吉林省长春市朝阳区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．
2、答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．
一、选择题（每小题3分，共24分）
1. 要使分式有意义，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查分式有意义的条件．根据分式有意义的条件“分母不为零”进行解题即可．
【详解】解：由题可知，
时有意义，
即．
故选：A．
2. 春季来临，友谊公园的鲜花盛开，郁金花的花香更浓．某品种郁金香花粉直径约为0.000000032米，数据0.000000032用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了用科学记数法表示绝对值较小的数．绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：数据0.000000032用科学记数法表示为．
故选：C．
3. 若反比例函数的图象经过点，则下列各点在这个函数图象上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点．由点可求出的值，再求出四个选项中点的横纵坐标之积，比照后即可得出结论．
【详解】解：反比例函数的图象经过点，
．
A、，点不在函数图象上，不符合题意；
B、，点在函数图象上，符合题意；
C、，点不在函数图象上，不符合题意；
D、，点不在函数图象上，不符合题意．
故选：B．
4. 直线经过的象限是（ ）
A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限
C. 第一、三、四象限D. 第二、三、四象限
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于一次函数（k为常数，），当的图象在一、二、三象限；当的图象在一、三、四象限；当的图象在一、二、四象限；当的图象在二、三、四象限，据此可得答案．
【详解】解：∵在中，，
∴直线经过的象限是第二、三、四象限，
故选：D．
5. 如图，在中，平分交于点．若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．根据平行四边形的性质及平行线的性质得出，再由角平分线得出，继续应用平行线的性质求解即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
6. 如图，在中，对角线、相交于点．若，，，则的周长是（ ）
A. 20B. 21C. 25D. 27
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查平行四边形的性质．利用平行四边形的对角线互相平分可得答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
的周长，
故选：A．
7. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则下列说法错误的是（ ）
A. ，
B. 经过一、二、四象限的直线是
C. 关于x、y的方程组的解为
D. 关于的不等式的解集是
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了一次函数与方程组和不等式．根据一次函数的性质以及一次函数与方程、不等式的关系分析解答即可．
【详解】解：A、由直线的图象可得随的增大而增大，故，直线与轴的交点在轴的正半轴，故，说法正确，故本选项不符合题意；
B、直线经过的象限是一、二、四，说法正确，故本选项不符合题意；
C、当时，，解得，则，
所以关于、方程组的解为，说法正确，故本选项不符合题意；
D、关于的不等式的解集是，原说法错误，故本选项符合题意．
故选：D．
8. 如图，是等腰直角三角形，直角顶点的坐标为，且垂直于轴于点．函数的图象与边、分列交于点D、点．若是边的中点，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，正确表示出D、E的坐标，利用等腰三角形的性质求得k的值是解题的关键．
首先得到点D的纵坐标为1，点E的横坐标为2，，然后表示出，，得到，求出，进而求解即可．
【详解】∵是等腰直角三角形，垂直于轴于点
∴轴
∵直角顶点的坐标为
∴点D的纵坐标为1，点E的横坐标为2，
∵函数的图象与边、分列交于点D、点
∴，
∴，
∴
解得
∴
∴
∴
∴．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9. 若分式的值为零，则的值为_________．
【答案】7
【解析】
【分析】本题考查分式的值为零的条件．根据“分子为零，分母不为零”进行解题即可．
【详解】解：由题可知，
，
解得．
故答案为：7．
10. 化简的结果为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的乘法，先把分子、分母进行因式分解，再约分即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
11. 锐角为的两个平行四边形按如图所示的位置摆放．若，则的大小为_________度．
【答案】25
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，多边形的内角和公式．根据平行四边形的性质结合五边形的内角和公式即可求解．
【详解】解：锐角为的两个平行四边形按如图所示的位置摆放，
，，
，，
，
，
故答案为：25．
12. 如图，在平面直角坐标系，将直线平移后得到直线．若点在直线上，则的值是_________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．把点代入即可求解．
【详解】解：点在直线上，
，
故答案为：1．
13. 如图，在中，过点分别作于点于点．若，且周长为32，则的长为_________．
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的周长与面积得到关于、的两个方程，然后解方程即可．
【详解】解∵的周长，
∴①，
∵，，，，
∴，即②，
联立①②解得，，
故答案为：10．
14. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的顶点．在轴上，垂直于轴，点分别在函数和的图象上．若的面积为，且，则的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，连接，利用平行线间的距离相等，即可求得，利用反比例函数系数的几何意义得出，，即可得出即 ，与构成方程组，解方程组即可求解，明确是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵的顶点在轴上，垂直于轴，
∴轴，
∴，
∵点分别在函数和的图象上，
∴，，
∴，
∴，
∵，
得，即 ，
故答案为：．
三、解答题（本大题10小题，共78分）
15. 计算：．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查负整数指数幂，零次幂，乘方．根据负整数指数幂，零次幂，乘方的运算法则计算即可．
【详解】解：
．
16. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：原式
当时，原式．
17. “竹外桃花三两枝，春江水暖鸭先知”．为了使春天来长白山旅游的客人能够买到中华秋沙鸭玩偶，某手工作坊计划制作600个“秋沙鸭”玩偶，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的倍，结果提前2天完成任务．问原计划平均每天制作多少个玩偶？
【答案】50
【解析】
【分析】本题考查分式方程的应用，根据题意列出分式方程是解题的关键.
