江苏省南京市建邺高级中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题

这是一份江苏省南京市建邺高级中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数，为虚数单位，则在复平面内复数所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
2．从甲队60人、乙队40人中，按照分层抽样的方法从两队共抽取10人，进行一轮答题．相关统计情况如下：甲队答对题目的平均数为1，方差为1；乙队答对题目的平均数为1.5，方差为0.4，则这10人答对题目的方差为（ ）
A．0.8B．0.675C．0.74D．0.82
3．从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是5的倍数的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．已知是边长为4的等边三角形，AB为圆M的直径，若点P为圆M上一动点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．若非零向量与满足，且，则为（ ）
A．三边均不相等的三角形
B．直角三角形
C．底边和腰不相等的等腰三角形
D．等边三角形
6．已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
7．设m、n为空间中两条不同直线，、为空间中两个不同平面，下列命题中正确的为（ ）
A．若m上有两个点到平面的距离相等，则
B．若，，则“”是“”的既不充分也不必要条件
C．若，，，则
D．若m、n是异面直线，，，，，则
8．宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是，则该汝窑双耳罐的体积是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设，，为复数，，下列命题中正确的是（ ）
A．若则B．若则
C．若则D．
10．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．在上的投影向量为
D．若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为
11．如图，棱长为2的正方体的外接球的球心为O，E、F分别为棱AB、的中点，G在棱BC上，则（ ）
A．对于任意点G，平面EFG
B．存在点G，使得平面EFG
C．直线EF被球O截得的弦长为
D．过直线EF的平面截球O所得的截面圆面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．某武警大队共有第一、第二、第三三支中队，人数分别为30，30，40.为了检测该大队的射击水平，从整个大队用按比例分配分层随机抽样共抽取了30人进行射击考核，统计得三个中队参加射击比赛的平均环数分别为8.8，8.5，8.1，估计该武警大队队员的平均射击水平为 环．
13．由于四边形不具有稳定性，所以求四边形面积公式需要有限制条件.我们将四个点在圆上的四边形称为圆内接四边形，圆内接四边形具有对角互补的性质.印度数学家婆罗摩笈多发现了圆内接四边形的面积公式为，其中、、、分别为圆内接四边形的4条边，，与海伦公式有类似之处.已知在圆内接四边形中，，，，，则四边形的面积为 .
14．如图所示，直角三角形所在平面垂直于平面，一条直角边在平面内，另一条直角边长为且，若平面上存在点，使得的面积为，则线段长度的最小值为 ．

四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．设复数．
(1)在复平面内，复数对应的点在实轴上，求；
(2)若是纯虚数，求.
16．本学期初，某校对全校高二学生进行数学测试（满分100），并从中随机抽取了100名学生的成绩，以此为样本，分成，得到如图所示频率分布直方图.
(1)估计该校高二学生数学成绩的平均数和分位数；
(2)为进一步了解学困生的学习情况，从数学成绩低于70分的学生中，分层抽样6人，再从6人中任取2人，求此2人分数都在的概率.
17．已知向量，，
(1)求；
(2)求满足的实数m，n的值；
(3)若，求实数k的值．
18．在中，角的对边分别为已知.
(1)求角的大小;
(2)若，求的面积;
(3)若为BC的中点，求AD的长.
19．如图所示，底面边长为的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为，高为4的正四棱锥.
(1)求棱台的体积；
(2)求棱台的表面积.
参考答案：
1．B
【分析】先利用复数的除法和乘方化简复数，再利用复数的几何意义即可.
【详解】复数
所以在复平面内复数所对应的点为，
该点位于第二象限.
故选：B.
2．D
【分析】根据分层抽样的均值与方差公式计算即可.
【详解】根据题意，按照分层抽样的方法从甲队中抽取人，
从乙队中抽取人，
这人答对题目的平均数为，
所以这人答对题目的方差为.
3．A
【分析】根据题意，先列举出所有情况，再从中挑出数字之和是5的倍数的情况，结合古典概型求概率，即可求解．
【详解】从6张卡片中无放回地随机抽取2张，有
共15种情况，其中数字之和为5的倍数的有共3种情况，
所以所求的概率为.
故选：A.
4．D
【分析】由题意得，然后利用数量积的运算律和计算公式计算即可.
【详解】如图所示

