2024年中考数学复习讲义 第05讲 一次方程（组）及其应用(含答案)

这是一份2024年中考数学复习讲义 第05讲 一次方程（组）及其应用(含答案)，共70页。学案主要包含了考情分析，知识建构，小器一容三斛；大器一等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \n \h \z \u 一、考情分析
二、知识建构
考点一 等式的基本性质
题型01 利用等式的性质判断变形正误
题型02 利用等式的性质求解
考点二 一元一次方程
题型01 判断一元一次方程
题型02 解一元一次方程
题型03 一元一次方程的特殊解题技巧
【类型一】分母含小数的一元一次方程
技巧1 巧化分母为1
技巧2 巧化同分母
技巧3 巧约分去分母
【类型二】分子、分母为整数的一元一次方程
技巧1 巧用拆分法
技巧2 巧用对消法
技巧3 巧通分
【类型三】含括号的一元一次方程
技巧1 利用倒数关系去括号
技巧2 整体合并去括号
技巧3 整体合并去分母
技巧4 由外向内去括号
技巧5 由内向外去括号
题型04 错看或错解一元一次方程问题
考点三 二元一次方程（组）
题型01 二元一次方程（组）的概念
题型02 解二元一次方程组
题型03 二元一次方程组特殊解法
类型一 引入参数法
类型二 特殊消元法-方程组中两未知数系数之差的绝对值相等
类型三 特殊消元法-方程组中两未知数系数之和的绝对值相等
类型四 换元法
类型五 同解交换法
类型六 主元法
题型04 错看或错解二元一次方程组问题
题型05 构造二元一次方程组求解
题型06 解三元一次方程组
考点四 一次方程（组）的应用
题型01 利用一元一次方程解决实际问题
类型一 配套问题
类型二 工程问题
类型三 增长率问题
类型四 销售利润问题
类型五 比赛积分问题
类型六 方案选择问题
类型七 数字问题
类型八 日历问题
类型九 几何问题
类型十 和差倍分问题
类型十一 行程问题
题型02 利用二元一次方程解决实际问题
类型一 配套问题
类型二 方案选择问题
类型三 年龄问题
类型四 几何问题
类型五 行程问题
类型六 古代问题
类型七 图表问题
类型八 工程问题
考点一 等式的基本性质
1.利用等式的性质进行变形时，等式两边都要参加运算，而且是同一种运算.
2.运用等式的性质2时，等式两边不能同时除以0，因为0不能作除数或分母.
题型01 利用等式的性质判断变形正误
【例1】（2022青海省中考）下列说法中，正确的是（ ）
A．若ac=bc，则a=bB．若a2=b2，则a=b
C．若ac=bc，则a=bD．若-13x=6，则x=2
【答案】C
【提示】直接利用等式的基本性质以及结合绝对值的性质提示得出答案．
【详解】解：A.若ac=bc，当c≠0，则a=b，故此选项错误；
B.若a2=b2，则a=±b，故此选项错误；
C.若ac=bc，则a=b，故此选项正确；
D.若-13x=6，则x=-18，故此选项错误；
故选：C．
【点拨】本题主要考查了等式的基本性质，正确把握等式的基本性质是解题关键．
【变式1-1】（2023·山西大同·校联考模拟预测）下列等式变形正确的是（ ）
A．若x=y，则xz=yzB．若ac=bc，则a=b
C．若x2=4x，则x=4D．若ac=bc，则a=b
【答案】D
【提示】根据等式的性质逐一判断即可．
【详解】解：A.当z=0时，由x=y不能得到xz=yz，变形错误，不符合题意；
B.当c=0时，由ac=bc不一定能得到a=b，变形错误，不符合题意；
C.若x2=4x，则x=4或x=0，变形错误，不符合题意；
D.由ac=bc，可以得到a=b，变形正确，符合题意；
故选D．
【点拨】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式两边仍然成立，等式两边同时除以一个不为0的数或式子等式仍然成立．
【变式1-2】（2023沧州市二模）如果x＝y，那么根据等式的性质下列变形正确的是（ ）
A．x＋y＝0B．x5=5yC．x﹣2＝y﹣2D．x＋7＝y﹣7
【答案】C
【提示】利用等式的基本性质逐一判断各选项可得答案．
【详解】解：∵x=y，∴x-y=y-y=0, 故A错误；
∵x=y，∴x5=y5, 故B错误；
∵x=y，∴x-2=y-2, 故C正确；
∵x=y，∴x+7=y+7, 故D错误；故选：C.
【点拨】本题考查的是等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键．

利用等式的性质对等式变形时,应分析变形前后式子发生了哪些变化,发生加减变形的依据是等式的性质1,发生乘除变形的依据是等式的性质 2.
题型02 利用等式的性质求解
【例2】（2023·河北唐山·一模）有三种不同质量的物体“■”“▲”“●”，其中同一种物体的质量都相等．下列四个天平中只有一个天平没有处于平衡状态，则该天平是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【提示】设“■”的质量为x，“▲”的质量为y “●”的质量为m，列出等式，根据等式的性质计算判断即可．
【详解】设“■”的质量为x，“▲”的质量为y “●”的质量为m，
根据题意，得2x=4y即x=2y，故A正确，不符合题意；
∴x+m=m+2y，故C正确，不符合题意；
故B不正确，符合题意；
∴x+2m=2m+2y，故D正确，不符合题意；
故选B．
【点拨】本题考查了等式的性质，正确理解等式的性质是解题的关键．
【变式2-1】（2023·河北承德·校联考模拟预测）能运用等式的性质说明如图事实的是（ ）
A．如果a+c=b+c，那么a=b（a，b，c均不为0）
B．如果a=b，那么a+c=b+c（a，b，c均不为0）
C．如果a-c=b-c，那么a=b（a，b，c均不为0）
D．如果a=b，那么ac=bc（a，b，c均不为0）
【答案】A
【提示】根据等式的性质解答即可．
【详解】解：观察图形，是等式a+c=b+c的两边都减去c（a，b，c均不为0），
利用等式性质1，得到a=b，
即如果a+c=b+c，那么a=b（a，b，c均不为0）．
故选：A．
【点拨】本题考查了等式的性质，掌握等式两边加或减去同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式是解题的关键．
【变式2-2】（2022·山东滨州·中考真题）在物理学中，导体中的电流Ⅰ跟导体两端的电压U，导体的电阻R之间有以下关系：I=UR去分母得IR=U，那么其变形的依据是（ ）
A．等式的性质1B．等式的性质2
C．分式的基本性质D．不等式的性质2
【答案】B
【提示】根据等式的性质2可得答案．
【详解】解：I=UR去分母得IR=U，其变形的依据是等式的性质2，
故选：B．
【点拨】本题考查了等式的性质2：等式的两边同时乘以或除以同一个不为零的数，等式仍然成立．
【变式2-3】（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知20212022-20222021+x=0，则x的值是( )
A．20222021+20212022B．
C．20222021-20212022D．-20222021-20212022
【答案】C
【提示】根据等式的性质进行计算即可．
【详解】解：将原式两边同时减去20212022-20222021可得：x=-20212022-20222021，
即x=20222021-20212022，
故选：C．
【点拨】本题考查等式的基本性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
【变式2-4】（2023 衡水市中考模拟）若等式m+a=n-b根据等式的性质变形得到m=n，则a、b满足的条件是（ ）
A．相等B．互为倒数C．互为相反数D．无法确定
【答案】C
【提示】根据等式的性质，两边都加上b，然后判断即可得解．
【详解】解：m+a=n-b两边都加上b得，m+a+b=n，
∵等式可变形为m=n，
∴a+b=0，
∴a=-b．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了等式的基本性质，等式性质：1.等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2.等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．
考点二 一元一次方程
一元一次方程的概念：只含有一个未知数，且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程.
一元一次方程标准形式：ax+b=0（x为未知数，A.b是常数且a≠0）
解一元一次方程的基本步骤：
1. 一元一次方程中未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数.
2. 一元一次方程只含有一个未知数,未知数的次数都为1.
3. 解方程的五个步骤有些可能用不到，有些可能重复使用，也不一定有固定的顺序，要根据方程的特点灵活运用．
4. 对于分母中含有小数的一元一次方程．当分母中含有一位小数时，含分母项的分子、分母都乘10，化分母中的小数为整数；当分母中含有两位小数时，含分母项的分子、分母都乘100，化分母中的小数为整数．
题型01 判断一元一次方程
【例1】（2020·浙江·模拟预测）下列各式：①-2+5=3；②3x-5=x2+3x；③2x+1=1；④2x=1；⑤2x+3；⑥x=4．其中是一元一次方程的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据一元一次方程的定义逐个判断即可
【详解】解：①不含未知数，故错
②未知数的最高次数为2，故错
③含一个未知数，次数为1，是等式且两边均为整式，故对
④左边不是整式，故错
⑤不是等式，故错
⑥含一个未知数，次数为1，是等式且两边均为整式，故对
故选：B
【点拨】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握并理解一元一次方程的定义是解本题的关键
【变式1-1】（2021·贵州·一模）已知关于x的方程k2-4x2+k-2x=k+6是一元一次方程，则方程的解为（ ）
A．-2B．2C．-6D．-1
【答案】D
【分析】利用一元一次方程的定义确定出k的值，进而求出k的值即可．
【详解】解：∵方程k2-4x2+k-2x=k+6是关于x的一元一次方程，
∴k2-4=0k-2≠0 ，
解得：k=-2，方程为-4x=-2+6，
解得：x=-1，
故选：D．
【点拨】此题考查了解一元一次方程，以及一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键．
【变式1-2】（2023 九江市一模）已知k-1xk+3=0是关于x的一元一次方程，则k值为 ．
【答案】-1
【分析】由一元一次方程的定义可直接进行列式求解．
【详解】解：∵方程k-1xk+2=3是关于x的一元一次方程 ，
∴k=1,k-1≠0，
解得：k=-1；
故答案为-1．
【点拨】本题主要考查一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．
【变式1-3】（2023武威市一模）若方程(k+2)x|k+1|+6=0是关于x的一元一次方程，则k+2023= ．
【答案】2023
【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b=0(a，b是常数且a≠0)，据此求解即可．
【详解】解：∵(k+2)x|k+1|+6=0是关于x的一元一次方程，
∴k+2≠0，k+1=1，
解得：k=0．
∴k+2023=2023，
故答案为：2023．
【点拨】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．
题型02 解一元一次方程
【例2】（2021·广西桂林·中考真题）解一元一次方程：4x﹣1＝2x+5．
【答案】x =3．
【分析】先把方程化移项，合并同类项，系数化1法即可．
【详解】解：4 x﹣1＝2x+5，
移项得：4 x﹣2x＝5+1
合并同类项得：2 x=6，
∴系数化1得：x =3．
【点拨】本题考查了一元一次方程的解法移项、合并同类项、系数化1．掌握解一元一次方程常用的方法要根据方程的特点灵活选用合适的方法
【变式2-1】（2023·内蒙古包头·校考一模）若4x+12的值与x-7互为相反数，则x的值为（ ）
A．1B．1310C．3D．-3
【答案】A
【分析】根据互为相反数的两数之和为0，列出方程进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：4x+12+x-7=0，
解得：x=1；
故选A．
【点拨】本题考查解一元一次方程．熟练掌握互为相反数的两数之和为0，是解题的关键．
【变式2-2】（2023·河北秦皇岛·一模）如果单项式-xyb与12xay3是同类项，那么关于x的方程bx+a=0的解为（ ）
A．x=13B．x=-13C．x=3D．x=-3
【答案】B
【分析】根据同类项的定义得出，a=1，b=3，代入方程bx+a=0，解得即可．
【详解】∵单项式-xyb与12xay3是同类项，
∴a=1，b=3，
∴方程为3x+1=0，
解得x=-13，
故选：B．
【点拨】本题考查同类项和解一元一次方程，所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，解题的关键是熟知同类项的定义．
【变式2-3】（2019·山东济南·中考真题）代数式2x-13与代数式3-2x的和为4，则x= ．
【答案】﹣1.
