+北京市海淀区首都师范大学附属中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷

这是一份+北京市海淀区首都师范大学附属中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列函数中是一次函数关系的是（ ）
A．B．y＝x2﹣1C．D．y＝2x﹣1
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）在△ABC中，三边长分别为3，4，5，那么△ABC的面积为（ ）
A．12B．6C．D．
4．（3分）如图，在▱ABCD中，∠B=42°，DE平分∠ADC，则∠DEC的度数为（ ）
A．14°B．18°C．21°D．22°
5．（3分）已知一次函数y＝﹣x+b的图象经过点A（2，m），B（4，n），则m与n的大小关系为（ ）
A．m＞nB．m＜nC．m＝nD．无法判断
6．（3分）已知矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB=3，∠ACB=30°，延长DC至点E，使得CE=DC，连接OE交BC于点F，则CF的长度为（ ）
A．1B．C．2D．
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点P（，a），在直线y=2x+2与直线y=2x+4之间，则a的取值范围是（ ）
A．2＜a＜4B．1＜a＜3C．1＜a＜2D．0＜a＜2
8．（3分）如图，E，F，G，H分别是边长为4的正方形ABCD四条边上的点（不与顶点重合），且满足AE=DH=CG=BF，记AF=x,则下列四个变量中，不存在最小值的是（ ）
A．BFB．FE
C．FHD．S四边形EFGH
二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）函数，自变量x的取值范围是 ．
10．（2分）直线y＝﹣3x向上平移2个单位长度，则所得新直线的函数表达式为 ．
11．（2分）已知菱形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，添加条件 可使菱形ABCD成为正方形．
12．（2分）如图，在矩形ABCD，BE平分∠ABC，交AD于点E，F是BE的中点，G是BC的中点，连接EC，若AB=8，BC=14，则FG的长为 ．
13．（2分）对于一次函数y＝kx+b，下表中给出3组自变量和相应的函数值．
则a+k的值为 ．
14．（2分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别为（0，3），，（4，0），BD∥x轴，则点D的坐标为 ．
15．（2分）直线y＝kx+b与y＝mx在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式组﹣1＜kx+b＜mx的解集为 ．
16．（2分）2024年3月14日森林学校举行了以π为主题的数学节，小兔和小龟进行了新型的“龟兔赛跑”比赛，它们在校园的π型跑道（图1）进行赛跑，小兔以A为起点，沿着A-E-D的线路到达终点D，小龟以B为起点，沿着B-E-C的线路到达终点C．小龟提前出发，小兔和小龟在经过线路中的大树E时都休息了2分钟，再以原速度继续比赛，最终小兔和小龟同时到达各自的终点．设小兔所跑的时间为x分钟（0≤x≤14），小龟所跑的路程S1与小兔所跑的路程S2差为y米，y＝S1﹣S2，图2是y与x的函数关系图象，则下列说法正确的是 （填写正确的序号）．①小龟跑了500米后小兔出发；
②当x＝8时，小龟到达大树E开始休息；
③小兔的速度为100米/分钟，大树E距离小兔的起点A800米．
三、解答题（本题共10小题，共60分，第17题10分，18-23每题5分，第24题6分，第25、26题每题7分）
17．（10分）计算：
（1）；
（2）．
18．（5分）如图，▱ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且BE=DF．求证：AF=EC．
19．（5分）已知x＝﹣1，求代数式x2+2x﹣3的值．
20．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝﹣2x+2．
（1）完成下列表格：
（2）在给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（3）根据图象回答：当y＞0时，x的取值范围是 ．
21．（5分）已知：在△AOD中，∠AOD=90°．
求作：菱形ABCD．
作法：
①延长AO，以点O为圆心，OA长为半径作弧，与AO的延长线交于点C；
②延长DO，以点O为圆心，OD长为半径作弧，与DO的延长线交于点B；
③连接AB，BC，CD．
所以四边形ABCD即为所求作的菱形．
（1）使用直尺和圆规作图（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵AO＝ ，DO＝ ，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵∠AOD＝90°，