根据题意列出分式方程解答即可.
【详解】解：设原计划平均每天制作x个玩偶，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：原计划平均每天制作50个玩偶．
18. 如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指间的距离称为指距．某项研究表明，一般情况下人的身高是指距的一次函数．下表是测得的一组数据：
（1）求y与x之间的函数关系式．（不要求写出x的取值范围）
（2）若小明的指距为25cm，求他的身高．
（3）姚明身高为226cm，直接写出他的指距约为_________cm．（结果精确到1cm）
【答案】（1）
（2）他的身高为；
（3）27
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求出一次函数解析式是关键．
（1）根据表格数据，待定系数法求出与之间的函数关系式即可；
（2）把代入（1）中解析式，求出身高即可；
（3）将代入（1）中解析式，求出指距即可．
【小问1详解】
解：设与的函数关系式为．
由题意可得，
解得，
与之间的函数关系式；
【小问2详解】
解：当时，．
答：他的身高为；
【小问3详解】
解：当时，，
解得：
故答案为：27．
19. 图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，线段的端点均在格点上，要求只用无刻度的直尺，在给定的网1格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法，保留作图痕迹．
（1）在图①中以线段为边画一个面积为3的．
（2）在图②中以线段为对角线画一个面积为9的
（3）在图③中以线段为对角线画一个面积最大的．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查网格中作图、平行四边形的判定与性质，熟知平行四边形的判定是解答的关键．
（1）利用网格特点，作一个底是1，高是3的平行四边形即可；
（2）利用网格特点，作一个底是3，高是3的平行四边形即可；
（3）利用网格特点和平行四边形的判定与性质，结合要求画图即可．
【小问1详解】
解：如图，四边形即为所求作；
【小问2详解】
解：如图，四边形即为所求作；
【小问3详解】
解：如图，四边形即为所求作．
20. 如图，的对角线和相交于点O，过点且与边、分别相交于点和点．
（1）求证：．
（2）若，则的最小值为__________．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质，证明即得．
（2）根据，得到，，结合，得到，利用垂线段最短计算即可．
本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，熟练掌握平行四边形的性质，垂线段最短是解题的关键．
【小问1详解】
∵的两条对角线相交于点O，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
∵，
∴，，
∵的两条对角线相交于点O，
∴，
∴，
设边上的高为h，
∴，
解得，
根据垂线段最短，
故当为三角形的高时，最小，且最小值为，
故答案为：．
21. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数在第二象限的图象交于点，与轴交于点，连结并延长交这个反比例函数第四象限的图象于点．
（1）求的值和这个反比例函数的表达式．
（2）求的面积．
（3）当直线对应的函数值大于反比例函数的函数值时，直接写出的取值范围．
【答案】（1），
（2）
（3）或
【解析】
【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数的对称性，三角形面积，解题的关键是数形结合；
（1）先求出点的坐标，然后代入反比例函数解析式，求出的值即可；
（2）由一次函数的解析式求得点的坐标，利用反比例函数的对称性求得点的坐标，然后根据即可求解；
（3）根据图象即可求得．
【小问1详解】
解：在一次函数 的图象上，
，
解得，
点的坐标为，
，
反比例函数的对应的函数关系为；
【小问2详解】
解：当时，，
解得，
点的坐标为．
点在反比例函数的图象上，
，根据对称性，
点的坐标为，
；
【小问3详解】
解：当直线对应的函数值大于反比例函数的函数值时，或．
22. 设的面积为，点是平面内一点，如图，连结、、、，和的面积分别记为、．
【感知】（1）如图①，点在边上，若，，则__________；
【探究】（2）如图②，点在内部，求证：；
【应用】（3）如图③，连结图②中的，其它条件不变．若，的面积为7，则的面积为__________；