【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【详解】根据题意得：2x-13+3-2x=4，
去分母得：2x-1+9-6x=12，
移项合并得：-4x=4，
解得：x=-1，
故答案为﹣1.
【点拨】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式2-4】（2023 扬州市三模）规定一种新的运算：a*b=2-a-b，求2x-13*1+x2=1的解是 ．
【答案】x=57
【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出解．
【详解】解：根据题中的新定义化简得：2-2x-13-1+x2=1，
去分母得：12-22x-1-31+x=6，
去括号得：12-4x+2-3-3x=6，
移项合并得：-7x=-5，
解得：x=57．
故答案为：x=57．
【点拨】本题主要考查了解一元一次方程，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
【变式2-5】（2023·四川成都·二模）若实数a，b，c满足a2=b3=c4=k，且a+2b+3c=40，则k= ．
【答案】2
【分析】先根据等式的性质得：a=2k，b=3k，c=4k，再代入到等式a+2b+3c=40中，得到关于k的一元一次方程，解这个方程即可．
【详解】解：由a2=b3=c4=k得：a=2k，b=3k，c=4k，
代入到等式a+2b+3c=40中，得：
2k+6k+12k=40，
解得：k=2．
故答案为：2．
【点拨】本题考查了等式的基本性质、代入消元法及一元一次方程的解法，熟练掌握等式的基本性质是本题的关键．
【变式2-6】（2021·山东烟台·中考真题）幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行，每一竖行以及两条对角线上的数字之和都是15，则a的值为 ．
【答案】2
【分析】设处第一行第一列、第三列第三行、对角线上的未知量，用三数之和为15就可以求出a．
【详解】解：如图，把部分未知的格子设上相应的量
第一行第一列：6+b+8=15，得到b=1
第三列第三行：8+3+f=15，得到f=4
∵f=4
∵对角线上6+c+f=15
∴6+4+c=15，得到c=5
∵c=5
另外一条对角线上8+c+a=15
∴8+5+a=15，得到a=2
故答案为：2．
【点拨】本题考查有理数的加法和一元一次方程的综合题，找出式子之间的关系是解题的关键．
题型03 一元一次方程的特殊解题技巧
【类型一】分母含小数的一元一次方程
技巧1 巧化分母为1
【例3】解方程：0.6x++
【详解】解：
0.6x++
36x+5-3x+20=2x-9
18x+15-3x-20=2x-18
18x-3x-2x=-18-15+20
x=-1．
【变式3-1】解方程：0.3x-．
【详解】解：原方程可化为3x-52-12-5x3=x，
去分母，得 3(3x-5)-2(12-5x)=6x，
去括号，得 9x-15-24+10x=6x，
移项，得 9x+10x-6x=15+24，
合并同类项，得 13x=39，
系数化为1，得 x=3．
【点拨】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤是解题关键．
技巧2 巧化同分母
【例4】解方程：x0.6-0.16-．
【详解】解：
化为同分母，得，
去分母，得0.1x-0.16+0.5x=0.06．
解得x=1130．
技巧3 巧约分去分母
【例5】解方程：x-40.2-10=x-30.05
【详解】解：解：x-40.2-10=x-30.05
50x-200-100=200x-600
50x-200x=-600+200+100
-150x=-300
x=2．
【变式5-1】解方程：0.3x-10.02-0.4x-80.5=1
【详解】解：0.3x-10.02-0.4x-80.5=1，
整理，得 (15x-50)-(0.8x-16)=1，
去括号，得 15x-50-0.8x+16=1，
移项、合并同类项，得 14.2x=35，
系数化为1，得 x=17571；
【类型二】分子、分母为整数的一元一次方程
技巧1 巧用拆分法
【例6】解方程：3x-14=5x-76
【详解】解：3x-14=5x-76
将原式拆分为：3x4 - 14 =5x6 - 76
解得x=11．
【变式6-1】解方程：x-12-2x-36=6-x3．
【答案】x=4
【详解】解：x-12-2x-36=6-x3
将原式拆分为：x2 - 12 - x3 + 12 =2- x3
解得x=4．
【变式6-2】解方程：x2+x6+x12+x20=1．
【详解】解：拆项，得x-x2+x2-x3+x3-x4+x4-x5=1；
整理得：x-x5=1，
解得：x=54．
【变式6-3】解方程：x2+x6+x12+⋯+x2008×2009=2008．
解：x2+x6+x12+⋯+x2008×2009=2008，
x1×2+x2×3+x3×4+⋯+x2008×2009=2008，
(1-12)x+(12-13)x+(13-14)x+⋅⋅⋅+(12008-12009)x=2008，
x-12x+12x-13x+13x-14x+⋅⋅⋅+12008x-12009x=2008，
x-12009x=2008，
20082009x=2008，
x=2009．
技巧2 巧用对消法
【例7】解方程：x3+x-25=337-6-3x15．
技巧3 巧通分
【例8】解方程：x+37-x+25=x+16-x+44．
【详解】解：方程两边分别通分后相加，得5(x+3)-7(x+2)35=2(x+1)-3(x+4)12．
化简，得-2x+135=-x-1012．
解得x=-36211．
【类型三】含括号的一元一次方程
技巧1 利用倒数关系去括号
【例9】解方程：65[56(2x+1)+5]-1=4x
解：65[56(2x+1)+5]-1=4x
2x-4x=-6
-2x=-6
x=3．
【变式9-1】解方程：解方程 3223(x4-1)-2-x=2
【详解】解：3223(x4-1)-2-x=2
去括号得：14x﹣1﹣3﹣x＝2，
移项，合并同类项得：﹣34x＝6，
系数化为1得：x＝﹣8．
技巧2 整体合并去括号
【例10】解方程：x-13[x-13(x+10)]=19(x+10)；
【详解】解：x-13x-13x+10=19x+10
x-13x+19(x+10)=19(x+10)
移项，合并同类项得：23x=0
解得：x=0；
【变式10-1】解方程：x-12x-13x-3=16x-3+1．
【详解】解：去括号，得：x-12x+16x-3=16x-3+1，
移项，得：x-12x+16x-3-16x-3=1
合并同类项，得：12x=1，
系数化为1，得：x=2．
技巧3 整体合并去分母
【例11】解方程：13(x-5)=3-23(x-5)．
【详解】解：移项，得13(x-5)+23(x-5)=3
合并同类项，得x-5=3
系数化为1，得：x=8．
【变式11-1】解方程：14x-2-5=3-34(x-2)．
【详解】解：移项，得14x-2+34x-2=3+5
合并同类项，得x-2=8
系数化为1，得：x=10．
技巧4 由外向内去括号
【例12】解方程：解方程：1314(13x-1)-6+2=0．
【详解】解：1314(13x-1)-6+2=0
去中括号，得，112(13x-1)-2+2=0
去小括号，得，136x-112=0
移项，得，136x=112
系数化为1，得x=3．
技巧5 由内向外去括号
【例13】解方程：243x-(23x-12)=34x．
【详解】解： 243x-(23x-12)=34x
去小括号，得243x-23x+12=34x
去中括号，得43x+1=34x
移项，合并同类项，得712x=-1
系数化为1，得x=-127．
【变式13-1】解方程：412x-34(x-1)=13(5+x)．
【详解】解：去括号得：412x-34x+34=53+13x
去括号得：2x-3x+3=53+13x
移项得：2x-3x-13x=53-3
合并同类项得：-43x=-43
解得：x=1．
【点拨】本题考查了解一元一次方程，熟记解一元一次方程的步骤，能正确的去括号，移项是解题的关键．
题型04 错看或错解一元一次方程问题
【例14】（2022·贵州黔西·中考真题）小明解方程x+12-1=x-23的步骤如下：
解：方程两边同乘6，得3x+1-1=2x-2①
去括号，得3x+3-1=2x-2②
移项，得3x-2x=-2-3+1③
合并同类项，得x=-4④
以上解题步骤中，开始出错的一步是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】A
【分析】按照解一元一次方程的一般步骤进行检查，即可得出答案．
【详解】解：方程两边同乘6，得3x+1-6=2x-2①
∴开始出错的一步是①，
故选：A．
【点拨】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤以及注意事项是解决问题的关键．
【变式14-1】（2023·浙江杭州·一模）以下是圆圆解方程x-x-33=1的解答过程．
解：两边同乘以3，得3x-x-3=3，
移项，合并同类项，得2x=6，
两边同除以2，得x=3，
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
【答案】圆圆的解答过程有错误，方程的解为x=0．
【分析】由去分母后没有及时添加括号；可得圆圆的解答过程有错误，再去分母正确的解方程即可．
【详解】解：圆圆的解答过程有错误，去分母后没有及时添加括号；
正解：x-x-33=1
两边同乘以3，得3x-x-3=3，
∴3x-x+3=3，
移项，合并同类项，得2x=0，
两边同除以2，得x=0．
【点拨】本题考查的是一元一次方程的解法，熟练的掌握一元一次方程的解法与步骤是解本题的关键．
【变式14-2】（2023·湖南长沙·校考二模）下面是小颖同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并解答问题．
(1)以上求解过程中，第三步的依据是_________．
A．等式的基本性质 B．不等式的基本性质 C．分式的基本性质 D．乘法分配律
(2)从第_________步开始出现错误；
(3)该方程正确的解为____________
【答案】(1)A
(2)一
(3)x=-3
【分析】（1）根据移项的变形依据回答即可；
（2）根据去分母漏乘没有分母的项回答即可；
（3）写出正确的解题过程，即可得到答案．
【详解】（1）解：移项的依据是等式的基本性质，
故选：A
（2）从第一步开始出现错误，方程右边的1没有乘以6，
故答案为：一
（3）2x+13-5x-16=1
解：去分母，得22x+1-5x-1=6……第一步
去括号，得4x+2-5x+1=6……第二步
移项，得4x-5x=6-1-2……第三步
合并同类项，得-x=3，……第四步
方程两边同除以－1，得x=-3．……第五步
故答案为：
【点拨】此题考查了一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
【变式14-3】（2022·浙江杭州·中考真题）计算：-6×23-■-23．圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．
(1)如果被污染的数字是12，请计算-6×23-12-23．
(2)如果计算结果等于6，求被污染的数字．
【答案】(1)-9
(2)3
【分析】（1）根据有理数混合运算法则计算即可；
（2）设被污染的数字为x，由题意，得-6×23-x-23=6，解方程即可；
【详解】（1）解：-6×23-12-23=-6×16-8 =-1-8=-9；
（2）设被污染的数字为x，
由题意，得-6×23-x-23=6，解得x=3，
所以被污染的数字是3．
【点拨】本题主要考查有理数的混合运算、一元一次方程的应用，掌握相关运算法则和步骤是接替的关键．
【变式14-4】在做解方程练习时，有一个方程“y-15=2y+■”，题中■处不清晰，李明问老师，老师只是说：“■是一个有理数，该方程的解与当x＝2时整式5（x﹣1）﹣2（x﹣2）﹣4的值相同．”依据老师的提示，请你帮李明找到“■”这个有理数，并求出方程的解．
【答案】“■”这个有理数为-65，方程的解为：y＝1
【分析】利用“该方程的解与当x＝2时整式5（x−1）−2（x−2）−4的值相同”求出方程的解；再将方程的解代入y-15=2y+■中求得■．
【详解】解：当x＝2时，整式5（x−1）−2（x−2）−4＝5×（2−1）−2×（2−2）−4＝1．
∵方程的解与当x＝2时整式5（x−1）−2（x−2）−4的值相同，
∴方程的解为：y＝1．
当y＝1时，y-15=2y+■．
∴1-15=2+■
解得：■＝-65．
答：“■”这个有理数为-65，方程的解为：y＝1．
【点拨】本题主要考查了一元一次方程的解，求代数式的值．利用方程的解的意义，将方程的解去替换未知数的值是解题的关键．
考点三 二元一次方程（组）
1.二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解.
