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黑龙江省牡丹江市第一高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
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这是一份黑龙江省牡丹江市第一高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题，共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 分值: 150分
命题人：张宁 审题人：岳冬平
第I卷 (选择题, 共58分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 已知 |a|=2,|b|=1,且 a-b与 a+2b互相垂直，则a与b的夹角为( )
A. 30° B. 45° C. 60° D.90°
2.如图所示的是用斜二测画法画出的△AOB的直观图(图中虚线分别与x'轴， y'轴平行)，则原图形△AOB的面积是( )
A. 8
B. 16
C. 32
D. 64
3. 已知集合 A=z|z=in+1inn∈N*,则A的元素个数为()
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 已知正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱AB,AD,D₁C₁,CC₁的中点分别为E,F,G,H , 则下列直线中，与平面ACD₁和平面BDA₁的交线平行的直线 ( )
A. GH B. EH C. EG D. FH
5. 向量 a=62在向量 b=2-1上的投影向量的坐标为()
A. (2,-1) B.1-12 C. (4,-2) D. (3,1)
6. 在直角三角形ABC中，已知 AC=3,BC=3,∠C=90∘,以AC为旋转轴将 △ABC旋转一周，AB、BC边形成的面所围成的旋转体是一个圆锥，则经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值为( )
A.33 B. 4 C.63 D. 6
7. 已知非零向量 AB与 AC满足 AB|AB|+AC|AC|⋅BC=0,且 |AB-AC|=22,|AB+AC|=42,点D是△ABC的边AB上的动点,则 DB⋅DC的最小值为( )
A. -6 B.-32 C.-25 D. -1
8.已知三棱锥 P-ABC的四个顶点在球O 的球面上， PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形，E, F分别是PA, AB的中点, ∠CEF=90°, 则球O的体积为( )
A.86π B.46π C.26π D.6π二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9. 若 z₁,z₂,z₃为复数， z₁≠0,下列命题正确的是( )
A. 若 |z₂|=|z₃|,则 z₁=±z₁, B. 若 z₁z₂=z₁z₁,则 z₂=z₃
C. 若 z₂=z₁,则 |z₁z₂|=|z₁z₃| D. 若 z₁z₂=0,则 z₃=0或 z₂=0
10. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其外接圆半径为R，下列结论正确的有( )
A. 若G是 △ABC的重心，则 GA+GB+GC=0
B. Q是△ABC 所在平面内一点, 若 AQ=15AB+25AC,则△ABQ的面积是△ACQ的面积的2倍
C. 若 则△ABC是等腰三角形 sinBcs2A2=2bsinCb+c,
D. 若 a²=27-b²,3csA-BcsC=1,则△ABC的外接圆半径 R=94
11.“阿基米德多面体”也称为半正多面体(semi-regularslid)，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体.已知AB=2，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有( )
A.该半正多面体的体积为 4023
B.该半正多面体的顶点数V、面数F、棱数E满足关系式V+F--E=2
C.该半正多面体过A，B，C 三点的截面面积为 33
D.该半正多面体外接球的表面积为16π
第Ⅱ卷(非选择题，共92分)
注意事项：第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.已知某圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 2π3的扇形，若圆锥的体积为 22π3,则该圆锥的表面积为 .
13.在直四棱柱 ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱 AA₁=3,E 是BC的中点，F是棱CC₁上的点，且 CF=13CC1,过4₁作平面α, 使得平面α∥平面AEF, 则平面α截直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁, 所得截面图形的面积为
14.“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具.敦煌壁画就有伏羲女娲手执规矩的记载(如图(1))今有一块圆形木板，以“矩”量之，如图(2).若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角α满足( csα=35,则这块四边形木板周长的最大值为 (单位：厘米)
四、解答题(共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分 13分)
已知点O(0,0),A(2,1),B(4,3)及 OP=OA+tOB.
(1)若点 p在第一象限，求t的取值范围；
(2)四边形OABP能否成为平行四边形?若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由.
16. (本小题满分15分)
如图是一个棱长为2的正方体的展开图，其中M，N 分别是棱DB，KF的中点.请以G，E，K 三点所在面为底面将展开图还原为正方体.
(1) 求证: 点 M在平面AEN内;
(2)用平面AEN截正方体，将正方体分成两个几何体，两个几何体的体积分别为 V₁,V₂(V₁设 △ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c, AD为BC边上的中线,已知c=1且 2csinAcsB=asinA-bsinB+14bsinC,cs∠BAD=217.
(1)求边b的长度; (2)求 △ABC的面积；
18. (本小题满分 17分)
如图所示正四棱锥S-ABCD, SA=SB=SC=SD=2, AB= 2,P 为侧棱 SD 上一动点.
(1) 若直线SB∥面ACP, 求证: P为棱SD的中点;
(2)若SP=3PD,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE //平面PAC.若存在，求 SEEC的值；若不存在，试说明理由.
19.(本小题满分17分)
在①2acsA=bcsC+ccsB, ②(a+c)(sinA-sinC)=(b-c)sinB 这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答.(若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分)在 △ABC中, a,b,c分别是角A,B,C的对边, 已知 。
(1)求角A的大小;
(2) 若 AD为∠BAC的平分线, D为BC上的点, AB=4,AC=2,求AD的值;
(3)如图，若△ABC为锐角三角形，且其面积为 32,点G为 △ABC重心,点 M 为线段AC的中点,点N在线段AB上,且AN=2NB, 线段BM 与线段CN 相交于点 P,若 AP=mAB+nAC,求m+n的值及 |GP|的取值范围.
