山东省威海市威海经济技术开发区2023-2024学年七年级下学期5月期中数学试题（原卷版+解析版）

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考试时间：120分钟
一、单选题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1. 下列方程中是二元一次方程的是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查二元一次方程定义，关键是根据二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．据此解答即可．
【详解】解：A、中，的次数为2，不是二元一次方程，故不合题意；
B、符合二元一次方程定义，是二元一次方程，故符合题意；
C、，不是整式方程，故不合题意；
D、中，的次数为2，不是二元一次方程，故不合题意；
故选：B．
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 通过多次试验得到某事件发生的频率等于这一事件发生的概率
B. 某人连续9次掷出的硬币都是正面朝上，那么第10次掷出的硬币反面朝上的概率一定大于正面朝上的概率
C. 确定事件的概率等于1
D. 试验结果的频率与概率不一定一致
【答案】D
【解析】
【分析】根据概率的意义，模拟实验，利用频率估计概率的含义，确定事件的含义，再逐一判断即可解答．
【详解】解：A、通过多次试验得到某事件发生的频率可以估计这一事件发生的概率，故A不符合题意；
B、某人连续9次掷出的硬币都是正面朝上，第10次掷出的硬币反面朝上的概率等于正面朝上的概率，故B不符合题意；
C、确定事件的概率等于1或0，故C不符合题意；
D、试验结果的频率与概率不一定一致，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了概率的意义，模拟实验，利用频率估计概率，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
3. 下列是假命题的是（ ）．
A. 直角都相等B. 同角的余角相等
C. 相等的角是对顶角D. 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】C
【解析】
【分析】根据直角、余角的概念、对顶角的概念、平行线的判定进行判断．
【详解】A、直角都相等，是真命题；
B、同角的余角相等，是真命题；
C、相等的角不一定是对顶角，则相等的角是对顶角是假命题；
D、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，是真命题；
故选：C．
【点睛】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
4. 以下四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是（ ）
A. 如图1，展开后测得∠1=∠2
B. 如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4
C. 如图3，测得∠1=∠2
D. 如图4，展开后再沿CD折叠，两条折痕的交点为O，测得OA=OB，OC=OD
【答案】C
【解析】
【详解】解：A．∠1=∠2，根据内错角相等，两直线平行进行判定，故正确，不符合题意；
B．∵∠1=∠2且∠3=∠4，由图可知∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，
∴∠1=∠2=∠3=∠4=90°，
∴a∥b（内错角相等，两直线平行），故正确，不符合题意；
C．测得∠1=∠2，
∵∠1与∠2即不是内错角也不是同位角，
∴不一定能判定两直线平行，故错误，符合题意；
D．在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD，
∴∠OAC=∠DBO，
∴a∥b（内错角相等，两直线平行），故正确，不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查了平行线的判定，灵活运用平行线的判定是解题的关键．
5. 一个含有角的直角三角板和直尺如图放置，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角，根据直尺两边平行，求出的度数，再根据三角形的外角的性质结合角的直角三角板的性质，求解即可．
【详解】解：∵直尺对边平行，
，
．
故选：C．
6. 《九章算术》中记载：“今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉；下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉．问上、下禾实一秉各几何？”其大意是：今有上等稻子三捆，若打出来的谷子再加六斗，则相当于十捆下等稻子打出来的谷子；有下等稻子五捆，若打出来的谷子再加一斗，则相当于两捆上等稻子打出来的谷子．问上等、下等稻子每捆打多少斗谷子？设上等稻子每捆打斗谷子，下等稻子每捆打斗谷子，根据题意可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组．根据上等稻子三捆，打出来的谷子再加六斗，相当于十捆下等稻子打出来的谷子；下等稻子五捆，打出来的谷子再加一斗，相当于两捆上等稻子打出来的谷子．列出方程组即可．