2.在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以通过解一元一次方程的方法求出另一个未知数的值.
3.二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须只含有两个未知数.
4.解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程．
题型01 二元一次方程（组）的概念
【例1】（2023·江苏无锡·中考真题）下列4组数中，不是二元一次方程2x+y=4的解是（ ）
A．x=1y=2B．x=2y=0C．x=0.5y=3D．
【答案】D
【提示】将选项中的x,y的值分别代入方程的左边，进而即可求解．
【详解】解：A.当x=1y=2时，2x+y=4，则x=1y=2是二元一次方程2x+y=4的解，不合题意；
B.当x=2y=0时，2x+y=4，则x=2y=0是二元一次方程2x+y=4的解 ，不合题意；
C. 当x=0.5y=3时，2x+y=4，则x=0.5y=3是二元一次方程2x+y=4的解，不合题意；
D.当x=-2y=4时，2x+y=0，则x=-2y=4不是二元一次方程2x+y=4的解，符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查了二元一次方程的解的定义，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．
【变式1-1】（2023·江苏无锡·校联考一模）若二元一次方程组x+y=23x-5y=4的解为x=ay=b，则a-b= ．
【答案】32
【提示】把x、y的值代入方程组，再将两式相加即可求出a-b的值．
【详解】解：将x=ay=b代入方程组x+y=23x-5y=4，
得：a+b=2 ①3a-5b=4 ②，
①+②得：4a-4b=6，
∴a-b=64=32，
故答案为：32．
【点拨】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是观察两方程的系数，从而求出a-b的值．
【变式1-2】（2023 蚌埠市二模）若方程7xm+m+1y=6是关于x，y的二元一次方程，则m的值为 ．
【答案】1
【提示】根据二元一次方程的定义求解，只需要令x，y的次数为1，并且系数不为零，即可求出m的值．
【详解】∵7xm+m+1y=6是关于x，y的二元一次方程，
∴可列式得m=1m+1≠0⇒m=1或m=-1m≠-1，
解得m=1．
故答案为1．
【点拨】此题主要考查二元一次方程的定义，解题的关键是根据其定义列式求解．
题型02 解二元一次方程组
【例2】（2023·江苏连云港·中考真题）解方程组3x+y=82x-y=7
【答案】
【提示】方程组运用加减消元法求解即可．
【详解】解：3x+y=8①2x-y=7②
①+②得5x=15，
解得x=3，
将x=3代入①得3×3+y=8，
解得y=-1．
∴原方程组的解为
【点拨】本题主要考查了解二元一次方程组，方法主要有：代入消元法和加减消元法．
【变式2-1】（2022·山东淄博·中考真题）解方程组：x-2y=312x+34y=134
【答案】x=5y=1
【提示】整理方程组得x-2y=3①2x+3y=13②，继而根据加减消元法解二元一次方程组即可求解．
【详解】解：整理方程组得x-2y=3①2x+3y=13②，
①×2-②得-7y=-7，y=1，
把y=1代入①得x-2=3，解得x=5，
∴方程组的解为x=5y=1.
【点拨】本题考查了解二元一次方程组，正确的计算是解题的关键．

解二元一次方程组的方法选择：
1)当方程组中某一个未知数的系数是1或者-1时，选用代入消元法；
2)当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法；
3)当方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数时，选用加减消元法；
4)当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法．
题型03 二元一次方程组特殊解法
类型一 引入参数法
解题技巧：当方程组中出现x/a=y/b的形式时，常考虑先用参数分别表示出x，y的值，然后将x，y的值代入另一个方程求出参数的值，最后将参数的值回代就能求出方程组的解.
【例3】用代入法解方程组：
x5+y6=0①3x-y-43y+x=85②
【答案】
【提示】采用先换元，再代入即可作答．
【详解】解：由①，得x5=-y6，
设x5=-y6=k，则x=5k，y=-6k，
将x=5k，y=-6k代入方程②，
得35k+6k-43×-6k+5k=85，
解这个方程得k=1，
即x=5，y=-6，
所以原方程组的解是x=5y=-6
【点拨】本题考查了利用换元法和代入法解二元一次方程组的知识，掌握换元法，准确换元，是解答本题的关键．
【变式3-1】用代入法解方程组：
x3+y4=0①2x+y-32y-x=62②
【详解】解：由①，得x3=-y4，
设x3=-y4=k，则x=3k，y=-4k，
将x=3k，y=-4k代入方程②，
得23k-4k-32×-4k-3k=62，
解这个方程得k=2，
即x=6，y=-8，
所以原方程组的解是x=6y=-8
类型二 特殊消元法-方程组中两未知数系数之差的绝对值相等
解题技巧：观察方程组1和2的系数特点，数值都比较大.如果用常规的代入法或加减法来解，不仅计算量大，而且容易出现计算错误.根据方程组中的两个未知数的对应系数之差的绝对值相等，先化简，再用代入法或加减法求解，更为简便.
【例4】解方程组：2015x+2016y=2017①2016x+2017y=2018②．
【答案】x=-1y=2
【提示】根据方程组中的两个未知数的对应系数之差的绝对值相等，先化简，再用代入法或加减法即可求解.
【详解】解：②-①，得x+y=1③，
由③，得x=1-y④，
把④代入方程①，得2015(1-y)+2016y=2017，
解这个方程，得y=2，
把y=2代入方程③，得x=-1，
所以原方程组的解为x=-1y=2．
【点拨】本题主要考查数值较大的二元一次方程组的解法，找出方程组中对应数值的关系是解题的关键．
【变式4-1】阅读下列解方程组的方法，然后解决问题．
解方程：19x+18y=17①17x+16y=15②
解：①-②，2x+2y=2即x+y=1③
③×16，得16x-16y=16④
②-④，得x=-1．
把x=-1，代入③，得-1+y=1．解得y=2．
所以原方程组的解为：x=-1y=2
(1)请仿照上面的方法解方程组：2022x+2021y=20202020x+2019y=2018；
(2)请猜想关于x，y的方程组(a+2)x+(a+1)y=a(b+2)x+(b+1)y=b的解，并利用方程组的解加以验证
【答案】(1)x=-1y=2
(2)x=-1y=2，验证见解析
【提示】（1）仿照题干的方法求解即可；
（2）根据题干和（1）中的结果直接猜测即可．
【详解】（1）2022x+2021y=2020①2020x+2019y=2018②，
由①-②，得2x+2y=2，即x+y=1③，
③×2019，得2019x+2019y=2019④，
②-④得x=-1，
把代入③，得
-1+y=1，
∴y=2，
∴原方程组的解是x=-1y=2．
（2）根据题干和（1）的结果，
猜测方程组a+2x+a+1y=ab+2x+b+1y=ba≠b的解是x=-1y=2．
验证：将x=-1y=2代入方程(a+2)x+(a+1)y=a，
左边=a+(-2)+2a+2=a，
所以左边=右边．
将x=-1y=2代入方程(b+2)x+(b+1)y=b，
同理可得左边=右边，
∴此方程组的解是x=-1y=2．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组：利用代入法或加减消元法把二元一次方程转化为一元一次方程求解，理解题干的方法是解题的关键．
类型三 特殊消元法-方程组中两未知数系数之和的绝对值相等
解题技巧：当两式相加时，x和y的系数相等，化简即可得到x+y=a;当两式相减时，x和y的系数互为相反数，化简即可得到-x+y=b.由此达到化简方程组的目的.
【例5】解方程组：13x+14y=40①14x+13y=41②．
【详解】解：②+①，化简得x+y=3③，
由③，得x=3-y④，
把④代入方程①，得13(3-y)+14y=40，
解这个方程，得y=1，
把y=1代入方程③，得x=2，
所以原方程组的解为x=2y=1．
【点拨】本题主要考查数值较大的二元一次方程组的解法，找出方程组中对应数值的关系是解题的关键．
【变式5-1】感悟思想：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x，y满足3x-y=5①，2x+3y=7②，求x-4y和7x+5y的值．
思考：本题常规思路是将①②联立成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，有的问题用常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值．
如①-②可得x-4y=-2①+②×2可得7x+5y=19．
这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
体会思想：
(1)已知二元一次方程组2x+y=7x+2y=8，则x-y=______，x+y=______．
(2)解方程组：x+y=5x+z=3y+z=4
(3)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
【答案】(1)-1，5
(2)x=2z=1y=3
(3)30元
【提示】（1）把两个方程相加可求x+y=5，相减可求x-y=-1；
（2）把3个方程相加得x+y+z=6，分别减三个方程可求解；
（3）设未知数列出方程组，用整体思想求解即可．
【详解】（1）解：2x+y=7①x+2y=8②
①+②得3x+3y=15，解得x+y=5，
①-②得x-y=-1，
故答案为：-1，5．
（2）解：x+y=5①x+z=3②y+z=4③，
①+②+③得，2x+2y+2z=12，即x+y+z=6④，
④-①得，z=1，
④-②得，y=3，
④-③得，x=2，
方程组的解为x=2z=1y=3．
（3）解：设购买1支铅笔a元，1块橡皮b元，1本日记本c元,
根据题意列方程组得，20a+3b+2c=32①39a+5b+3c=58②．
①×2-②得，a+b+c=6，则5a+5b+5c=30；
答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元．
【点拨】本题考查了利用整体思想解方程组，解题关键是熟练利用整体思想，通过整体运算求解．
类型四 换元法
【例6】解方程组：1x+1x+y=33x-1x+y=1．
【答案】x=1y=-0.5．
【提示】设1x=a，1x+y=b，把原方程组转化为二元一次方程组，求解后，再解分式方程即可．
【详解】解：设1x=a，1x+y=b，
则原方程组化为：a+b=3①3a-b=1②，
①+②得：4a=4，
解得：a=1，
把a=1代入①得：1+b=3，
解得：b=2，
即1x=11x+y=2，解得：x=1y=-0.5，
经检验x=1y=-0.5是原方程组的解，
所以原方程组的解是x=1y=-0.5．
【点拨】本题考查了换元法解方程组，解题关键是抓住方程组的特征，巧妙换元，熟练的解二元一次方程组和分式方程，注意：分式方程要检验．
【变式6-1】阅读材料：善于思考的李同学在解方程组3m+5-2n+3=-13m+5+2n+3=7时，采用了一种“整体换元”的解法．
解：把m+5，n+3成一个整体，设m+5=x，n+3=y，原方程组可化为3x-2y=-13x+2y=7
解得：x=1y=2．∴m+5=1n+3=2，∴原方程组的解为m=-4n=-1．
(1)若方程组2x-3y=45x-3y=1的解是x=-1y=-2，则方程组2a+b-3a-b=45a+b-3a-b=1的解是__________．
(2)仿照李同学的方法，用“整体换元”法解方程组3x+y-4x-y=4x+y2+x-y6=1．
【答案】(1)a=-32b=12
(2)
【提示】（1）根据题意所给材料可得出a+b=-1a-b=-2，再解出这个方程组即可．
（2）根据题意所给材料可令m=x+y，n=x-y，则原方程组可化为3m-4n=4m2+n6=1，解出m，n，代入m=x+y，n=x-y，再解出关于x，y的方程组即可．
解得：m=2815n=25，∴x+y=2815x-y=25，解这个二元一次方程组即可．
【详解】（1）∵方程组2x-3y=45x-3y=1的解是x=-1y=-2，
∴a+b=-1a-b=-2，
解得：a=-32b=12 ；
（2）对于3x+y-4x-y=4x+y2+x-y6=1，令m=x+y，n=x-y，
则原方程组可化为3m-4n=4m2+n6=1，
解得：m=2815n=25，
∴x+y=2815x-y=25，
解得：x=1715y=1115．
【点拨】本题考查二元一次方程组的特殊解法—“整体换元法”．读懂题干，理解题意，掌握“整体换元法”的步骤是解题关键．
【变式6-2】数学方法：
解方程组：32x+y-2x-2y=2622x+y+3x-2y=13，若设2x+y=m，x-2y=n，则原方程组可化为3m-2n=262m+3n=13，解方程组得m=8n=-1，所以2x+y=8x-2y=-1，解方程组得x=3y=2，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．
(1)直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组ax+by=6bx+ay=3，的解为x=-2y=4，那么关于m、n的二元一次方程组am+n+bm-n=6bm+n+am-n=3的解为： ．
(2)知识迁移：请用这种方法解方程组x+y2-x-y3=42x+y+x-y=16．
(3)拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=4y=-3，
求关于x，y的方程组2a1x+3b1y=5c12a2x+3b2y=5c2的解．
【答案】(1)m=1n=-3
(2)
(3)x=10y=-5
【提示】（1）设m+n=x，m-n=y，即可得m+n=-2m-n=4，解方程组即可求解；
（2）设x+y2=m，x-y3=n，则原方程组可化为m-n=44m+3n=16，解方程组即可求解；
（3）设2x5=m，3y5=n，则原方程组可化为，a1m+b1n=c1a2m+b2n=c2，根据a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=4y=-3，可得m=4n=-3，即有2x5=43y5=-3，则问题得解．
【详解】（1）设m+n=x，m-n=y，则原方程组可化为ax+by=6bx+ay=3，
∵ax+by=6bx+ay=3的解为x=-2y=4，
∴m+n=-2m-n=4，
解得m=1n=-3，
故答案为：m=1n=-3；
（2）设x+y2=m，x-y3=n，则原方程组可化为m-n=44m+3n=16，
解得m=4n=0，
即有x+y2=4x-y3=0，
解得x=4y=4，
即：方程组的解为x=4y=4；
（3）设2x5=m，3y5=n，则原方程组可化为5ma1+5nb1=5c15ma2+5nb2=5c2，
化简，得a1m+b1n=c1a2m+b2n=c2，
∵关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=4y=-3，
∴m=4n=-3，即有2x5=43y5=-3，
解得：x=10y=-5，
故方程组的解为：x=10y=-5．
【点拨】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题的关键．
类型五 同解交换法
解题技巧：先将两个方程组中不含字母A.b的两个方程联立,求得方程组的解,然后由“方程组的解适合每一个方程”得到关于A.b 的二元一次方程组,进而确定A.b的值.