∴AC⊥BD．
∴平行四边形ABCD是菱形．（ ）（填推理的依据）．
22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（4，3），N（-3，2），P（-2，-2）．
（1）若一次函数y=2x+b的图象经过已知三个点中的某一点，求b的最大值；
（2）当时，在图中用阴影表示直线y=kx+1运动的区域，并判断在点M，N，P中直线y=kx+1不可能经过的点是 ．
23．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，连接CD，过点B作BE∥CD，过点C作CE∥AB，BE、CE相交于点E．
（1）求证：四边形CEBD是菱形；
（2）过点D作DF⊥CE于点F，交CB于点G，若AB=10，CF=3，求DG的长．
24．（6分）如图是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）当输入的x的值为6时，此时输出的y的值为 ；
（2）当输出的y的值满足-2≤y＜-1时，求输入的x的值的取值范围；
（3）若输入x的值分别为m,m+3，对应输出y的值分别为y1，y2，是否存在实数m,使得y1＞y2恒成立？若存在，请直接写出m的取值范围；若不存在，请说明理由．​
25．（7分）已知正方形ABCD中，点E是射线BC上一点，连接AE，作AE的垂直平分线交直线CD于点M，交直线AB于点N，交AE于点F．
（1）如图1，当点E在正方形的边BC上时，
①依题意补全图形；
②求证：MN=AE；
（2）如图2，当点E在BC的延长线上时，连接BD并延长交NM的延长线于点P，连接PE．
①直接写出∠PEA的度数为 ；
②用等式表示线段PF，PM，FN之间的数量关系
26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于线段MN，若在坐标系中存在一点P使得四边形OMPN为菱形，则称线段MN为点O的“关联线段”．
（1）已知点M（1，3），则下列点N中，可以使得MN成为点O的“关联线段”的是 ；
①（﹣3，1）②（2，2）③
（2）已知点O的“关联线段”MN过点（1，1），且OM=2，求出线段OP的最大值；
（3）已知点M（-3，0），若存在点O的“关联线段”MN与直线y=kx-6k有交点，直接写出k的取值范围为 ．
2023-2024学年北京市海淀区首都师大附中八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
1．【答案】D
【解答】解：A．函数y＝﹣，不是一次函数；
B．函数y＝x2﹣7是二次函数，不是一次函数；
C．函数y＝，故本选项不符合题意；
D．函数y＝2x﹣1是一次函数．
故选：D．
2．【答案】A
【解答】解：A：，故此选项符合题意；
B：，故此选项不符合题意；
C：，故此选项不符合题意；
D：，不能进行计算．
故选：A．
3．【答案】B
【解答】解：在△ABC中，三边长分别为3，4，5，
∵32+22＝57，
∴△ABC是直角三角形，
∴△ABC的面积＝×3×4＝6．
故选：B．
4．【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC＝∠B＝42°，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝ADC＝，
∴∠DEC＝21°，
故选：C．
5．【答案】A
【解答】解：∵k＝﹣1＜0，
∴y随x的增大而减小．
又∵4＜4，
∴m＞n．
故选：A．
6．【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OD＝AC，
∴OD＝OC，
∵∠ACB＝30°，
∴∠OCD＝60°，
∴△CDO是等边三角形，
∴OC＝CD＝CE＝AB＝3，
∵∠OCE＝∠OCF+∠ECF＝120°，
∴∠COE＝∠E＝30°，
∵∠BOC＝180°﹣∠DOC＝120°，
∴∠BOF＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠ACB＝30°，
∴OF＝BF，
∵∠COF＝∠OCF，
∴OF＝CF＝BF，
∵∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，
∴AC＝2AB＝6，
∴BC＝＝3，
∴CF＝＝，
故选：B．
7．【答案】B
【解答】解：当P在直线y＝2x+2上时，a＝7×（﹣，
当P在直线y＝8x+4上时，a＝2×（﹣，
则1＜a＜4，
故选：B．
8．【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∵AE＝DH＝CG＝BF，
∴DE＝AF＝BG＝CH，
∴△AEF≌△BFG（SAS），
同理可得：△BFG≌△CGH（SAS），△CGH≌△DHE（SAS），
∴EF＝FG＝GH＝EH，∠AFE＝∠FGB，
∴四边形EFGH是菱形，
∵∠BFG+∠BGF＝90°，
∴∠AFE+∠BFG＝90°，