由图像可知，与夹角的范围为，
所以,
所以.
故选：D.
5．D
【分析】由已知可得的角平分线与BC垂直，可分析出是等腰三角形，根据数量积公式可求角A，即可判断.
【详解】因为分别为与同向的单位向量，
因为，可知的角平分线与BC垂直，则，
又因为，即，
且，则，所以是等边三角形.
故选：D.
6．C
【分析】由题意可知：，根据模长关系结合数量积的运算律可得，进而可求投影向量.
【详解】由题意可知：，
因为，则，
即，可得，
所以向量在向量方向上的投影向量为.
故选：C.
7．D
【分析】对于A，m与可以相交，直线m上关于交点对称的两点到平面的距离相等；对于B，C，根据面面垂直的判定及性质进行判断；对于D，根据面面平行的判定定理进行判断.
【详解】对于A，当直线m与相交时，直线m上关于交点对称的两点到平面的距离相等，故A错误；
对于B，若，，，则，又，所以；当时，，当时，，可以相交，所以“”是“”的充分不必要条件，故B错误；
对于C，若，，，m与n位置关系不固定，可以是各自平面内的任意直线，故C错误；
对于D，若m、n是异面直线，，，，，则在直线任取一点，过直线与点确定平面，，又，则，，，所以，又，，所以，故D正确.
故选：D.
8．D
【分析】求出上下圆台的高，利用台体体积公式求出答案.
【详解】上、下两圆台的高之比是，故上圆台的高为厘米，
下圆台的高为厘米，
故上圆台的体积为立方厘米，
下圆台的体积为立方厘米，
故该汝窑双耳罐的体积为立方厘米.
故选：D
9．ABD
【分析】对于A，化成，结合复数相等的知识即可求解；对于B，利用复数代数形式求解即可；对于C，举出反例即可；对于D，利用复数的向量表示作图即可判断.
【详解】设（），
对于A，若，则，
因为，结合复数相等的知识，所以，
所以选项A正确；
对于B，由，所以，
所以，
，
，
同理：，
所以，所以选项B正确；
对于C，令，，但是，
所以选项C错误；
对于D，设分别表示复数，

由，若不共线时，
如图：，即，

若共线且反向时，
如图： 易知，

若共线且同向时，
如图：易知，
综上：，所以选项D正确.
故选：ABD.
10．BCD
【分析】正八边形中，每个边所对的角都是，中心到各顶点的距离为2，然后再由数量积的运算判断AB,由投影向量和投影判断CD得答案．
【详解】由题意可知，正八边形每个边所对的角都是，中心到各顶点的距离为2，
对于A，，故A错误；
对于B，，则以，为邻边的对角线长是的倍，
可得，故B正确；
对于C，在上的投影向量为，故C正确；
对于D，设的夹角为则，其中表示在上的投影，
易知,延长DC交AB延长线于Q,当P在线段DC上运动，投影最大，
易知为等腰直角三角形，且,
则在中，,
在等腰三角形中，则
.故D正确．