【例7】（2020·广东·中考真题）已知关于x，y的方程组ax+23y=-103x+y=4与x-y=2x+by=15的解相同．
（1）求a，b的值；
（2）若一个三角形的一条边的长为26，另外两条边的长是关于x的方程x2+ax+b=0的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．
【答案】（1）-43；12 （2）等腰直角三角形，理由见解析
【提示】（1）关于x，y的方程组ax+23y=-103x+y=4与x-y=2x+by=15的解相同．实际就是方程组
x+y=4x-y=2的解，可求出方程组的解，进而确定A.b的值；
（2）将A.b的值代入关于x的方程x2＋ax＋b＝0，求出方程的解，再根据方程的两个解与26为边长，判断三角形的形状．
【详解】解：由题意列方程组：
x+y=4x-y=2解得x=3y=1
将x=3，y=1分别代入ax+23y=-103和x+by=15
解得a=-43，b=12
∴a=-43，
（2）x2-43x+12=0
解得x=43±48-482=23
这个三角形是等腰直角三角形
理由如下：∵(23)2+(23)2=(26)2
∴该三角形是等腰直角三角形．
【点拨】本题考查一次方程组、一元二次方程的解法以及等腰直角三角形的判定，掌握一元二次方程的解法和勾股定理是得出正确答案的关键．
【变式7-1】若关于x，y的二元一次方程组2x+5y=-26ax-by=-4，和3x-5y=36bx+ay=-8有相同的解．
(1)求这两个方程组的解；
(2)求代数式2a+b2022的值．
【答案】(1)x=2y=-6
(2)1
【提示】根据题意可得2x+5y=-26①3x-5y=36②，再利用加减消元法解答，即可求解；
（2）把x=2y=-6代入ax-by=-4和bx+ay=-8，可得关于a，b的方程组，解出即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：2x+5y=-26①3x-5y=36②，
由①+②得：5x=10，
解得：x=2，
把x=2代入②得：3×2-5y=36，
解得：y=-6，
∴这两个方程组的解为x=2y=-6；
（2）把x=2y=-6代入ax-by=-4和bx+ay=-8，得：
2b-6a=-82a+6b=-4，解得：a=1b=-1．
∴2a+b2022=2×1-12022=1．
【点拨】本题主要考查了同解方程组，解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
类型六 主元法
解题技巧：本题不能直接求出x，y，z的值，这时可以把其中一个未知数当成一个常数，然后用含这个未知数的式子去表示另外两个未知数.
【例8】已知4x-3y-3z=0x-3y-z=0（x，y，z均不为0），求xy+2yzx2+y2-z2的值．
【答案】611
【分析】本题不能直接求出x，y，z的值，这时可以把其中一个未知数当成一个常数，然后用含这个未知数的式子去表示另外两个未知数．
【详解】解：将原方程组变形，得
4x-3z=3y,x-z=3y.
解得x=-6y,z=-9y.
所以xy+2yzx2+y2-z2=(-6y)⋅y+2y⋅(-9y)(-6y)2+y2-(-9y)2=-24y2-44y2=611
【点拨】本题不是考查学生直接解方程的能力，而是让学生理清三个未知数之间的关系，所以未知数之间的转换就是关键
【变式8-1】（2023·浙江·模拟预测）实数x,y,z满足3x+7y+z=1,4x+10y+z=2018．则x+3y2017x+2017y+2017z= ．
【答案】-14033
【提示】由②-①得：x+3y=2017，x=2017-3y，由②×3-①×4得：z=2y-6050，从而得到x+y+z=-4033，即可求解．
【详解】解：3x+7y+z=1①,4x+10y+z=2018②，
由②-①得：x+3y=2017，
∴x=2017-3y，
由②×3-①×4得：2y-z=6050，
∴z=2y-6050，
∴x+y+z=2017-3y+y+2y-6050=-4033，
∴x+3y2017x+2017y+2017z=20172017x+y+z=1x+y+z=-14033．
故答案为：-14033
【点拨】本题主要考查了求代数式的值，三元一次方程组，根据题意得到x=2017-3y，z=2y-6050是解题的关键．
题型04 错看或错解二元一次方程组问题
【例9】在解方程组ax+5y=104x-by=-4时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得到的解为x=-3y=-1，乙看错了方程组中的b，得到的解为x=5y=4．则原方程组的解（ ）
A．x=-2y=8B．x=15y=8C．x=-2y=6D．x=-5y=8
【答案】B
【提示】把甲得到的解带入第二个方程，把乙得到的解带入第一个方程，然后求解得a，b，再对{-2x+5y=104x-8y=-4求解即可.
【详解】把甲得到的解带入第二个方程，得b=8；把乙得到的解带入第一个方程，得a=-2；
则得到方程{-2x+5y=104x-8y=-4，解得{x=15y=8，故选择B.
【点拨】本题考查二元一次方程的解法，解题的关键是把甲得到的解带入第二个方程，把乙得到的解带入第一个方程.
解“看错系数”问题的方法
看错方程组中某个方程的系数,所得的解既是方程组中看错系数的方程的解,也是方程组中没有看错系数的方程的解,把解代入没有看错系数的方程中，构建新的方程组,然后解方程组.
【变式9-1】（2023·广西柳州·二模）下面是小亮解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：x-2y=1①2x+2y=5②
第一步：由①得，x=2y+1 ③；
第二步：将③代入②，得2×2y+1+2y=5
第三步：解得y=23
第四步：将y=1代入③，解得x=73；
第五步：所以原方程组的解为x=23y=73
任务一：小亮解方程组用的方法是________消元法．（填“代入”或“加减”）；
任务二：小亮解方程组的过程，从第________步开始出现错误，错误的原因是________．
任务三：请写出方程组正确的解答过程．
【答案】任务一：代入；任务二：二，整体代入未添加括号（言之成理即可）；任务三：过程见解析．
【提示】根据二元一次方程的解法分别以各个任务进行判断整理即可得到答案．
【详解】解：根据题意可得，小亮用的方法是代入消元；
但是从第二步开始错误，错误的原因：整体代入未添加括号；
正确的解答过程：由①得x=2y+1 ③
将③代入②得
解得y=12，代入③，解得x=2
∴原方程组的解为：x=2y=12
【点拨】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程的解法：一、代入消元；二、加减消元是解题的关键．
【变式9-2】（2021·浙江嘉兴·二模）解方程组：3x-2y=6①x+y=5②．
小海同学的解题过程如下：
解：由②，得y=5+x③……（1）
把③代入①，得：3x-2x+5=6……（2）
解得：x=-1……（3）
把x=-1代入③，得y=4……（4）
∴此方程组的解为x=-1y=4……（5）
判断小海同学的解题过程是否正确，若不正确，请指出错误的步骤序号，并给出正确的解题过程．
【答案】不正确，错误的步骤是（1），（2），（3），正确结果为x=165y=95
【提示】第（1）步，移项没有变号，第（2）步没有用乘法分配律，去括号也错误了，第（3）步移项后计算错误，写出正确的解答过程即可．
【详解】解：错误的是（1），（2），（3），
正确的解答过程：
由②得：y＝5﹣x③
把③代入①得：3x﹣10+2x＝6，
解得：x=165，
把x=165代入③得：y=95，
∴此方程组的解为x=165y=95．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键．
题型05 构造二元一次方程组求解
【例10】（2022·贵州黔东南·中考真题）若2x+y-52+x+2y+4=0，则x-y的值是 ．
【答案】9
【提示】根据非负数之和为0，每一项都为0，分别算出x，y的值，即可
【详解】∵2x+y-52≥0
x+2y+4≥0
2x+y-52+x+2y+4=0
∴2x+y-5=0x+2y+4=0
解得：x=143y=-133
x-y=143-(-133)=273=9
故答案为：9
【点拨】本题考查非负数之和为零，解二元一次方程组；根据非负数之和为零，每一项都为0，算出x，y的值是解题关键
【变式10-1】（2019·江苏宿迁·中考真题）下面3个天平左盘中“△”“□”分别表示两种质量不同的物体，则第三个天平右盘中砝码的质量为 ．
【答案】10
【提示】设“△”的质量为x，“□”的质量为y，由题意列出方程：{x+y=6x+2y=8，解得：{x=4y=2，得出第三个天平右盘中砝码的质量=2x+y=10.
【详解】解：设“△”的质量为x，“□”的质量为y，
由题意得：{x+y=6x+2y=8，
解得：{x=4y=2，
∴第三个天平右盘中砝码的质量=2x+y=2×4+2=10；
故答案为10．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程组的解法；设出未知数，根据题意列出方程组是解题的关键．
【变式10-2】（2022·湖南长沙·校考一模）如果单项式-3ax-2yb2与14b2x+ya3是同类项，那么3x-y的值为 ．
【答案】5
【提示】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程组，求出x，y的值，再代入代数式计算即可．
【详解】解：根据题意得：x-2y=32x+y=2，
解得：x=75x=-45，
∴3x-y=3×75-(-45)=5．
故答案为：5．
【点拨】本题主要考查了同类项的定义和解二元一次方程组，根据同类项的定义列出关于x、y方程组，是解题的关键．
【变式10-3】请你根据下图中所给的内容，完成下列各小题．
我们定义一个关于非零常数a，b的新运算，规定：a◎b=ax+by．例如：3◎2=3x+2y．
(1)如果x=-5，2◎4=-18，求y的值；
(2)1◎1=8，4◎2=20，求x，y的值．
【答案】(1)y=-2
(2)x=2y=6
【提示】（1）根据题意，得出方程组，解答即可；
（2）根据题意，得出方程组，解答即可．
【详解】（1）解：根据题意，得2x+4y=-18，
把x=-5代入，
得-10+4y=-18，
解得y=-2；
（2）解∶根据题意，得x+y=84x+2y=20，
解得x=2y=6．
【点拨】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用．理解新定义是解题的关键．
题型06 解三元一次方程组
【例11】（2023·上海长宁·二模）已知抛物线y=ax2+bx+ca≠0经过点A（2，t），B（3，t），C（4，2），那么a+b+c的值是（ ）
A．2B．3C．4D．t
【答案】A
【提示】把点A（2，t），B（3，t），C（4，2）代入抛物线，解三元一次方程组即可求解．
【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+ca≠0经过点A（2，t），B（3，t），C（4，2），
∴4a+2b+c=t9a+3b+c=t16a+4b+c=2，解得，a=1-12tb=52t-5c=6-2t，
∴a+b+c=1-12t+52t-5+6-2t=2，
故选：A．
【点拨】本题主要考查二次函数与三元一次方程组的综合，掌握二次函数的代入法，解三元一次方程组的方法是解题的关键．
【变式11-1】已知方程组x+2y=k2x+y=1的解满足x＋y＝3，则k的值为( )．
A．10B．8C．2D．－8
【答案】B
【详解】试题解析：由题意可得x+2y＝k①2x+y＝1②x+y＝3③，
2×①-②得y=23k-13，
②-③得x=-2，
代入③得y=5，
则23k-13=5，
解得k=8．
故选B.
