山东省临沂市费县2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分120分，考试时间90分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置．考试结束后，只上交答题卡．
2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分．
第Ⅰ卷（选择题 共48分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分）请将唯一正确答案的代号填涂在答题卡上．
1. 以下各数，，，，（每两个9之间依次多一个1），其中无理数的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了无理数的定义，根据无理数的定义：即不循环的无限小数，即可求解．
【详解】解：，，，，（每两个9之间依次多一个1），
其中，，（每两个9之间依次多一个1）是无理数，共3个
故选：C．
2. 如图，点P是直线AB外一点，过点P分别作，，则点C、P、D三个点必在同一条直线上，其依据是（ ）
A. 两点确定一条直线
B. 同位角相等，两直线平行
C. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D. 平行于同一条直线的两条直线平行
【答案】C
【解析】
【分析】根据过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行即可．
【详解】解：因为，
∴．
所以则点C、P、D三个点必在同一条直线上，理由：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
故选：C．
【点睛】本题考查过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，熟练掌握性质定理解答此题的关键．
3. 下列各式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了立方根和平方根，掌握其定义和性质是解题的关键；
非负数的算术平方根是非负数，结合平方根的定义即可对A、C进行判断；负数的立方根是负数，结合立方根的定义可对B进行判断；由算术平方根的性质可对D进行判断．
【详解】解：A、，故选项错误；
B、，故选项正确；
C、，故选项错误；
D、，故选项错误；
故选：B．
4. 下列命题中，真命题是（ ）
A. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
B. 相等的角是对顶角
C. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等
D. 同旁内角互补
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线的判定、对顶角的性质和平行线的性质逐项判断即可.
【详解】解：A、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，是真命题；
B、相等的角不一定是对顶角，故原命题是假命题；
C、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原命题是假命题；
D、两直线平行，同旁内角互补，故原命题是假命题；
故选：A.
【点睛】本题考查了真假命题，熟练掌握平行线的判定和性质以及对顶角相等的性质是解题的关键.
5. 围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，围棋的棋子分为黑白两色．如图，这是围棋棋盘的一部分，将它放置在某个平面直角坐标系中，若白棋②的坐标为，黑棋①的坐标为，则白棋④的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查用坐标表示实际位置，根据已知点的坐标，确定原点的位置，画出直角坐标系，进而写出白棋④的坐标即可．
【详解】解：由题意，建立直角坐标系如图所示：
由图可知：白棋④的坐标为；
故选C．
6. 如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查平行线的判定，直接利用平行线的判定进行逐一判断即可，解题的关键是熟记平行线的判定条件并灵活运用．
【详解】、若，则，符合题意；
、若，则，不符合题意；
、若，则，不符合题意；
、若，则，不符合题意；
故选：．
7. 如图，已知，垂足为，，点是射线上的动点，则线段长不可能是（ ）
A. B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短得出，进而得解．
【详解】解：依题意，
∴线段长不可能是
故选：A．
8. 抖空竹是我国的传统体育项目，也是国家级非物质文化遗产之一．明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：已知，，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，延长交于点，先利用平行线的性质可得，然后利用三角形的外角性质进行计算，即可解答．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【详解】解：延长交于点，
∵，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
故选：B．
9. 点M在第二象限，距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，则M点的坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先确定点的横纵坐标的正负号，再根据距坐标轴的距离确定点的坐标．
【详解】解：∵点M位于第二象限，
∴点的横坐标为负数，纵坐标为正数，
∵点距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，
∴点M的坐标为．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．
10. 估算的运算结果应在（ ）
A. 2到3之间B. 3到4之间C. 1到2之间D. 4到5之间
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了无理数估算，估算，进而即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴
∴
故选：A．
11. 如图，在平面直角坐标系中，将线段平移后得到线段，点A，B的对应点分别是点C，D，已知点，，，则点C的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据点B、D的坐标确定出平移规律，再根据平移规律解答即可．
【详解】解：点的对应点D的坐标为，
平移规律为向右平移7个单位，再向下平移2个单位，
的对应点C的坐标为．
故选：D．
12. 如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：
①；
②；
③平分；
④平分．
其中正确结论的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了角平分线的定义和平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质；延长，交于I，根据角平分线的定义和平行线的性质即可解答；
【详解】解：延长，交于I．
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
∴①错误；②正确，
∵平分，
，
，
，
可见，的值未必为，未必为，只要和为即可，
∴③，④不一定正确．
故选：．
第Ⅱ卷（非选择题 共72分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13. 若有意义，则x的取值范围是___________.