（4）如图④，点在边上方，且在直线、之间，连结，若，，且，则五边形的面积为__________．
【答案】（1）14；（2）见解析；（3）4；（4）19
【解析】
【分析】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识．
（1）证出，则可得出答案；
（2）过点作于点，延长交边于点．证出．则可得出结论；
（3）由（2）中的结论列出方程可得出答案；
（4）过点作，交的延长线于点，延长交边于点．由（2）可知，，求出，再求出，则可得出答案．
【详解】（1）解：连接，
四边形是平行四边形，
∴，
，
，
，，
．
故答案为：14；
（2）证明：如图，过点作于点，延长交边于点．
四边形是平行四边形，
∴，．
．
，．
．
，
；
（3）解：设，
，
，
，，
，
，
；
故答案为：4；
（4）解：过点作，交的延长线于点，延长交边于点．
由（2）可知，，
，
∵，
，
．
故答案为：19．
23. 【教材呈现】下图是华师版八年级下册数学教材第70页的部分内容．
写出这道题完整的解题过程．
【拓展】（3）设（2）问中求得的所有直线的交点为点C．过点C作直线，则直线l、直线和坐标轴所围成的图形的面积为__________．
【答案】（1）；（2）能，画出3条，、、；（3）
【解析】
【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是掌握三角形中线平分三角形面积．
（1）求出，，知，，由三角形面积公式得；
（2）由三角形的中线平分三角形面积，可知能画出3条直线把分成面积相等的两部分，求出各边中点坐标，由待定系数法可得这三条直线分别是，，；
（3）设直线交轴，轴于，，求出直线解析式为，可得，，故，从而可得直线、直线和坐标轴所围成的图形的面积为．
【详解】解：（1）在 中，令得，令得，
，，
，．
；
（2）过的顶点能画出直线把分成面积相等的两部分；
三角形的中线平分三角形面积，
能画出3条直线把分成面积相等的两部分，
过中点和的直线为；
过中点和的直线为；
过中点和的直线为；
这三条直线分别是，，；
（3）设直线交轴，轴于，，如图：

由得，
，
设直线解析式为，把代入得：
，
，
直线解析式为，
令得，令得，
，，
，
，
直线、直线和坐标轴所围成的图形的面积为；
故答案：．
24. 一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，后，一辆货车从A地出发，沿同一路线以每小时的速度匀速驶向B地，货车到达B地装卸货物耗时．然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车各自离A地的路程与货车出发时间之间的函数图象如图所示

（1）_________，_________．
（2）求c的值．
（3）求货车返回过程中y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（4）当两车相距时，直接写出巡逻车行驶的时间．
【答案】（1）1，60
（2）
（3）货车返回时与之间的函数关系式为
（4）巡逻车行驶的时间为或或
【解析】
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键．
（1）根据货车装货花了15分钟即可求出a的值；根据货车从A地到B地花了小时结合路程速度时间即可求出A、B两地的距离；
（2）根据路程=速度×时间，先求出巡逻车的速度，在求出c即可；
（3）利用待定系数法求解即可；
（4）分两车从A前往B途中相遇前后和货车从B往A途中相遇前后，四种情况建立方程求解即可．
小问1详解】
解：∵货车到达B地填装货物耗时15分钟，
∴，
千米，
∴A，B两地之间的距离是60千米，
故答案为： 1，60；
【小问2详解】
解：由题意得，巡逻车的速度为千米/小时，
∴；
【小问3详解】
解：设货车返回中y与x的函数解析式为
将，代入，得

解得，
∴线段所在直线的函数解析式为；
【小问4详解】
解：设货车出发x小时两车相距15千米，
当两车都在前往B地的途中且未相遇时两车相距15千米，则，
解得（舍去）；
当两车都在前往B地的途中且相遇后两车相距15千米，则，
解得，
∴；
∵，
∴货车卸货过程中两车不可能相距15千米，
当货车从B地前往A地途中且两车未相遇时相距15千米，则，
解得，
∴；
当货车从B地前往A地途中且两车相遇后相距15千米，则，
解得，
∴；
综上所述，当巡逻车出发小时或小时或小时时，两车相距15千米．指距
19
20
21
身高
151
160
169
15．直线分别交轴、轴于A、B两点，是原点．
（1）求的面积．
（2）过的顶点能不能画出直线把分成面积相等的两部分？可以画出几条？写出这样的直线所对应的函数表达式．