【变式11-2】（2022·四川眉山·校考一模）已知：aba+b=23，cac+a=34，bcb+c=65．求代数式a＋b＋c的值．
【答案】6
【提示】先将每个等式求倒数，然后组成方程组1a+1b=32①1a+1c=43②1b+1c=56③，用(①+②+③)÷2得
1a+1b+1c=116④，然后用④分别减①②③求解即可．
【详解】解：∵aba+b=23，cac+a=34，bcb+c=65，
∴1a+1b=32，1a+1c=43，1b+1c=56，
∴1a+1b=32①1a+1c=43②1b+1c=56③，
(①+②+③)÷2得：
1a+1b+1c=116④，
④-①得1c=116-32=13，解得c=3，
④-②1b=116-43=12，解得b=2，
④-③1a=116-56=1，解得a=1，
∴a＋b＋c=1+2+3=6．
【点拨】本题考查解分式方程，求代数式的值，掌握倒数法解方程组是解题关键．
考点四 一次方程（组）的应用
用方程解决实际问题的步骤：
审：理解并找出实际问题中的等量关系;
设：用代数式表示实际问题中的基础数据;
列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;
解：求解方程;
验：考虑求出的解是否具有实际意义;
答：实际问题的答案.
与一次方程（组）有关应用题的常见类型：
题型01 利用一元一次方程解决实际问题
类型一 配套问题
【例1】（2022 滨州市二模）某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排x名工人生产螺钉，则下面所列方程正确的是（ ）
A．2×1000（26﹣x）=800xB．1000（13﹣x）=800x
C．1000（26﹣x）=2×800xD．1000（26﹣x）=800x
【答案】C
【提示】此题等量关系为：2×螺钉总数=螺母总数，据此设未知数列出方程即可．
【详解】解：设安排x名工人生产螺钉，则（26-x）人生产螺母，由题意得
1000（26-x）=2×800x，
故C答案正确
故选C
【变式1-1】（2023哈尔滨市三模）某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母组成的产品，每人每天生产螺母64个或螺栓22个．若分配x名工人生产螺栓，其它工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（ ）
A．22x=64(27-x)B．
C．2×22x=64(27-x)D．2×64x=22(27-x)
【答案】C
【提示】设分配x名工人生产螺栓，则分配（27-x）名工人生产螺母，根据生产螺母数是生产螺栓数量的2倍，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：设分配x名工人生产螺栓，则分配（27-x）名工人生产螺母，
依题意，得：2×22x=64（27-x）．
故选：C．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【变式1-2】（2023西安尊德中学二模）制作一张方桌要用1个桌面和4条桌腿，若1m3木材可制作20个桌面或400条桌腿，现有12m3木材，要使生产出来的桌面和桌腿恰好都配成方桌，求应安排多少木材用来制作桌面．
【答案】应安排10 m3木材用来生产桌面．
【提示】设应安排xm3木材用来生产桌面，则应安排12-xm3木材用来生产桌腿．“1m3木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿”求出桌面数与桌腿数．根据一张桌子要用一个桌面和4条桌腿配套，利用桌面数×4=桌腿数建立方程求出其解即可．
【详解】解：设用xm3木材制作桌面，则用12-xm3木材制作桌腿，
根据题意得4×20x=40012-x，
整理得：480x=4800，
解得：x=10．
答：应安排10m3木材用来生产桌面．
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次方程的解法的运用，解答时根据“1m3木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿”求出桌面总数与桌腿总数，掌握利用桌面数×4=桌腿数建立方程是解题的关键．
类型二 工程问题
【例2】（2022·辽宁阜新·一模）某工程甲单独完成要25天，乙单独完成要20天．若乙先单独干10天，剩下的由甲单独完成，设甲、乙一共用x天完成，则可列方程为（ ）
A．x+1020+1025=1B．1025+x-1020=1C．x-1025+1020=1D．x+1025+1025=1
【答案】C
【提示】设甲、乙一共用x天完成，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：设甲、乙一共用x天完成，根据题意得：
x-1025+1020=1．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
【变式2-1】（2023·福建泉州·福建省泉州第一中学校考模拟预测）某工人在规定的时间内做完一批零件，若每小时做10个就可以超额完成3个，若每小时做11个就可以提前1h完成，则这批零件一共有多少个？设这批零件一共有x个，则根据题意得到的正确方程是（ ）
A．x10-3=x11+1B．x10-103=x11-1
C．x10+310=x11-1D．x10+310=x11+1
【答案】D
【提示】根据工作总量等于工作效率乘以工作时间，设这批零件一共有x个，则每小时做10个就可以超额完成3个，工作总量为：x+3，工作时间为：x+310，再根据每小时做11个就可以提前1h完成，列出方程，即可．
【详解】设这批零件一共有x个，
∴x+310=x11+1，
∴x10+310=x11+1．
故选：D．
【点拨】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是掌握工作总量等于工作效率乘以工作时间，列出方程．
【变式2-2】（2023·安徽合肥·二模）整理一批图书，如果由一个人单独做要用30h，现先安排一部分人用2h整理，随后又增加5人和他们一起又做了3h，恰好完成整理工作，假设每个人的工作效率相同，那么一共安排整理的人员有多少？
【答案】8
【提示】安排整理的人员有x人，则随后有(x+5)人，根据题意可得等量关系：开始x人2小时的工作量+后来(x+5)人3小时的工作量=1，把相关数值代入即可求解．
【详解】解：设先安排整理的人员是x人．
由题意得：130×x×2+130×x+5×3=1
解得：
x+5=8
答：一共安排整理的人员有8人．
【点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．此题用到的公式是：工作效率×工作时间=工作量．
类型三 增长率问题
【例3】（2022·安徽合肥·模拟预测）一种商品，先提价20%，再降价10%，这时的价格是2160元．则该商品原来的价格是（ ）
A．2400元B．2200元C．2000元D．1800元
【答案】C
【提示】设原来的价格为x元，根据题意，得（1+20%）×x×(1-10%)=2160，解一元一次方程即可．
【详解】设原来的价格为x元，根据题意，得
（1+20%）×x×(1-10%)=2160，
解得x=2000，
故选C．
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【变式3-1】（2023蚌埠高新区模拟）受季节影响，某商品每件售价按原价降低a%再降价8元后的售价是100元，那么该商品每件的原售价可表示为（ ）
A．921-a%B．1081-a%C．921-a%D．1081-a%
【答案】B
【提示】设该商品每件的原售价为x元． 然后根据“某商品每件售价按原价降低a%再降价8元后的售价是100元”列方程求解即可．
【详解】解：设该商品每件的原售价为x元．
由题意可得：x1-a%-8=100，解得： x=1081-a%．
答：该商品每件原售价可表示为1081-a%．
故选B．
【点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用，舍出未知数、找准等量关系、列出一元一次方程是解答本题的关键．
类型四 销售利润问题
【例4】（2023宁波市一模）互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为200元，按标价的五折销售，仍可获利20元，则这件商品的进价为（ ）
A．120元B．100元C．80元D．60元
【答案】C
【详解】解：设该商品的进价为x元/件，
依题意得：（x+20）÷510=200，
解得：x=80．
∴该商品的进价为80元/件．
故选：C．
【变式4-1】（2023巴东县模拟）一商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，在这次买卖中，这家商店（ ）
A．不盈不亏B．盈利20元C．亏损10元D．亏损30元
【答案】C
【详解】提示：设两件衣服的进价分别为x、y元，根据利润=销售收入-进价，即可分别得出关于x、y的一元一次方程，解之即可得出x、y的值，再用240-两件衣服的进价后即可找出结论．
详解：设两件衣服的进价分别为x、y元，
根据题意得：120-x=20%x，y-120=20%y，
解得：x=100，y=150，
∴120+120-100-150=-10（元）．
故选C．
点拨：本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【变式4-2】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考三模）某种商品进价为200元，标价为300元．现打折销售，要使利润率为5%．则需打几折？
【答案】需打7折
【提示】设需要打x折，根据利润率为5%，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设需要打x折，由题意，得：300×x10-200=200×5%，
解得：x=7；
∴需打7折．
【点拨】本题考查一元一次方程的应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．
类型五 比赛积分问题
【例5】（2023·湖南长沙·长沙麓山国际实验学校校考模拟预测）全国青少年校园足球联赛，是国内历史最久远、覆盖范围最广的中学足球赛事，在小组赛中，每小组有4个队，小组内进行单循环赛（两支球队间只比赛一场），已知胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，小组赛结束后，积分前两名（相同积分比较净胜球）可以进入下一轮比赛．如表是某次小组赛的积分表：
如果本小组比赛中只有一场战平，根据此表，可以推断丁队的积分是（ ）
A．0B．1C．2D．
【答案】D
【提示】提示比赛规则可知：胜一场两队共积3分，平一场两队共积2分，设丁队的积分是x分，根据本小组比赛中只有一场战平及甲、乙、丙三队的积分，可列出关于x的一元一次方程，解之即可求出结论．
【详解】解：设丁队的积分是x分，
根据题意得：6+4+4+x=3×12×4×4-1-1+2×1，
解得：x=3，
∴丁队的积分是3分．
故选：D．
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【变式5-1】（2022·河北石家庄·校考模拟预测）在全国足球甲级A组的前11轮比赛中，某队保持不败，共积累23分．按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，那么该队胜的场数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【提示】设该队胜的场数是x，根据“某队保持不败，共积累23分．按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分”列出方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设该队胜的场数是x，
则
解得x=6，
即该队胜的场数是6，
故选：C
【点拨】此题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键．
【变式5-2】（2022·陕西西安·西安市西光中学校考二模）为有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多学校高度重视学生的体育锻炼，并不定期举行体育比赛．已知在一次足球比赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队在已赛的11场比赛中保持连续不败，共得25分，求该队获胜的场数．
【答案】7场
【提示】设该队获胜x场，则平11-x场，利用总得分=3× 获胜场次数+1× 打平场次数，即可得出一元一次方程，解方程即可求得答案．
【详解】设该队获胜x场，则平11-x场，
依题意得：3x+11-x=25，解得：x=7．
答：该队获胜7场．
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
类型六 方案选择问题
【例6】（2023·陕西西安·高新一中校考三模）A、B两家旅行社推出家庭旅游优惠活动，两家旅行社的票价均为每人90元，但优惠的办法不同，A旅行社的优惠办法是：全家有一人购全票，其余的人半价优惠；B旅行社的优惠办法是：全家每人均按6折票价优惠．请问当家庭的人数是多少时，两家旅行社的费用相同？
