黑龙江省齐齐哈尔市第八中学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（原卷版+解析版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 如图，从甲村到乙村有3条路可走，从乙村到丙村有2条路可走，从甲村不经过乙村到丙村有2条路可走，则从甲村到丙村的走法种数为（ ）
A. 3B. 6C. 7D. 8
2. 已知离散型随机变量X的分布列，则（ ）
A. 1B. C. D.
3. 已知等差数列的前n项和为，若，且，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
4. 二项式（x2－）11的展开式中，二项式系数最大的项为（ ）
A. 第5项B. 第6项
C. 第7项D. 第6项和第7项
5. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A. 曲线在点处切线斜率小于零
B. 函数在区间上单调递增
C. 函数在处取得极大值
D. 函数在区间内至多有两个零点
6. 小张､小王两人计划报一些兴趣班，他们分别从“篮球､绘画､书法､游泳､钢琴”这五个随机选择一个，记事件：“两人至少有一人选择篮球”，事件：“两人选择的兴趣班不同”，则概率（ ）
A B. C. D.
7. 已知函数的导函数为，且，则的极值点为（ ）
A. 或B. C. 或D.
8. 若对任意的正实数，，当时，恒成立，则的取值范围（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，选对部分得部分分，多选、错选或不选得0分，共18分）
9. 下列求导运算错误的是（ ）
A. B.
C D.
10. 已知是等比数列，，，则公比（ ）
A. B. C. 2D.
11. 下列关于函数的结论中，正确的是（ ）
A.
B. 函数既存在极大值又存在极小值
C. 当时，方程有且只有三个实根
D. 若时，，则的最小值为-3
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知数列的前项和，当取最小值时，___________.
13. 已知二项式（，）的展开式中含的项的系数为，则_________．
14. 设实数，若不等式恰好有四个整数解，则实数的取值范围为__________.
四、解答题（本大题共5题，15题13分，16—17题每题15分，18—19题每题17分共77分）
15. 已知（）的展开式中前项的二项式系数之和等于．
（1）求值；
（2）若展开式中的一次项的系数为，求实数的值．
16. 已知数列是正项等比数列，其前项和为，且，．
（1）求的通项公式；
（2）求的前项和为．
17. 设等差数列的公差不为，，且成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求使成立的的最小值.
18. 已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）已知，当，试比较与的大小，并给予证明．
19. 雪花是一种美丽的结晶体，放大任意一片雪花的局部，会发现雪花的局部和整体的形状竟是相似的，如图是瑞典科学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，其作法如下：
将图①中正三角形的每条边三等分，并以中间的那一条线段为一边向形外作正三角形，再去掉底边，得到图②；
将图②的每条边三等分，重复上述的作图方法，得到图③；
……
按上述方法，所得到的曲线称为科赫雪花曲线（Kch snwflake）．
现将图①、图②、图③、…中的图形依次记为、、…、、…．小明为了研究图形的面积，把图形的面积记为，假设a1＝1，并作了如下探究：
根据小明的假设与思路，解答下列问题．
（1）填写表格最后一列，并写出与关系式；
（2）根据（1）得到的递推公式，求的通项公式；
（3）从第几个图形开始，雪花曲线所围成的面积大于．
参考数据（，）
P1
P2
P3
P4
…
Pn
边数
3
12
48
192
…
从P2起，每一个比前一个图形多出的三角形的个数
3
12
48
…
从P2起，每一个比前一个图形多出的每一个三角形的面积
…