【详解】解：设上等稻子每捆打斗谷子，下等稻子每捆打斗谷子，根据题意，得：
；
故选A．
7. 如图，中，、、分别是、、的中点．一个小球在区域内自由滚动，它恰好停在空白区域内的概率为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中线分别求出，，，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：如图，连接、、

、、分别是、、的中点
中得，
在中得，
同理得，，
故选D．
【点睛】本题考查了三角形的中线及概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．
8. 已知关于，的方程组有以下结论，其中错误的是（ ）
①当时，方程组的解是；②当，则；
③不论取什么实数，的值始终不变 ④方程组的解为
A. ①B. ②C. ③D. ④
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，理解二元一次方程组解的定义，掌握二元一次方程组的解法是正确解答的关键．根据二元一次方程组的解法以及二元一次方程组解的定义逐项进行判断即可．
【详解】解：①当时，原方程组变为，
①②得，
，
解得，
把代入①得，，
解得，
所以方程组的解为，
因此①正确；
②当，即代入原方程组可得，
，
即，
②代入①得，
，
解得，
因此②正确；
关于，的方程组将①代入②得，
，
即，
所以，
即，
也就是说不论取什么实数，的值始终不变，
因此③正确，
④
①②得，
，
解得，
把代入①得，，
解得，
方程组的解为，
因此④错误，
故选：D
9. 在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，，则阴影部分图形的总面积为（ ）
A. 27B. 29C. 34D. 36
【答案】D
【解析】
【分析】设小长方形的长为，宽为，根据图形中大长方形的长和宽列二元一次方程组，求出x和y的值，即可解决问题．
【详解】解：设小长方形的长为，宽为，
根据题意，得：，
解得：，
∴每个小长方形的面积为，
∴阴影部分的面积，
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10. 如下图，的角平分线、相交于，，，且于，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的结论是（ ）

A. ①②B. ①②③C. ①②④D. ②③④
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的角平分线，灵活运用角平分线的定义及三角形的内角和定理是解题的关键．根据平行线的性质，结合角平分线的定义计算可判定①；根据三角形的内角和定理结合角平分线的定义可判定②；根据已知条件无法推知③；由角平分线的定义结合周角的定义可判定④．
【详解】解：，
，
平分，
，
，故①正确；
，
，
，且于，
，
，
平分，
，
，故②正确；
无法证明平分，故③错误；
，，
，
，
，故④正确；
所以其中正确的结论为①②④共3个，
故选：C
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11. 有五张看上去无差别的卡片，正面分别写着，，，，0．背面朝上混合后随机抽取一张，取出的卡片正面的数字是无理数的概率是______．
【答案】##0.2
【解析】
【分析】本题考查简单概率公式求概率，涉及无理数定义，根据所给五个数，确定无理数的个数，利用简单概率公式代值求解即可得到答案，熟记无理数定义及简单概率公式是解决问题的关键．
【详解】解：，，，，0中有一个无理数，混合后随机抽取一张，有5种等可能的结果，
混合后随机抽取一张，取出的卡片正面的数字是无理数的概率是，
故答案为：．
12. 对于命题“若，则”，下面四组a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是___________．（填序号）
①； ②；
③； ④．
【答案】②
【解析】
【分析】本题考查了举例说明假（真）命题，将四组a，b的值代入命题进行验证即可求解．
【详解】解：①，满足，，不能说明命题是假命题．
②，满足，但不满足，能说明命题是假命题．
③，满足，，不能说明命题是假命题．
④，不满足，不能说明命题是假命题．
故答案：②．
13. 五一小长假，小华和家人到公园游玩．湖边有大小两种游船．小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人．则1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为______．
【答案】
【解析】
【分析】设1艘大船可载人，1艘小船可载人，依题意：1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人．列出二元一次方程组，求出的值即可．
详解】解：设1艘大船可载人，1艘小船可载人，
依题意得：，
①②得：，
，