【答案】5
【提示】设家庭的人数是x人，A旅行社的费用为90+45x-1元，B旅行社的费用为90x×0.6元，根据“两家旅行社的费用相同”，可建立关于x的一元一次方程，求解即可．
【详解】解：设家庭的人数是x人时，两家旅行社的费用相同，
依题意，得：90+45x-1=90x×0.6，
解得：x=5．
答：当家庭的人数是5人时，两家旅行社的费用相同．
【点拨】本题考查一元一次方程的应用．理解题意，找到等量关系是解题的关键．
【变式6-1】（2023怀远县二模）现需运送一批货物，有甲、乙两种型号货车可供选择．两种型号货车出租价格如表：
租用甲种型号货车在限定里程80km内，只需付起步价108元，超过限定里程的部分按3元/km收费，租用乙种型号货车在限定里程100km内，只需支付起步价180元，超过限定里程的部分按2元/km收费，设里程为x千米．
（1）当x＞100时，用x分别表示租用甲、乙两种型号货车的费用；
（2）当里程为多少千米时，租用两种型号的货车费用相等？
【答案】（1）租用甲种型号货车费用为（3x-132）元，租用乙种型号货车费用为：（2x-20）元；（2）112km
【提示】（1）行驶里程x>100，根据甲车80 km内，付起步价108元，超过80km的部分按3元/km，列出代数式；再根据乙车100km内，付起步价180元，超过100km的部分按2元/km，列出代数式即可
（2）当x≤80km时，甲车租金108元，乙车租金180元，不相等；当80km100km时，结合（1）所列的代数式，列出方程，解方程即可
【详解】（1）根据题意可得：x>100
∴租用甲种型号货车费用为：108+3×x-80=3x-132元，
∴租用乙种型号货车费用为：180+2×x-100=2x-20元；
（2）当x≤80km时，甲货车租金108元，乙货车租金180元，不相等；
当80km100，舍去，
当x>100km时，则有3x-132=2x-20，
解得x=112
所以当里程为112km时，租用两种型号的车费用相等
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式等知识，读懂题意正确列出代数式，再结合题意找出等量关系列出一元一次方程是解题关键．
类型七 数字问题
【例7】（2023·山东滨州·一模）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则mn=（ ）
A．1B．2C．3D．0
【答案】A
【提示】根据三阶幻方中的数字列方程求解即可．
【详解】解：由题意知，-4+2=n+(-2)，
解得n=0，
-4+m=n+2，
即-4+m=2，
解得m=6，
∴mn=60=1
故选：A．
【点拨】本题主要考查一元一次方程的知识以及零指数幂，熟练根据三阶幻方列方程求解是解题的关键．
【变式7-1】（2022·浙江杭州·杭州绿城育华学校校考模拟预测）一个两位数的个位数字与十位数字都是x，如果将个位数字与十位数字分别加2和1，所得的新数比原数大12，则可列的方程是（ ）
A．2x+3=12
B．10x+2+3=12
C．(10x+x)-10(x+1)-(x+2)=12
D．10(x+1)+(x+2)=10x+x+12
【答案】D
【提示】根据题意分别表示出原来的两位数和新的两位数，再根据所得的新数比原数大12得出方程．
【详解】解：由题意得：原来的两位数可表示为10x+x，新的两位数可表示为10x+1+x+2，
则可列的方程是10x+1+x+2=10x+x+12，
故选：D．
类型八 日历问题
【例8】（2023增城区一模）在一张挂历上，任意圈出同一列上的三个数的和不可能是( )
A．4B．33C．51D．27
【答案】A
【提示】因为挂历上同一列的数都相对于前一个数相差7，所以设第一个数为x，则第二个数、第三个数分别为x+7.x+14，求出三数之和，发现其和为3的倍数，对照四选项即可求解．
【详解】设圈出的第一个数为x，则第二数为x+7，第三个数为x+14，
∴三个数的和为：x+（x+7）+（x+14）=3（x+7）
∴三个数的和为3的倍数
由四个选项可知只有A不是3的倍数，
故选A．
【点拨】本题考查的知识点是列代数式，解题关键是找出三数的关系，然后根据三数之和与选项对照求解．
【变式8-1】将连续的偶数2，4，6，8，…排成下图所示，若将十字框上下左右移动，可框住五个数，这五个数的和可能等于（ ）
A．123B．115C．240D．400
【答案】C
【提示】设十字框最中间的数为x，表示出其余数字，根据之和为选项中的数字求出x的值，x的值符合题意即可．
【详解】设十字框最中间的数为x，其他数为x- 10，x+ 10，x -2， x + 2
根据题意得：x- 10+x+ 10+x -2+ x + 2+x=5 x
A．当5 x = 123时，x = 24.6，不符合题意；
B．当5 x = 115时，x = 23，不符合题意；
C．当5 x = 240时，x = 48，由于48位于第四列，第五行，故240正确，符合题意；
D．当5 x = 400时，x = 80，由于80位于第五列，第八行，故400不正确，不符合题意．
故选：C．
【点拨】此题考查了一元一次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．
【变式8-2】（2023·河北廊坊·校考三模）2023年4月的日历上圈出了相邻的三个数a、b、c，并求出了它们的和为36，这三个数在日历中的排布不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】日历中的每个数都是整数且上下相邻是7，左右相邻相差是1．根据题意可列方程求解，然后判断即可．
【详解】解：A．设最小的数是x．x+x+1+x+2=36，x=11．故本选项不符合题意．
B．设最小的数是x．x+x+6+x+8=36，x=223，故本选项符合题意．
C．设最小的数是x．x+x+8+x+16=36，x=4，故本选项不符合题意．
D．设最小的数是x．x+x+7+x+8=36，x=7，本选项不符合题意．
故选：B．
【点拨】本题考查的是一元一次方程的应用．解题的关键在于掌握日历中的每个数都是整数且上下相邻是7，左右相邻相差是1．
类型九 几何问题
【例9】（2023·福建福州·福建省福州第十九中学校考一模）如图，在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且a、b互为相反数，若AB=8，则点A表示的数为（ ）

A．8B．4C．0D．-4
【答案】D
【提示】由AB的长度结合A、B表示的数互为相反数，即可得出A，B表示的数
【详解】解：∵A，B两点对应的数互为相反数，
∴设A表示的数为a，则B表示的数为-a，
∵
∴-a-a=8，
解得：a=-4，
∴点A表示的数为-4，
故选：D．
【点拨】本题考查了绝对值，相反数的应用，关键是能根据题意得出方程-a-a=8．
【变式9-1】（2023·广西南宁·一模）学习《设计制作长方体形状的包装纸盒》后，小宁从长方形硬纸片上截去两个矩形（图中阴影部分），再沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒．纸片长为30cm，宽为18cm，AD=2AB，则该纸盒的容积为（ ）
A．960cm3B．800cm3C．650cm3D．648cm3
【答案】D
【提示】设AB=xcm，则AD=2xcm，列出关于x的方程并求解，再计算该纸盒的容积．
【详解】解：设AB=xcm，则AD=2xcm，
2x+x=18，
解得：x=6，
所以AB=6cm,AD=12cm，
则长方体的底面宽为：12×30-6×2=9(cm)，
所以该纸盒的容积为：12×9×6=648cm3
故选：D
【点拨】此题主要考查了展开图折叠成几何体及一元一次方程应用，解题的关键是正确题意，然后根据题目的数量关系列出代数式解决问题．
【变式9-2】如图，把一块长AB为40cm的长方形硬纸板的四角剪去四个边长为5cm的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖长方体纸盒，若纸盒的体积是1500cm3，则长方形硬纸板的宽为多少？
【答案】20cm
【提示】设长方形硬纸板的宽为xcm，根据纸盒的体积是1500cm3可列出方程40-10×x-10×5=1500，求解即可．
【详解】解：设长方形硬纸板的宽为xcm，根据题意，
得40-10×x-10×5=1500，
解得：x=20；
答：长方形硬纸板的宽为20cm．
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．
类型十 和差倍分问题
【例10】（2020·湖南张家界·中考真题）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（ ）
A．x+23=x2-9B．x3+2=x-92C．x3-2=x+92D．x-23=x2+9
【答案】B
【提示】设有x人，根据车的辆数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：设有x人，根据车的辆数不变列出等量关系，
每3人共乘一车，最终剩余2辆车，则车辆数为：x3+2，
每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则车辆数为：x-92，
∴列出方程为：x3+2=x-92．
故选：B．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【变式10-1】（2022·江苏苏州·一模）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．若设牧童有x人，根据题意可列方程为（ ）
A．6x+14=8xB．6x+14=8xC．8x+14=6xD．
【答案】A
【提示】设牧童有x人，根据“每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”列一元一次方程即可求解．
【详解】解：设牧童有x人，根据题意得，
6x+14=8x，
故选A．
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
【变式10-2】（2022·江苏宿迁·二模）我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，还差8两．问银子共有几两？设银子共有x两，则可列方程为（ ）
A．7x+4=9x-8B．7x-4=9x+8C．x+47=x-89D．
【答案】D
【提示】设共有银子x两，根据分银子的人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：设共有银子x两，
依题意得：x-47=x+89．
故选：D．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【变式10-3】（2022·广东·中考真题）《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买1本．若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了4元．问学生人数和该书单价各是多少？
【答案】学生人数为7人，该书的单价为53元．
【提示】设学生人数为x人，然后根据题意可得8x-3=7x+4，进而问题可求解．
【详解】解：设学生人数为x人，由题意得：
8x-3=7x+4，
解得：x=7，
∴该书的单价为7×7+4=53（元），
答：学生人数为7人，该书的单价为53元．
【点拨】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键．
类型十一 行程问题
【例11】（2023·湖北荆州·一模）野鸭从南海起飞，7天飞到北海；大雁从北海起飞，9天飞到南海．现野鸭与大雁分别从南海和北海同时起飞，问经过多少天相遇？设野鸭与大雁经过x天相遇，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．x7+x9=1B．x7-x9=1C．7+9x=1D．
【答案】A
【提示】设野鸭与大雁经过x天相遇，根据路程=速度×时间，结合野鸭飞过的路程+大雁飞过的路程=整段路程，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：设野鸭与大雁经过x天相遇，
依题意得：x7+x9=1，
故选：A．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【变式11-1】（2023 天水市一模）船在静水中的速度为36千米/时，水流速度为4千米/时，从甲码头到乙码头再返回甲码头，共用了9小时（中途不停留），设甲、乙两码头的距离为x千米，则下面所列方程正确的是（ ）
A．36+4x+36-49-x=1B．36+4x=9
C．x36+x4=9D．x36+4+x36-4=9
【答案】D
【提示】由题意可得顺水中的速度为（36+4）km/h，逆水中的速度为（36-4）km/h，根据“从甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码头共用9h”可得顺水行驶x千米的时间+逆水行驶x千米的时间=9h，根据等量关系代入相应数据列出方程即可.
【详解】设甲、乙两码头的距离为x千米，
由题意得：x36+4+x36-4=9，
故选D.
【点拨】此题主要考查了一元一次方程的应用的航行问题，顺水中的速度=船在静水中的速度+水流速度，逆水中的速度=船在静水中的速度-水流速度，关键是正确理解题意，抓住题目中的关键语句找等量关系，列出方程.
