天津市耀华中学2024届高三第一次校模拟考试数学试卷（原卷版+解析版）

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本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.
第I卷（选择题 共45分）
一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题纸上.
1. 设全集，集合，，则（ ）
A. ZB. C. D.
2. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 非充分非必要条件
3. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
4. 若，，，则（ ）
A. B. C. D. 1
5. 下列说法正确的序号是（ ）
①在回归直线方程中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.8个单位；
②利用最小二乘法求回归直线方程，就是使得最小的原理；
③已知X，Y是两个分类变量，若它们的随机变量的观测值k越大，则“X与Y有关系”的把握程度越小；
④已知随机变量服从正态分布，且，则.
A. ①②③B. ②③④C. ②④D. ①②④
6. 已知F为抛物线C：的焦点，过点F的直线与抛物线C及其准线的交点从上到下依次为P、N、M，若，则以F为圆心，半径的圆F方程为（ ）
A. B.
C D.
7. 已知函数的图象关于点中心对称，则（ ）
A. 直线是函数图象的对称轴
B. 区间上有两个极值点
C. 在区间上单调递减
D. 函数的图象可由向左平移个单位长度得到
8. 如图，已知四棱柱的体积为V，四边形ABCD为平行四边形，点E在上且，则三棱锥与三棱锥的公共部分的体积为（ ）
A. B. C. D.
9. 已知第一象限内的点P在双曲线（，）上，点P关于原点的对称点为Q，，，是C的左、右焦点，点M是的内心（内切圆圆心），M在x轴上的射影为，记直线的斜率分别为，，且，则C的离心率为（ ）
A. 2B. 8C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共105分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题纸上.
10. 已知（是虚数单位），则复数___________.
11. 的展开式中的系数是______．
12. 某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中，任选3人参加学校的义务劳动.男生甲或女生乙被选中的概率为___________；设“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件，则_________.
13. 若，，且，则的最小值为___________
14. 如图，在中，，，，D是边上一点，且.若，记，则___________；若点P满足与共线，，则的值为___________.
15. 定义，已知，，若恰好有3个零点，则实数的取值范围是________.
三、解答题：本大题共5小题，共75分，将解题过程及答案填写在答题纸上.
16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．
（1）求的值；
（2）若，
（i）求a的值；
（ii）求值．
17. 已知如图，四边形为矩形，为梯形，平面平面，，，．
（1）若为中点，求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在线段上是否存在一点（除去端点），使得平面与平面所成锐二面角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，且经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆的右焦点，直线与椭圆相切于点（点在第一象限），过原点作直线的平行线与直线相交于点，问：线段的长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.
19. 有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为，公差为，并且成等差数列.
（1）当时，求，，以及；
（2）证明（，，是m的多项式），并求的值；
（3）当，时，将数列分组如下：（每组数的个数构成等差数列），设前组中所有数之和为，求数列的前n项和.
20. 定义：若是导数，是的导数，则曲线在点处的曲率；已知函数，，曲线在点处的曲率为；
（1）求实数a值；
（2）对任意恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设方程在区间内的根为，…比较与的大小，并证明．