2024年中考数学复习讲义 第04讲 二次根式(含答案)

这是一份2024年中考数学复习讲义 第04讲 二次根式(含答案)，共31页。学案主要包含了考情分析，知识建构等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \z \u 一、考情分析
二、知识建构
考点一 二次根式的相关概念
题型01 二次根式有意义的条件
题型02 判断最简二次根式
题型03 判断同类二次根式
考点二 二次根式的性质与化简
题型01 利用二次根式的性质化简
题型02 常见二次根式化简的10种技巧
技巧一 数形结合法
技巧二 估值法
技巧三 公式法
技巧四 换元法
技巧五 拆项法
技巧六 整体代入法
技巧七 因式分解法
技巧八 配方法
技巧九 辅元法
技巧十 先判断后化解
考点三 二次根式的运算
题型01 二次根式的乘除运算
题型02 二次根式的加减运算
题型03 二次根式的混合运算
题型04 二次根式的化简求值
题型05 二次根式的应用
考点一 二次根式的相关概念
二次根式的概念：一般地，我们把形如a（?≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．
最简二次根式：开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根
1.二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：4
- 9 都是二次根式.
2.二次根式有意义的条件：当a≧0时，即被开方数大于或等于0，二次根式a有意义.
3.在关于代数式有意义的问题中，要注意二次根式（被开方数大于或等于0）、分式（分母不等于0）等有意义的综合运用．
4.最简二次根式必须同时满足以下两个条件：
①开方数所含因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）；
②不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，即被开方数的因数或因式的指数都为1.
[补充]含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有（x+y）2.x2+2xy+y2等.
5.几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：2、8、12是同类二次根式.
式.
题型01 二次根式有意义的条件
【例1】（2023·黑龙江绥化·中考真题）若式子x+5x有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】x≥-5且x≠0/x≠0且
【提示】根据分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，列出不等式计算即可．
【详解】∵式子x+5x有意义，
∴x+5≥0且x≠0，
∴x≥-5且x≠0，
故答案为：x≥-5且x≠0．
【点拨】本题考查了分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键．
【变式1-1】（（2023·江西·中考真题）若a-4有意义，则a的值可以是（ ）
A．-1B．0C．2D．
【答案】D
【提示】根据二次根式有意义的条件即可求解．
【详解】解：∵a-4有意义，
∴a-4≥0，
解得：a≥4，则a的值可以是6
故选：D．
【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
【变式1-2】（2023·内蒙古通辽·中考真题）二次根式1-x在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【提示】根据被开方数大于等于0列不等式计算即可得到x的取值范围，然后在数轴上表示即可得解．
【详解】解：根据题意得，1-x≥0，
解得x≤1，
在数轴上表示如下：

故选：C．
【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，理解二次根式有意义的条件是解题关键．
【变式1-3】（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数y=1x-1+1x-2中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】x>1且x≠2
【提示】根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件得出x-1>0,x-2≠0，即可求解．
【详解】解：依题意，x-1>0,x-2≠0
∴x>1且x≠2，
故答案为：x>1且x≠2．
【点拨】本题考查了求函数自变量的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是解题的关键．