【变式11-2】（20223延边州一模）我国元朝数学家朱世杰所著的《算学启蒙》中记载了一道问题，大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？如果设快马x天可以追上慢马，那么根据题意可列方程为（ ）
A．240x=150x+12B．240x=150x+12
C．240x-12=150xD．240x=150x-12
【答案】A
【提示】快马花x天追上慢马，此时快马走的路程为240x里，由于慢马先走12天，所以慢马总共走的路程为150(x+12)里．当快马追上慢马时，就是说它们所走的路程相等，即可列出方程．
【详解】快马花x天追上慢马，此时快马走的路程为240x里，慢马走的路程为150(x+12)里，
由题意得：240x=150(x+12)．
故答案为：A．
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意是解题关键．
【变式11-3】（2022·湖南常德·中考真题）小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小时，某天，他们以平常的速度行驶了12的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20千米／小时，到达奶奶家时共用了5小时，问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？
【答案】240千米
【提示】平常速度行驶了12的路程用时为2小时，后续减速后用了3小时，用遇到暴雨前行驶路程加上遇到暴雨后行驶路程等于总路程这个等量关系列出方程求解即可．
【详解】解：设小强家到他奶奶家的距离是x千米，则平时每小时行驶x4千米，减速后每小时行驶x4-20千米，由题可知：遇到暴雨前用时2小时，遇到暴雨后用时5-2=3小时，
则可得：2×x4+3x4-20=x，
解得：x=240，
答：小强家到他奶奶家的距离是240千米．
【点拨】本题考查了一元一次方程应用中的行程问题，直接设未知数法，找到准确的等量关系，列出方程正确求解是解题的关键．
【变式11-4】（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考二模）A.B两地相距300千米，甲车从A地开往B地，乙车从B地开往A地．已知两车同时出发，乙车的速度是甲车的1.5倍．
(1)若2小时后两车还未相遇，此时两车相距100千米，求甲车的速度；
(2)若乙车中途因故停留了75分钟，从而与甲车同时到达目的地，求甲车的速度．
【答案】(1)40千米/时
(2)80千米/时
【提示】（1）设甲车的速度为x千米/时，则乙车的速度为1.5x千米/时，利用路程=速度×时间，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设甲车的速度为y千米/时，则乙车的速度为1.5y千米/时，利用时间=路程÷速度，结合乙车比甲车少用75分钟，可得出关于y的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【详解】（1）解：设甲车的速度为x千米/时，则乙车的速度为1.5x千米/时，
根据题意得：2x+2×1.5x+100=300，
解得：x=40．
答：甲车的速度为40千米/时；
（2）解：设甲车的速度为y千米/时，则乙车的速度为1.5y千米/时，
根据题意得：300y-3001.5y=7560，
解得：y=80，
经检验，y=80是所列方程的解，且符合题意．
答：甲车的速度为80千米/时．
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出分式方程．
题型02 利用二元一次方程解决实际问题
类型一 配套问题
【例12】（2023衢州市一模）一种饮料有两种包装，5大盒、3小盒共装150瓶，2大盒、6小盒共装100瓶，大盒与小盒每盒各装多少瓶？设大盒装x瓶，小盒装y瓶，则可列方程组（ ）
A．5x+2y=1503x+6y=100B．5x+2y=1503y+6x=100
C．5x+3y=1502y+6x=100D．5x+3y=1502x+6y=100
【答案】D
【提示】根据“5大盒、3小盒共装150瓶，2大盒、6小盒共装100瓶”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：依题意，得：5x+3y=1502x+6y=100，
故选：D．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式12-1】工厂需要用铁皮制作包装盒，每张铁皮可制作盒身15个，或制作盒底20个，一个盒身与两个盒底配成一套包装盒．现有40张铁皮，设用x张制作盒身，y张制作盒底，恰好配套制成包装盒，则下列方程组中符合题意的是（ ）
A．x+y=40y=2xB．x+y=4015x=2×20yC．x+y=402×15x=20yD．x+y=402x15=y20
【答案】C
【提示】根据“共有40张铁皮，且制作的盒底总数是盒身的2倍”，即可得出关于x，y 的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：根据共有40张铁皮，
得：x+y=40，
根据每张铁皮可制作盒身15个，或制作盒底20个，且制作的盒底与盒身恰好配套，即制作的盒底总数是盒身的2倍，
2×15x=20y．根据题意可列方程组x+y=402×15x=20y，
故选： C．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
类型二 方案选择问题
【例13】（2022·黑龙江·中考真题）国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费360元．其中毛笔每支15元，围棋每副20元，共有多少种购买方案？（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】A
【提示】设设购买毛笔x支，围棋y副，根据总价=单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数即可得出购买方案的数量．
【详解】解：设购买毛笔x支，围棋y副，根据题意得，
15x+20y=360，即3x+4y=72，
∴y=18-34x．
又∵x，y均为正整数，
∴x=4y=15或x=8y=12或x=12y=9或x=16y=6或x=20y=3，
∴班长有5种购买方案．
故选：A．
【点拨】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系“共花费360元”，列出二元一次方程是解题的关键．
【变式13-1】（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）端午节前夕，某食品加工厂准备将生产的粽子装入A.B两种食品盒中，A种食品盒每盒装8个粽子，B种食品盒每盒装10个粽子，若现将200个粽子分别装入A.B两种食品盒中（两种食品盒均要使用并且装满），则不同的分装方式有（ ）
A．2种B．3种C．4种D．5种
【答案】C
【提示】设使用A食品盒x个，使用B食品盒y个，根据题意列出方程，求解即可．
【详解】设使用A食品盒x个，使用B食品盒y个，
根据题意得，8x+10y=200，
∵x、y都为正整数，
∴解得x=20y=4，x=15y=8，x=10y=12，x=5y=16，
∴一共有4种分装方式；
故选：C．
【点拨】本题考查了二元一次方程的实际问题，解题的关键是明确题意列出方程．
【变式13-2】（2021·四川泸州·中考真题）某运输公司有A.B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨．
（1）请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？
（2）目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A.B两种货车将全部货物一次运完(A.B两种货车均满载)，其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元．请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少．
【答案】（1）1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨；（2）共有3种租车方案，方案1：租用A型车8辆，B型车2辆；方案2：租用A型车5辆，B型车6辆；方案3：租用A型车2辆，B型车10辆；租用A型车8辆，B型车2辆最少．
【提示】（1）设1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨，根据“3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨”列方程组求解可得；
（2）设货运公司安排A货车m辆，则安排B货车n辆．根据“共有190吨货物”列出二元一次方程组，结合m，n均为正整数，即可得出各运输方案．再根据方案计算比较得出费用最小的数据．
【详解】解：（1）1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨，
根据题意可得：3x+2y=905x+4y=160，
解得：x=20y=15，
答：1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨；
（2）设安排A型车m辆，B型车n辆，
依题意得：20m+15n=190，即m=38-3n4，
又∵m，n均为正整数，
∴m=8n=2或m=5n=6或m=2n=10，
∴共有3种运输方案，
方案1：安排A型车8辆，B型车2辆；
方案2：安排A型车5辆，B型车6辆；
方案3：安排A型车2辆，B型车10辆．
方案1所需费用：500×8+400×2=4800(元)；
方案2所需费用：500×5+400×6=4900(元)；
方案3所需费用：500×2+400×10=5000(元)；
∵4800＜4900＜5000，
∴安排A型车8辆，B型车2辆最省钱，最省钱的运输费用为4800元．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；根据据总费用=500×安排A型车的辆数+400×B型车的辆数分别求出三种运输方案的总费用．
类型三 年龄问题
【例14】（2021淮滨县一模）甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（ ）
A．甲比乙大5岁B．甲比乙大10岁
C．乙比甲大10岁D．乙比甲大5岁
【答案】A
【提示】设甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，根据已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁．乙是甲现在的年龄时，甲25岁，可列方程求解．
【详解】解：甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，由题意可得：
x-y=y-10x-y=25-x
即x-2y=-102x-y=25
由此可得，3(x-y)=15，
∴x-y=5，即甲比乙大5岁．
故选：A．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，重点考查理解题意的能力，甲、乙年龄无论怎么变，年龄差是不变的．
【变式14-1】（2021·江苏无锡·一模）一天，小民去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，125岁了，哈哈！”请你写出小民爷爷到底是 岁．
【答案】70
【提示】设爷爷是x岁，小民是y岁，根据题意描述的关系，得出二元一次方程组，求解即可．
【详解】设爷爷现在x岁，小民现在y岁，
根据题意：x-y=y+40x+x-y=125，
解得：x=70y=15，
故答案为：70．
【点拨】本题考查二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题关键．
【变式14-2】（2022·安徽芜湖·校考一模）已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，求甲、乙现在的年龄的差．
【答案】5岁．
【提示】假设甲、乙现在的年龄分别是x岁和y岁，利用年龄差不变可以列出等式构造二元一次方程组，求解即可．
【详解】解：假设甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，由题意可得：x-y=y-10x-y=25-x
即x-2y=-102x-y=25由此可得：3x-y=15，
∴x-y=5，即甲比乙大5岁．
【点拨】本题考查二元一次方程组的实际应用中的年龄问题，理解年龄差不会随年龄的变化而变化是解本题的关键．
类型四 几何问题
【例15】（2023·河北保定·二模）张师傅要制作一个无盖长方体玻璃鱼缸，切割出来的几块玻璃的尺寸如图所示（单位：dm），则其体积为（ ）

A．60dm3B．72dm3C．74dm3D．94dm3
【答案】A
【提示】设长方体底面的长和宽分别xdm，ydm，根据其平面展开图的相关数据可得关于x、y的二元一次方程组，然后根据长方体的体积公式求解即可.
【详解】解：设长方体底面的长和宽分别xdm，ydm，
由平面图可知，x+y=9y+3=7，解得x=5y=4；
故鱼缸的体积为4×5×3=60dm3.
故选A.
【点拨】本题考查了长方体的平面展开图以及二元一次方程组等知识，弄清长方体的展开图与圆长方体中长、宽、高的关系是解题的关键.