∴∠EFG＝90°，
∴四边形EFGH是正方形，
∴FH＝EF，S四边形EFGH＝EF2，
∵EF4＝AE2+AF2＝AE2+（4﹣AE）2＝7（AE﹣2）2+4，
∴当x＝2时，EF有最小值，S四边形EFGH有最小值，
∴HF有最小值，
故选：A．
二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分）
9．【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵x﹣3≥0，
∴x≥8．
故答案为：x≥3．
10．【答案】y＝﹣3x+2．
【解答】解：直线y＝﹣3x向上平移2个单位长度，则所得新直线的函数表达式为：y＝﹣2x+2．
故答案为：y＝﹣3x+5．
11．【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：AC＝BD；
根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：AB⊥BC；
故添加的条件为：AC＝BD或AB⊥BC．
12．【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝8，BC＝AD＝14，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠ABC＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB＝AE，
∴DE＝AD﹣AE＝AD﹣AB＝14﹣8＝6，
∴CE＝＝＝10，
∵F是BE的中点，G是BC的中点，
∴FG是△BCE的中位线，
∴FG＝CE＝，
故答案为：5．
13．【答案】﹣4．
【解答】解：把x＝1，y＝k代入得，
k＝k+b
解得b＝0，
∴y＝kx，
把x＝﹣8，y＝4代入得y＝kx，
4＝﹣k，
∴k＝﹣3，
把x＝a，y＝0代入得y＝kx，
∴0＝ak，
∴a＝3，
∴a+k＝﹣4，
故答案为：﹣4．
14．【答案】（4.5，1.5）．
【解答】解：作DE⊥x轴于E，
由矩形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别为（0，，（3，BD∥x轴，
得△ABF≌△DCE（AAS），
得CE＝FB＝0.5，DE＝AF＝2﹣1.5＝3.5，
得D（4+2.5，0+8.5），1.3）．
故答案为：（4.5，5.5）．
15．【答案】0＜x＜2．
【解答】解：从图象可知：两函数的交点坐标是（2，1），﹣5），
所以不等式组﹣1＜kx+b＜mx的解集是0＜x＜7．
故答案为：0＜x＜2．
16．【答案】①③．
【解答】解：①当x＝0时，y＝500．
∵小龟所跑的路程S1与小兔所跑的路程S3差为y米，y＝S1﹣S2，
∴小龟跑了500米后小兔出发．
故①正确；
②点M的坐标为（3，﹣60），乌龟与兔子的路程差为﹣80．但是第10分钟时，那么在点M处．
故②错误；
③第8分到第10分钟，只有乌龟在比赛；第10分钟时．兔子也到了大树下，那么第10到第12分钟，并且在点N（12．
∴兔子的速度＝＝100（米/分）．
∴兔子的总路程＝100×（12﹣2）＝1000（米）．
∴大树E距离小兔的起点A800米．
故③正确．
故答案为：①③．
三、解答题（本题共10小题，共60分，第17题10分，18-23每题5分，第24题6分，第25、26题每题7分）
17．【答案】（1）；
（2）0．
【解答】解：（1）原式＝
＝；
（2）原式＝5+1﹣3
＝8．
18．【答案】证明见解答．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB＝CD，AB∥CD
∵BE＝DF
∴AE＝CF
∵AB∥CD
∴四边形CEAF是平行四边形
∴AF＝EC．
19．【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵x＝﹣1，
∴x4+2x﹣3
＝（x﹣5）（x+3）
＝（﹣5﹣1）（
＝（﹣2）（
＝2﹣4
＝1．
20．【答案】（1）见解答；
（2）见解答；
（3）x＜1．
【解答】解：（1）∵y＝﹣2x+2，
∴当x＝3时，y＝2，x＝1；
（2）由（1）中的表格，可以画出该函数的图象
；
（3）由图象可得，
当y＞0时，x的取值范围是x＜1，
故答案为：x＜7．
21．【答案】（1）作图见解析部分；
（2）OC，OB，对角线垂直的平行四边形是菱形．
【解答】（1）解：如图，菱形ABCD即为所求；
（2）证明：∵AO＝OC，DO＝OB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵∠AOD＝90°，
∴AC⊥BD．
∴平行四边形ABCD是菱形（对角线垂直的平行四边形是菱形）．
故答案为：OC，OB．
22．【答案】（1）b的最大值为8；
（2）N．
【解答】解：（1）∵一次函数的比例系数为2，2＞6，
∴一次函数一定经过第一、三象限．
∵求b的最大值，
∴图象还应该经过第二象限的点N（﹣3，2）．
∴3×（﹣3）+b＝2．
b＝3．