即1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为26，
故答案为：．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
14. 小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出了相应的两个一次函数图象如图所示，则他解的这个方程组是_________________．
【答案】
【解析】
【分析】利用待定系数法分别求出解析式即可得到答案．
【详解】解：设过点的直线解析式为，
∴，解得，
∴；
设过点的直线解析式为，
∴，解得，
∴，
∴他解的这个方程组是，
故答案为：．
【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与二元一次方程组的关系，正确理解一次函数与二元一次方程组的关系是解题的关键．
15. 如图，在中，，，于点E，于点D，则的度数为________．​
【答案】##65
【解析】
【分析】本题综合考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，余角的性质，先求出，再根据同角的余角相等可求得的度数．
【详解】解：∵，
∴，而，
∴，
∵于点E，于点D，
∴，
∴．
故答案为：．
16. 如图，长方形纸片，点E，F在边上，点G，H在边上，分别沿，折叠，使点D和点A都落在点M处，若，则的度数是______度．
【答案】
【解析】
【分析】利用长方形纸条对边平行进行角度转换，再利用折叠对应角相等和平角180°进行计算，得到中除外的两个角度和，最后有三角形内角和180°得到．
【详解】长方形纸条，
，
，，
由折痕，得到，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查折叠图形中角度的计算，利用折叠对称的性质得到角度关系，计算时综合其他角度计算是常考题，解题时须注意对应关系和复杂计算，找到对应关系和正确的计算是解题的关键．
三、解答题（共7小题，满分72分）
17. 解下列方程组：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查的是解二元一次方程组和三元一次方程组；熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键．
（1）先用加减消元法求出y的值，再用代入消元法求出x的值即可．
（2）先用加减消元法求出y的值，再用代入消元法求出x的值即可．
（3）先用加减消元法求出x的值，再求出y的值，然后用代入消元法求出z的值即可．
【小问1详解】
解：方程组整理得： ，
①－②×2得：，
把代入①得：，
则方程组的解为；
【小问2详解】
解：整理得：，
①②×2，可得，
把代入①，解得，
原方程组的解是．
【小问3详解】
解：
①+②得：，
③+②得：，
得：，解得，
把代入⑤得：，解得，
把，代入①得，解得，
∴方程组的解为．
18. 已知关于，的二元一次方程组的解为，求关于，的二元一次方程组的解．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组，将方程组化为与方程组系数相同的形式是本题的关键．设， 由得：，再求解即可．
【详解】解：由，得：
，
设，
由得：，
∵方程组的解是，
是方程组的解，
，
解得：．
19. 某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，如下图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据：
（1）完成上述表格：______，______；
（2）若继续不停转动转盘，当n很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近______，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是______；（结果都精确到0.1）
（3）顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为，得到“谢谢参与”的概率记为，则、、的大小关系是______．（用“＞”连接）
【答案】（1））0.305，148
（2）0.3，0.3 （3）
【解析】
【分析】（1）根据频率和频数的关系求得a和b的值即可；
（2）利用大量重复试验中的频率稳定值估计概率即可；
（3）利用概率公式分别求得、、的值后比较大小即可．
【小问1详解】
a＝122÷400＝0.305；b＝500×0.296＝148；
故答案为：0.305；148；
【小问2详解】
若继续不停转动转盘，当n很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近0.3，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是0.3；
故答案为：0.3，0.3；
【小问3详解】
＝；＝；＝，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是统计的综合知识．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．