解决二次根式有无意义的关键：
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
题型02 判断最简二次根式
【例2】（2023·上海青浦·二模）下列二次根式中，最简二次根式的是（ ）
A．0.2B．8C．6D．12
【答案】C
【提示】对各选项逐一进行化简，判断是否为最简二次根式即可得出答案．
【详解】，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B.8=22，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
C.6是最简二次根式，故此选项符合题意；
D.12=22，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
故选C．
【点拨】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
【变式2-1】（2022·河南南阳·二模）写出一个实数x，使x-3是最简二次根式，则x可以是 ．
【答案】5（答案不唯一）
【提示】本题主要考查了最简二次根式的定义．
【详解】解：x=5时，x-3=5-3=2，2是最简二次根式，
∴x的值可以是5．
故答案为：5．（答案不唯一）
【点拨】本题主要考查了最简二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握最简二次根式的条件，最简二次根式的条件是（1）被开方数不含分母； （2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
题型03 判断同类二次根式
【例3】（2023·山东烟台·中考真题）下列二次根式中，与2是同类二次根式的是（ ）
A．4B．6C．8D．12
【答案】C
【提示】根据同类二次根式的定义，逐个进行判断即可．
【详解】解：A.4=2，与2不是同类二次根式，不符合题意；
B.6与2不是同类二次根式，不符合题意；
C.8=22，与2是同类二次根式，符合题意；
D.12=23，与2不是同类二次根式，不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式；最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
【变式3-1】（2021·江苏泰州·中考真题）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（ ）
A．8与3B．2与12C．5与15D．75与27
【答案】D
【提示】把每个选项中的不是最简二次根式化为最简二次根式即可作出判断．
【详解】A.8=22，22与3不是同类二次根式，故此选项错误；
B.12=23，2与23不是同类二次根式，故此选项错误；
C.5与15不是同类二次根式，故此选项错误；
D.75=53，27=33，53与33是同类二次根式，故此选项正确．
故选：D．
【点拨】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的识别等知识，注意二次根式必须化成最简二次根式．
【变式3-2】下列各式中，能与2合并的是（ ）
A．4B．24C．12D．8
【答案】D
【提示】先化成最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可．
【详解】A．4化简后不能与2合并，不合题意；
B．24=26化简后不能与2合并，不合题意；
C．12=23化简后不能与2合并，不合题意；
D．8=22化简后能与2合并，符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查了二次根式的性质和同类二次根式，能熟记同类二次根式的性质是解题的关键．
【变式3-3】若最简根式-2m+9与5m-5是同类二次根式，则m= ．
【答案】2
【提示】根据同类根式及最简二次根式的定义列方程求解．
【详解】解：∵最简二次根式-2m+9与5m-5是同类二次根式，
∴-2m+9=5m-5，
解得m=2，
故答案为：2．
【点拨】此题考查的是同类二次根式与最简二次根式，掌握其概念是解决此题关键．

判断同类二次根式的方法：先把所有的二次根式化成最简二次根式，再根据被开方数是否相同来加以判断，要注意同类二次根式与根号外的因式无关．
考点二 二次根式的性质与化简
二次根式的化简方法：
1）利用二次根式的基本性质进行化简；
2） 利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．ab =a•b （a≥0，b≥0），ab =ab （a≥0，b＞0）
化简二次根式的步骤：
1）把被开方数分解因式；
2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积；
3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
1.根据二次根式的性质化简时，a前无“-”, a化简出来就不可能是一个负数.
2. 利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简．
3. 化简后的最后结果应为最简二次根式，并且分母中不含二次根式．
题型01 利用二次根式的性质化简
【例1】（2023·江苏泰州·中考真题）计算(-2)2等于（ ）
A．±2B．2C．4D．2
【答案】B
【提示】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【详解】解：(-2)2=4=2．
故选：B．
【点拨】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
【变式1-1】（2022·广西桂林·中考真题）化简12的结果是（ ）
A．23B．3C．22D．2
【答案】A
【提示】将被开方数12写成平方数4与3的乘积，再将4开出来为2，易知化简结果为23．
【详解】解：12=4×3=22×3＝23，
故选：A．
【点拨】本题考查了二次根式的化简，关键在于被开方数要写成平方数乘积的形式再进行化简．
【变式1-2】（2023·湖北黄冈·中考真题）请写出一个正整数m的值使得8m是整数；m= ．
【答案】8
【提示】要使8m是整数，则8m要是完全平方数，据此求解即可
【详解】解：∵8m是整数，
∴8m要是完全平方数，
∴正整数m的值可以为8，即8m=64，即8m=64=8，
故答案为：8（答案不唯一）．
【点拨】本题主要考查了二次根式的化简，正确理解题意得到8m要是完全平方数是解题的关键．
【变式1-3】（2022·四川南充·中考真题）若8-x为整数，x为正整数，则x的值是 ．
【答案】4或7或8
【提示】根据根号下的数大于等于0和x为正整数，可得x可以取，再根据8-x为整数即可得x的值．
【详解】解：∵8-x≥0
∴x≤8
∵x为正整数
∴x可以为
∵8-x为整数
∴x为4或7或8
故答案为：4或7或8．
【点拨】本题考查了利用二次根式的性质化简、解一元一次不等式等知识点，掌握二次根式的性质是解答本题的关键．
题型02 常见二次根式化简的10种技巧
技巧一 数形结合法
方法简介：利用数轴和数学表达式相结合，达到快速化简的目标.
【例2】（2022·内蒙古·中考真题）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则a2+1+|a-1|的化简结果是（ ）

A．1B．2C．2aD．1﹣2a
【答案】B
【提示】根据数轴得∶ 0