故选:ABD．
【点睛】关键点点睛：本题考查向量数量积及性质，关键是利用数量积的几何意义确定在上的投影的最大值解决D选项.
11．BCD
【分析】A选项，举出反例；B选项，取为的中点时，证明平面即可判断；C选项，求出球心到EF的距离，利用垂径定理求解；D选项，结合C选项中的求解得到球心O到截面的距离，从而求出截面面积最小值.
【详解】对于A，当与重合时，平面，平面，
此时直线与平面相交，A错误；
对于B，因为四边形为正方形，则，
当为的中点时，，则，
因为平面，平面，则，
因为，平面，则平面，
因为平面，所以，同理，，
因为，平面，所以平面，即平面，
B正确；
对于C，取的中点，因为，为的中点，则，
所以，同理可得，则.
因为平面，平面，则，
所以，，则，
球的半径为，
所以直线被球截得的弦长为，C正确；
设截面圆半径为，球心到截面的距离为，则.
因为，则，所以截面圆面积，
即截面圆面积的最小值为，D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是结合空间中点、线、面的位置关系确定线面的位置关系，进而求出弦长及截面面积的最小值.
12．
【分析】先得到第一，第二，第三中队参加考核人数，估计求出参加考核的30人的平均射击环数.
【详解】该武警大队共有（人），
按比例分配得第一中队参加考核人数为；
第二中队参加考核人数为；
第三中队参加考核人数为，
所以参加考核的30人的平均射击环数为，
所以估计该武警大队队员的平均射击水平为环．
故答案为：
13．
【分析】连接，利用余弦定理分别得到，的长，再利用圆内接四边形的面积公式即可得到答案.
【详解】连接
因为在圆内接四边形中，，，，，所以，
在中，由余弦定理可得：，
所以在中，由余弦定理可得：，
化简可得，解得或(舍去)，
所以，则圆内接四边形的面积公式为
故答案为：
14．/
【分析】由题意，根据面面垂直的性质可得平面，利用线面垂直的性质可得，进而，由三角形的面积公式可得，即可求解.
【详解】在中，，则，
又平面，平面平面，
所以平面，连接，，所以，
得，设（），
则，即，得，
当即即时，取到最小值1，
此时取到最小值.
故答案为：

【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是利用勾股定理和三角形面积公式计算得到、，而，即为所求.
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据复数是实数，求，再根据复数的乘法运算公式，即可求解；
（2）首先利用复数除法运算公式化简复数，再根据复数的特征，即可求解，最后代入模的计算公式.
【详解】（1）由，得，
而由已知是实数，
于是，解得，
所以；
（2）依题意，是纯虚数，
因此，解得，
所以，.
16．(1)平均数为75.5，分位数为88；
(2).
【分析】（1）由频率分布直方图的面积和为1求出后，再由平均数，百分数的算法求出即可；
（2）利用分层抽样和古典概率的算法求出即可；
【详解】（1）由，解得.
该校高三学生期初数学成绩的平均数为.
前3组的频率和为，所以分位数为.
（2）分层抽样抽取的6人中，的有人，记为
的有人，记为，
从6人中任取2人，基本事件有，共15种，
其中2人分数都在的有共6种，
所以从6人中任取2人，分数都在的概率为.
17．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用平面向量的坐标求模即可；
（2）根据题意列方程组即可求解；
（3）结合平面向量的坐标运算利用平面向量的平行关系求参数即可.
【详解】（1）.
（2）由，得，解得.
（3），，
因为，所以，
解得.
18．(1)；
(2)；
(3)
【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合余弦定理即可求解；
（2）根据余弦定理得，进而根据三角形面积公式即可求解；
（3）根据向量的模长公式结合条件即可求解.
【详解】（1），
，
即.
由正弦定理得，由余弦定理得，
；
（2），
由余弦定理得，
；
（3）

在中，由余弦定理得，
即，又，得，
为BC的中点，，
两边平方得，
，
即中线AD的长度为.
19．(1)
(2)
【分析】（1）借助正四棱锥于棱台的性质可得棱台的高，结合棱台体积公式计算即可得；
（2）求出棱台各个面的面积后相加即可得.
【详解】（1）过点作底面于点，交平面于点，
由正四棱锥及棱台的性质可知，为底面的中心，
则，
即棱台的高，
，
（2）连接，则，则，
作于点，则，
故
.