考试时间：120分钟 分值: 150分
命题人：张宁 审题人：岳冬平
第I卷 (选择题, 共58分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 已知 |a|=2,|b|=1,且 a-b与 a+2b互相垂直，则a与b的夹角为( )
A. 30° B. 45° C. 60° D.90°
2.如图所示的是用斜二测画法画出的△AOB的直观图(图中虚线分别与x'轴， y'轴平行)，则原图形△AOB的面积是( )
A. 8
B. 16
C. 32
D. 64
3. 已知集合 A=z|z=in+1inn∈N*,则A的元素个数为()
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 已知正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱AB,AD,D₁C₁,CC₁的中点分别为E,F,G,H , 则下列直线中，与平面ACD₁和平面BDA₁的交线平行的直线 ( )
A. GH B. EH C. EG D. FH
5. 向量 a=62在向量 b=2-1上的投影向量的坐标为()
A. (2,-1) B.1-12 C. (4,-2) D. (3,1)
6. 在直角三角形ABC中，已知 AC=3,BC=3,∠C=90∘,以AC为旋转轴将 △ABC旋转一周，AB、BC边形成的面所围成的旋转体是一个圆锥，则经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值为( )
A.33 B. 4 C.63 D. 6
7. 已知非零向量 AB与 AC满足 AB|AB|+AC|AC|⋅BC=0,且 |AB-AC|=22,|AB+AC|=42,点D是△ABC的边AB上的动点,则 DB⋅DC的最小值为( )
A. -6 B.-32 C.-25 D. -1
8.已知三棱锥 P-ABC的四个顶点在球O 的球面上， PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形，E, F分别是PA, AB的中点, ∠CEF=90°, 则球O的体积为( )
A.86π B.46π C.26π D.6π二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9. 若 z₁,z₂,z₃为复数， z₁≠0,下列命题正确的是( )
A. 若 |z₂|=|z₃|,则 z₁=±z₁, B. 若 z₁z₂=z₁z₁,则 z₂=z₃
C. 若 z₂=z₁,则 |z₁z₂|=|z₁z₃| D. 若 z₁z₂=0,则 z₃=0或 z₂=0
10. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其外接圆半径为R，下列结论正确的有( )
A. 若G是 △ABC的重心，则 GA+GB+GC=0
B. Q是△ABC 所在平面内一点, 若 AQ=15AB+25AC,则△ABQ的面积是△ACQ的面积的2倍
C. 若 则△ABC是等腰三角形 sinBcs2A2=2bsinCb+c,
D. 若 a²=27-b²,3csA-BcsC=1,则△ABC的外接圆半径 R=94
11.“阿基米德多面体”也称为半正多面体(semi-regularslid)，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体.已知AB=2，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有( )
A.该半正多面体的体积为 4023
B.该半正多面体的顶点数V、面数F、棱数E满足关系式V+F--E=2
C.该半正多面体过A，B，C 三点的截面面积为 33
D.该半正多面体外接球的表面积为16π
第Ⅱ卷(非选择题，共92分)
注意事项：第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.已知某圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 2π3的扇形，若圆锥的体积为 22π3,则该圆锥的表面积为 .
13.在直四棱柱 ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱 AA₁=3,E 是BC的中点，F是棱CC₁上的点，且 CF=13CC1,过4₁作平面α, 使得平面α∥平面AEF, 则平面α截直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁, 所得截面图形的面积为
14.“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具.敦煌壁画就有伏羲女娲手执规矩的记载(如图(1))今有一块圆形木板，以“矩”量之，如图(2).若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角α满足( csα=35,则这块四边形木板周长的最大值为 (单位：厘米)
四、解答题(共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分 13分)
已知点O(0,0),A(2,1),B(4,3)及 OP=OA+tOB.
(1)若点 p在第一象限，求t的取值范围；
(2)四边形OABP能否成为平行四边形?若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由.
16. (本小题满分15分)
如图是一个棱长为2的正方体的展开图，其中M，N 分别是棱DB，KF的中点.请以G，E，K 三点所在面为底面将展开图还原为正方体.
(1) 求证: 点 M在平面AEN内;
(2)用平面AEN截正方体，将正方体分成两个几何体，两个几何体的体积分别为 V₁,V₂(V₁
(1)求边b的长度; (2)求 △ABC的面积；
18. (本小题满分 17分)
如图所示正四棱锥S-ABCD, SA=SB=SC=SD=2, AB= 2,P 为侧棱 SD 上一动点.
(1) 若直线SB∥面ACP, 求证: P为棱SD的中点;
(2)若SP=3PD,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE //平面PAC.若存在，求 SEEC的值；若不存在，试说明理由.
19.(本小题满分17分)
在①2acsA=bcsC+ccsB, ②(a+c)(sinA-sinC)=(b-c)sinB 这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答.(若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分)在 △ABC中, a,b,c分别是角A,B,C的对边, 已知 。
(1)求角A的大小;
(2) 若 AD为∠BAC的平分线, D为BC上的点, AB=4,AC=2,求AD的值;
(3)如图，若△ABC为锐角三角形，且其面积为 32,点G为 △ABC重心,点 M 为线段AC的中点,点N在线段AB上,且AN=2NB, 线段BM 与线段CN 相交于点 P,若 AP=mAB+nAC,求m+n的值及 |GP|的取值范围.
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