， 问：是否存在常数 ， 使得?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
18. 某大学有甲、乙两个运动场.假设同学们可以任意选择其中一个运动场锻炼，也可选择不锻炼，一天最多锻炼一次，一次只能选择一个运动场.若同学们每次锻炼选择去甲或乙运动场的概率均为 ， 每次选择相互独立.设王同学在某个假期的三天内去运动场锻炼的次数为X ， 已知X的分布列如下：(其中 ， )
（1） 记事件表示王同学假期三天内去运动场锻炼i次 ， 事件B表示王同学在这三天内去甲运动场锻炼的次数大于去乙运动场锻炼的次数.当时，试根据全概率公式求的值；
（2） 是否存在实数p ， 使得?若存在，求p的值：若不存在，请说明理由；
（3） 记M表示事件“甲运动场举办锻炼有奖的抽奖活动”，N表示事件“王同学去甲运动场锻炼”，.已知王同学在甲运动场举办锻炼有奖的抽奖活动的情况下去甲运动场锻炼的概率，比不举办抽奖活动的情况下去甲运动场锻炼的概率大，证明：.
19. 已知函数 ， ， 满足 ， 且在区间上无极值点.
（1） 求的单调递减区间；
（2） 当时，设的最大值为 ， 求的值域；
（3） 把曲线向左平移个单位，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.得到曲线.设函数 ， 将在区间上的极值点按从小到大的顺序排列成数列.若 ， 求实数k的值. X
0
1
2
3
P
a
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