20. 如图，已知分别在的延长线上，平分，
（1）是否平行于？并说明理由；
（2）试说明．
【答案】（1），理由见解析
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算，三角形的内角和定理：
（1）根据平行线性质结合已知条件推出，即可得出结论；
（2）根据角平分线的定义，结合三角形的内角和定理得到，结合，求出的度数，进一步求出的度数，即可得出结论．
【小问1详解】
解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
即：，
∴，
即：．
21. 某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如下表：
（1）采购人员不慎将污渍弄到表格上，根据表中的数据，判断污渍盖住地方对应金额是 __元；
（2）若后勤部购买牛奶25箱，咖啡20箱，则需支付金额1750元；
①求牛奶与咖啡每箱分别为多少元？
②超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价采购的咖啡有 箱（直接写出答案）．
【答案】（1）1650
（2）①牛奶与咖啡每箱分别为30元、50元；②6
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用：
（1）设牛奶一箱元，咖啡一箱元，由题意得：，再由，即可求解；
（2）①设牛奶一箱元，咖啡一箱元，由题意列出方程组，求解即可；②设牛奶与咖啡总箱数为箱，则打折的牛奶箱数为箱，设原价咖啡为箱，则打折咖啡与原价牛奶共有箱，由题意列出方程，求出正整数解即可．
【小问1详解】
解：设牛奶一箱元，咖啡一箱元，
由题意得：，
（元），
故答案为：1650；
【小问2详解】
解：①①设牛奶一箱元，咖啡一箱元，
由题意得：，
解得：，
答：牛奶与咖啡每箱分别为30元、50元；
②设牛奶与咖啡总箱数为，则打折的牛奶箱数为箱，
打折牛奶价格为：（元，打折咖啡价格为：（元），
即打折咖啡价格与牛奶原价相同，
设原价咖啡为箱，则打折咖啡与原价牛奶共有箱，
由题意得：，
整理得：，
∴
、均为正整数，
∴是正整数，
∴a必须是20的倍数，
，或，
，
，，
即此次按原价采购的咖啡有6箱，
故答案为：6．
22. 如图，中，于点，平分，若，．
（1）求的度数；
（2）若点为线段上的任意一点，当为直角三角形时，求的度数．
【答案】（1）
（2）的度数为或
【解析】
【分析】本题考查了三角形外角的定义及性质、与角平分线有关的计算、垂线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）由角平分线的定义得出，由三角形外角的定义及性质得出，由垂线的定义得出，最后由三角形内角和定理计算即可得出答案；
（2）分两种情况：当时，当时，分别求解即可得出答案．
【小问1详解】
解：平分，，
，
，，
，
于点，
，
；
【小问2详解】
解：如图，当时，
，
；
如图，当时，
，
，
；
综上所述，的度数为或．
23. 如图， 中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点H．
求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是证明线段相等的重要手段．
①首先计算出，进而得到，然后再计算出，然后证明可得；
②首先证明，然后证明，进而得到，再利用等量代换可得结论．
【小问1详解】
证明：，
，
又、分别平分、，
，
，
，
又，
，
，
在和中，
，
，
．
【小问2详解】
证明：，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又，
．
24. 【问题引领】
问题1：如图①，在四边形中，，，．、分别是，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是，延长到点．使．连接，先证明，再证明．他得出的正确结论是 ．
【探究思考】
问题2：如图②，若将问题1的条件改为：四边形中，，，，问题1的结论是否仍然成立？请说明理由．
【答案】问题1：，见解析；问题2：问题1中结论仍然成立，见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形得到判定与性质，解题的关键是根据题意正确作出辅助线．
（1）延长到点．使．连接，先证明，再证明，根据全等三角形的性质，即可得出结论；
（2）延长到点，使，连接，结合题意可推出，然后证明，再证明，即可得出结论．
【详解】解：问题1：．
延长到点．使．连接，
在和中，
，
．
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：；
问题2：问题1中结论仍然成立，如图②．
理由：延长到点，使，连接，
，，
．
在和中，
，
，
，．
，
，
．
．
在和中，
，
，
，
．转动转盘的次数n
100
200
300
400
500
落在“谢谢参与”区域的次数m
29
60
93
122
b
落在“谢谢参与”区域的频率
0.29
0.3
0.31
a
0.296
牛奶（箱
咖啡（箱
金额（元
方案一
20
10
1100
方案二
30
15
__________