答：b的最大值为8；
（2）当k＝时，图象经过（﹣4
∵图象必过点（0，5），
∴直线y＝kx+6运动的区域为过点（﹣4，0），6）的直线l与y轴之间的区域（不包括直线l和y轴）．
∴直线y＝kx+1不可能经过的点是N．
故答案为：N．
23．【答案】（1）见解析；
（2）DG的长为．
【解答】（1）证明：∵BE∥CD，CE∥AB，
∴四边形CEBD是平行四边形，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴CD＝BD＝，
∴四边形CEBD是菱形；
（2）解：∵AB＝10，
∴CD＝，
∵DF⊥CE，
∴∠DFC＝90°，
∵CF＝2，
∴DF＝＝7，
∵四边形CEBD是菱形，
∴CE＝CD＝5，∠DCG＝∠ECG，
∴EF＝CE﹣CF＝2，
在△DCG与△ECG中，
，
∴△DCG≌△ECG（SAS），
∴DG＝GE，
∵FG4+EF2＝EG2，
∴（4﹣DG）2+23＝DG2，
∴DG＝，
故DG的长为．
24．【答案】（1）0；
（2）﹣2≤x＜0；
（3）当m＞时，y1＞y2恒成立．
【解答】解：（1）x＝6＞4，
将x＝7代入y＝﹣x+7，
得，y＝﹣，
故答案为：7；
（2）观察表格得，当输出的y的值满足﹣2≤y＜﹣1时；
（3）x＝﹣4＜4，x＝0＜5，
将x＝﹣2、y＝﹣2、y＝﹣7代入y＝kx+b，
得，，
解得：k＝，b＝﹣3，
∴y＝x﹣2，
y＝x﹣7（x＜4）x+3（x≥4）图象如图所示，
，
∵y6＞y2恒成立，
∴当m≥4时，y＝﹣，y1＞y8恒成立，
当m＜4，m+3≥3时，y1＞y2恒成立，即m﹣1＞﹣，
解得：m＞，
综上，当m＞时，y5＞y2恒成立．
25．【答案】（1）①补全图形见解答过程；②证明见解答过程；
（2）①45°；②FN＝PF+PM，证明见解答过程．
【解答】（1）①解：补全图形如下：
②证明：过N作NH⊥CD于H，
∴∠NHM＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC，
∴∠CHN＝∠B＝∠C＝90°，
∴四边形BCHN是矩形，
∴NH＝BC，∠ANH＝BNH＝90°，
∴NH＝AB，
∵NM⊥AE，
∴∠AFN＝90°，
∴∠BAE+∠ANF＝∠ANF+∠HNM＝90°，
∴∠BAE＝∠HNM，
在△ABE和△NHM中，
，
∴△ABE≌△NHM（ASA），
∴AE＝MN；
（2）解：①过P作PT⊥AB交BA延长线于T，过E作EK⊥PT于K，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝45°，
∴△BPT是等腰直角三角形，
∴BT＝PT，
∵∠TBE＝∠BTK＝∠TKE＝90°，
∴四边形BEKT是矩形，
∴BT＝EK，∠K＝90°，
∴PT＝EK，
∵PF是AE的垂直平分线，
∴AP＝EP，
∴Rt△APT≌Rt△PEK（HL），
∴∠APT＝∠PEK，
∵∠PEK+∠EPK＝90°，
∴∠APT+∠EPK＝90°，
∴∠APE＝90°，
∴△APE是等腰直角三角形，
∴∠AEP＝45°；
故答案为：45°；
②由①可知，△APE是等腰直角三角形，
∵PF⊥AE，
∴AF＝EF＝PF，
∴AE＝2PF＝2（PM+MF）＝8PM+2MF，
同（1）可得AE＝MN，
∴MN＝2PM+8MF，
∴MN﹣MF＝2PM+MF＝（PM+MF）+PM＝PF+PM，
即FN＝PF+PM．
26．【答案】（1）：①③；
（2）线段OP的最大值为2；
（3）0≤k≤或﹣≤k≤0．
【解答】解：（1）∵四边形OMPN为菱形，
∴OM＝ON，
∵点M（1，3），
∴OM＝＝，
①当点N的坐标为（﹣3，1）时＝，
∴OM＝ON，
∴点N的坐标为（﹣3，1）时；
②当点N的坐标为（5，2）时＝4，
∴OM≠ON，
∴点N的坐标为（2，5）时；
③当点N的坐标为（2，﹣）时＝，
∴OM＝ON，
∴点N的坐标为（8，﹣）时；
故答案为：①③；
（2）∵点O的“关联线段”MN过点Q（6，1），如图，
∴点M在以O为圆心，2为半径的⊙O上，
当且仅当OQ⊥MN时，OP＝4OQ最大，
∵OQ＝＝，
∴线段OP的最大值为7；
（3）以O为圆心，OM长为半径画⊙O、N在⊙O上，
∵存在点O的“关联线段”MN与直线y＝kx﹣6k有交点，
∴MN与直线y＝kx﹣4k有交点，即直线y＝kx﹣6k与⊙O有交点，
当x＝0时，y＝﹣7k，
当y＝0时，kx﹣6k＝8，
∴直线y＝kx﹣6k与x轴交点为A（6，6），﹣6k），
过点A作⊙O的切线AC、AD、E，交y轴于点C、D、OE，
则OB⊥AC，OE⊥AD，OB＝OE＝3，
∴AB＝AE＝＝3，
∵∠OEA＝∠DOA＝90°，∠OAE＝∠DAO，
∴△AOE∽△ADO，
∴＝，即＝，
∴OD＝2，
∴D（6，﹣2），
同理可得C（2，﹣2），
当﹣7k＝﹣2时，解得k＝，
当﹣6k＝7时，解得k＝﹣，
∴k的取值范围为0≤k≤或﹣；
故答案为：7≤k≤或﹣．x
﹣1
a
1
y
4
0
k
x
0
y
0
输入x
…
﹣2
0
2
…
8
…
输出y
…
﹣2
﹣1
0
…
﹣1
…
x
8
1
y
2
7