【答案】####
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故答案：．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
14. 如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置，，，平移距离为，则阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平移的性质，先判断出阴影部分面积等于梯形的面积，再根据平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得，然后求出，根据平移的距离求出，然后利用梯形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】解：将三角形沿着点到点的方向平移到的位置，
，
阴影部分的面积等于梯形的面积，
由平移得，，
，，
，
阴影部分的面积为，
故答案为：．
15. 已知一个正数的两个不同的平方根是和，则这个正数是______．
【答案】121
【解析】
【分析】本题考查平方根，根据一个正数的两个平方根互为相反数，列出方程，求出的值，进而求出这个正数即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
∴这个正数为：；
故答案为：121．
16. 如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1，A2，A3，A4，…表示，则顶点A55的坐标是_____．
【答案】（14，14）
【解析】
【分析】根据每一个正方形有4个顶点可知每4个点为一个循环组依次循环，用55除以4，根据商和余数判断出点A55所在的正方形以及所在的象限，再根据正方形的性质写出即可．
【详解】解：∵每个正方形都有4个顶点，
∴每4个点为一个循环组依次循环，
∵55÷4=13余3，
∴点A55是第14个正方形的第3个顶点，在第一象限，
∵从内到外正方形的边长依次为2，4，6，8，…，
∴A3（1，1），1=；
A7（2，2），2=；
A11（3，3），3=；
…，
∴，
∴A55（14，14）．
故答案为：（14，14）．
【点睛】本题是对点的坐标变化规律的考查，根据四个点为一个循环组求出点A55所在的正方形和所在的象限是解题的关键．
三、解答题（本大题共5小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17 （1）计算
（2）解方程
【答案】（1）（2）或
【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算，利用平方根解方程：
（1）先进行去绝对值，开方运算，再进行加减运算即可；
（2）利用平方根的定义，进行求解即可．
【详解】解：（1）原式；
（2），
∴，
∴，
∴，
∴或．
18. 已知点在第四象限，分别根据下列条件求点P的坐标．
（1）点P到x轴的距离为3；
（2）点Q的坐标为，且直线与坐标轴平行．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）点P到x轴的距离为3，且点P在第四象限，得出，求解即可；
（2）分两种情况进行讨论：①当直线与x轴平行时，②当直线与y轴平行时，分别求出每种情况的点P的坐标即可．
【小问1详解】
解：∵点P到x轴的距离为3，且它在第四象限，
∴，
解得：
∴点P的坐标为．
【小问2详解】
解：当直线与x轴平行时，
，
解得．
∴，
点P的坐标为；
当直线与y轴平行时，
，
解得，
∴，
点P的坐标为．
综上所述，点P的坐标为或．
【点睛】本题主要考查坐标与图形的性质，主要利用了平行于x轴和y轴的直线上的点的坐标特征，根据题意列方程求解即可．
19. 为了培养学生的爱国主义情怀，激发青少年报效祖国、奉献社会、服务人民的责任心和使命感，学校举办了“小小贺卡，军民情深”祝福活动．小芳制作了一张面积为的正方形贺卡．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为，小芳能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明你的判断．
【答案】小芳能将这张贺卡不折叠就放入此信封
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根的应用，通过利用平方根解方程，找出信封的宽及贺卡的边长是解题的关键；设长方形信封的长为，宽为，根据长方形的面积求出长方形的宽，根据正方形的面积，求出正方形的边长，再比较即可判断；
【详解】小芳能将这张贺卡不折叠就放入此信封，理由如下：
设长方形信封的长为，宽为，
长方形面积为，
，
，
解得，
长方形的宽为，
正方形贺卡的面积为，
正方形贺卡的边长为，
，
，
，
小芳能将这张贺卡不折叠就放入此信封.
20. 如图，已知，，．
（1）请你判断与的位置关系，并证明你的结论；
（2）若，平分，试求的度数．
【答案】（1），见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）依据平行线的判定与性质，即可得到与的数量关系；
（2）利用平行线的性质以及角平分线的定义，即可得出的度数，再根据为直角，即可得出．
【小问1详解】
解：，理由：
，，
，
，
又，
，
．
【小问2详解】
解：，，
，
又平分，
，
，
又，
．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．
21. 如图（1），直角三角形中，，，、两点在轴上且到轴的距离相等，斜边与轴交于点，且．
（1）写出、、、四点的坐标：、，、，、，、______；
（2）若过点作交轴于点，且，分别平分，，如图（），求的度数．
（3）在坐标轴上是否存在点，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，或或
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形，平行线的性质；
（1）根据题意结合坐标系得出，，，；
（2）如图甲所示：过作，首先依据平行线的性质可知，接下来，依据平行公理的推理可得到，然后，依据平行线的性质可得到，，然后，依据角平分线的性质可得到，最后，依据求解即可；
（3）先求得，然后分情况讨论；①当在轴时，设点，②当在轴上时，分别根据三角形的面积公式列出方程，解方程即可求解．
【小问1详解】
解：∵，、两点在轴上且到轴的距离相等，
∴，，
∵，
∴，
∵斜边与轴交于点，且．
∴
故答案为：．
【小问2详解】
如图2中，过作．
∵轴，
∴轴，，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵分别平分，
∴，
∴．
小问3详解】
解：∵，，
∴
当在轴上时，如图所示，
设，由
∴
∴
∴
解得：或
∴或
当点在轴上时，
设，则
∴
∴
即
解得：或（舍去，点与点重合）
∴
综上所述，或或．