【变式15-1】（2021·广东深圳·校考一模）利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度等于（ ）
A．60cmB．65cmC．70cmD．75cm
【答案】D
【提示】设长方体木块长xcm，宽ycm，桌子的高为acm，由题意列出方程组求出解即可得出结果．
【详解】解：设长方体木块长xcm，宽ycm，桌子的高为acm，由题意，得
a+x-y=90a+y-x=60，
两式相加，得 2a=150，
解得 a=75，
故选：D．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用．解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程中求解．
【变式15-2】（2023·西藏·中考真题）列方程（组）解应用题：如图，巴桑家客厅的电视背景墙是由10块形状大小相同的长方形墙砖砌成．

(1)求一块长方形墙砖的长和宽；
(2)求电视背景墙的面积．
【答案】(1)1.2m，0.3m；
(2)3.6m2．
【提示】（1）首先设一块长方形墙砖的长为xm，宽为ym，然后用x,y的代数式分别表示出长方形的两条长边分别为2xm，x+4ym，宽为x+ym,进而根据长方形的性质列出方程组，解方程组即可得出答案；
（2）根据长方形的面积计算公式即可得出答案．
【详解】（1）解：设一块长方形墙砖的长为xm，宽为ym．
依题意得：
2x=x+4yx+y=1.5，
解得：
x=1.2y=0.3，
答：一块长方形墙砖的长为1.2m，宽为0.3m．
（2）求电视背景墙的面积为：2×1.2×1.5=3.6m2．
答：电视背景墙的面积为3.6m2．
【点拨】此题主要考查了二元一次方程组的实际应用，长方形的性质，根据长方形的两组对边分别相等列出方程组是解答此题的关键．
类型五 行程问题
【例16】（2020·福建福州·校考模拟预测）甲、乙二人同时同地出发，都以不变的速度在300米环形跑道上奔跑，若反向而行，每隔20s相遇一次，若同向而行，则每隔300s相遇一次，已知甲比乙跑得快，设甲每秒跑x米，乙每秒跑y米，则可列方程为（ ）
A．{x+y=300x-y=20B．{x+y=20x-y=300
C．{20x+20y=300300x-300y=300D．{20x+300y=300300x-20y=300
【答案】C
【提示】根据相向而行第一次相遇时两人的总路程为300米，同向行走第一次相遇甲比乙多走了300米，即可得到方程组．
【详解】设甲每秒跑x米，乙每秒跑y米
∵相向而行第一次相遇时两人的总路程为300米，同向行走第一次相遇时，甲比乙多走了300米
∴{20x+20y=300300x-300y=300
故选：C．
【点拨】本题考查二元一次方程组的知识，解题的关键是理解题意，找到等量关系，列出方程组．
【变式16-1】（2023·浙江台州·一模）作业本中有这样一道题：“小明去郊游上午9时从家中出发，先走平路，然后登山，中午12时到达山顶，原地休息1h后沿原路返回，正好下午3时到家．若他平路每小时走4km，登山每小时走3km，下山每小时走6km，求小明家到山顶的路程．”小李查看解答时发现答案中的方程组中有污损，3a=6b••••，则答案中另一个方程应为（ ）
A．3a+2b=12B．a4+b3=3C．a-b=1D．4a+3b3=3+42
【答案】C
【提示】由3a=6b可知a表示上山所用时间，b表示下山所用时间，分别求出从家到山顶、从山顶到家所用的时间，两者之差等于上山与下山所用时间之差，由此可列等式．
【详解】解：由题意知，3a=6b表示上山的路程等于下山的路程，
∴a表示上山用的时间，b表示下山用的时间，
由题意知，小明从家到山顶所用时间为12-9=3h，
从山顶回到家所用时间为3-1=2h，
∴上山比下山多用时间为：3-2=1h，
∴ a-b=1，
故选：C．
【点拨】本题考查列二元一次方程组，解题的关键是理解方程中a，b的含义．
【变式16-2】设甲、乙两车在同一直线公路上匀速行驶，开始甲车在乙车的前面，当乙车追上甲车后，两车停下来，把乙车的货物转给甲车，然后甲车继续前行，乙车向原地返回．设x秒后两车间的距离为y米，y关于x的函数关系如图所示，则甲车的速度为 （ ）

A．20米/秒B．25米/秒C．30米/秒D．35米/秒
【答案】A
【提示】设甲车的速度是a米/秒，乙车的速度为b米/秒，根据函数图象反应的数量关系建立方程组求出其解即可．
【详解】解：设甲车的速度是a米/秒，乙车的速度为b米/秒，由题意，得
100b-100a=500220-200a+b=900，
解得：a=20b=25，
∴甲车的速度为20米/秒，
故选A．
【点拨】本题是一道运用函数图象表示出来的行程问题，考查了追击问题的运用，路程=速度×时间的运用，解答时认真提示函数图象的含义是关键，根据条件建立方程组是难点．
【变式16-3】（2023·黑龙江哈尔滨·一模）甲、乙两车分别从相距200千米的A.B两地相向而行，甲乙两车均保持匀速行驶，若甲车行驶2小时，乙车行驶3小时，两车恰好相遇：若甲车行驶4小时，乙车行驶1小时，两车也恰好相遇．
(1)求甲乙两车的速度（单位：千米/小时）是多少．
(2)若甲乙两车同时按原速度行驶了1小时，甲车发生故障不动了，为了保证乙车再经过不超过2小时与甲车相遇，乙车提高了速度，求乙车提速后的速度至少是每小时多少千米？
【答案】(1)甲车的速度为40km/h，乙车的速度为40km/h
(2)乙车提速后的速度至少是每小时60千米
【提示】（1）设甲车的速度为xkm/h，乙车的速度为ykm/h，根据“若甲车行驶2小时，乙车行驶3小时，两车恰好相遇：若甲车行驶4小时，乙车行驶1小时，两车也恰好相遇”列出方程组，即可求解；
（2）设乙车提速后的速度为akm/h，根据题意，列出不等式，即可求解．
【详解】（1）解：设甲车的速度为xkm/h，乙车的速度为ykm/h，
根据题意得2x+3y=2004x+y=200，解得x=40y=40，
答：甲车的速度为40km/h，乙车的速度为40km/h；
（2）解：设乙车提速后的速度为akm/h，
根据题意得40×1+40×1+2a≥200，
解得a≥60，
答：乙车提速后的速度至少是每小时60千米．
【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，明确题意，准确列出方程组或不等式是解题的关键．
类型六 古代问题
【例17】（2023·浙江绍兴·中考真题）《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容是单位）；大容器1个，小容器5个，总容暴为2斛．问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为x斛，小容器的容量为y斛，则可列方程组是（ ）
A．x+5y=35x+y=2B．5x+y=3x+5y=2C．5x=y+3x=5y+2D．5x=y+2x=5y+3
【答案】B
【提示】设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，根据“大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛”即可得出关于x、y的二元一次方程组．
【详解】解：设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，
根据题意得：5x+y=3x+5y=2．
故选：B．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据数量关系列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键．
【变式17-1】（2023·青海西宁·中考真题）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳长y尺，根据题意列方程组得（ ）
A．y-x=4.512y=x-1B．x-y=4.512y=x-1C．y-x=4.512y=x+1D．x-y=4.512y=x+1
【答案】A
【提示】设木长x尺，绳长y尺，根据用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，列出二元一次方程组，即可求解．
【详解】设木长x尺，绳长y尺，根据题意列方程组得
y-x=4.512y=x-1
故选：A．
【点拨】本题考查了列二元一次方程组，根据题意列出方程组是解题的关键．
【变式17-2】（2023龙岗区一模）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（ ）
A．11x=9y（10y+x）-（8x+y）=13B．10y+x=8x+y9x+13=11y
C．9x=11y（8x+y）-（10y+x）=13D．
【答案】D
【提示】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量=11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）-（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）=13两，根据等量关系列出方程组即可．
【详解】解：枚黄金重x两，每枚白银重y两
由题意得：9x=11y（10y+x）-（8x+y）=13
故选D．
【点拨】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
【变式17-3】（2022·江苏徐州·中考真题）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问禽、兽各几何？”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚．问兽、鸟各有多少？
根据译文，解决下列问题：
(1)设兽有x个，鸟有y只，可列方程组为 ；
(2)求兽、鸟各有多少．
【答案】(1)6x+4y=764x+2y=46
(2)兽有8只，鸟有7只．
【提示】（1）根据“兽与鸟共有76个头与46只脚”，即可得出关于x、y的二元一次方程组；
（2）解方程组，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵兽与鸟共有76个头，
∴6x+4y=76；
∵兽与鸟共有46只脚，
∴4x+2y=46．
∴可列方程组为6x+4y=764x+2y=46．
故答案为：6x+4y=764x+2y=46；
（2）解：原方程组可化简为3x+2y=38①2x+y=23②，
由②可得y=23-2x③，
将③代入①得3x+2（23-2x）=38，
解得x=8，
∴y=23-2x=23-2×8=7．
答：兽有8只，鸟有7只．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
类型七 图表问题
【例18】（2021·湖南邵阳·中考真题）为庆祝中国共产党成立100周年，某校计划举行“学党史·感党恩”知识竞答活动，并计划购置篮球、钢笔、笔记本作为奖品．采购员刘老师在某文体用品购买了作为奖品的三种物品，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图．
请根据图所示的发票中的信息，帮助刘老师复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额．
【答案】购置钢笔15支，金额为225元，购置笔记本34本，金额为175元
【提示】根据题意可知钢笔和笔记本一共50个，两种物品的金额1000-600=400元，再根据题意列二元一次方程组即可
【详解】解：设钢笔买了x支，笔记本买了y本
根据题意可得：钢笔和笔记本一共56-6=50个
钢笔和笔记本两种物品的金额一共1000-600=400元
则有
解得：
则购置笔记本金额为：35×5=175元
购置钢笔金额为：15×15=225元
答：购置钢笔15支，金额为225元，购置笔记本34本，金额为175元
【点拨】本题考查列二元一次方程组解决实际问题，根据已知条件正确的找出等量关系是关键
【变式18-1】（2022宜昌市中考诊断）一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车．已知过去两次租用这两种货车的情况如下表：
现租用该公司3辆甲种货车及5辆乙种货车一次刚好运完这批货，如果按每吨付运费30元计算，问货主应付运费多少元？
【答案】货主应付运费735元
【提示】先设甲、乙两种货车载重量分别为x吨、y吨，再根据题意列出方程组求出x、y的值，然后根据运费每吨30元计算即可．
【详解】解：设甲、乙两种货车载重量分别为x吨、y吨
根据题意得2x+3y=15.55x+6y=35，
解得x=4y=2.5
∴303x+5y=303×4+5×2.5=735
答：货主应付运费735元．
【点拨】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意设出合适的未知数，列出方程是解题的关键．
【变式18-2】（2021·贵州贵阳·中考真题）为庆祝“中国共产党的百年华诞”，某校请广告公司为其制作“童心向党”文艺活动的展板、宣传册和横幅，其中制作宣传册的数量是展板数量的5倍，广告公司制作每件产品所需时间和利润如下表：
（1）若制作三种产品共计需要25小时，所获利润为450元，求制作展板、宣传册和横幅的数量；
（2）若广告公司所获利润为700元，且三种产品均有制作．求制作三种产品总量的最小值．
【答案】（1）制作展板、宣传册和横幅的数量分别是：10，50，10；（2）制作三种产品总量的最小值为75．
【提示】（1）设展板数量为x，则宣传册数量为5x，横幅数量为y，根据等量关系，列出二元一次方程组，即可求解；
（2）设展板数量为x，则宣传册数量为5x，横幅数量为y，可得y=100-7x2，结合x，y取正整数，可得制作三种产品总量的最小值．
【详解】（1）解：设展板数量为x，则宣传册数量为5x，横幅数量为y，
根据题意得：20x+3×5x+10y=450x+15×5x+12y=25，解得：x=10y=10，
5×10=50，
答：制作展板、宣传册和横幅的数量分别是：10，50，10；
（2）设展板数量为x，则宣传册数量为5x，横幅数量为y，制作三种产品总量为w，
由题意得：20x+3×5x+10y=700，即：7x+2y=100，
∴y=140-7x2，
∴w=x+5x+y=6x+140-7x2=140+5x2=70+52x，
∵x，y取正整数，
∴x可取的最小整数为2，
∴w=70+52x的最小值=55，即：制作三种产品总量的最小值为75．
【点拨】本题主要考查二元一次方程组以及一次函数的实际应用，根据数量关系，列出方程组以及一次函数的解析式，是解题的关键．
类型八 工程问题
【例19】（2022定安县一模）为了打造环湖风光带，现有一段长为88米的河道清淤任务，由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天清理10米，乙工程队每天清理8米，共用时10天，则甲乙工程队各清理了几天？
【答案】甲乙工程队各用了4天，6天．
【提示】根据题意两队用时时间和为10天；两队工程量的和为88米．利用两个等量关系列方程组，根据题意设两个未知量，根据已知列方程组求解即可．
【详解】解：设甲乙工程队各用了x天，y天，
则 x+y=1010x+8y=88
解得，x=4y=6
答：甲乙工程队各用了4天，6天．
【点拨】本题主要考查二元一次方程组的应用．列方程主要找到等量关系，二元方程即需要两个等量关系来列方程组。这类工程问题涉及到的关系：总工程量＝工作效率×工作时间，及其变形的形式．
【变式19-1】（2021昭通市一模）计划对河道进行改造，现有甲乙两个工程队参加改造施工，受条件限制，每天只能由一个工程队施工．若甲工程队先单独施工3天，再由乙工程队单独施工5天，则可以完成550米施工任务：若甲工程队先单独施工2天，再由乙工程对单独施工4天，则可以完成420米的施工任务．
（1）求甲、乙两个工程队平均每天分别能完成多少米施工任务？
（2）该河道全长6000米，若两队合作工期不能超过90天，乙工程队至少施工多少天？
【答案】（1）甲工程队每天能完成施工任务50米，乙工程队每天能完成施工任务80米；（2）乙工程队至少施工50天
【提示】（1）设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米，根据等量关系列出二元一次方程组，即可求解；
（2）设乙工程队施工a天，根据不等量关系，列出一元一次不等式，即可求解．
【详解】（1）设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米，
根据题意得：3x+5y=5502x+4y=420，解得：x=50y=80，
答：甲工程队每天能完成施工任务50米，乙工程队每天能完成施工任务80米；
（2）设乙工程队施工a天，
根据题意得：80a+50（90-a）≥6000，
解得：a≥50，
答：乙工程队至少施工50天
【点拨】本题主要考查二元一次方程组与一元一次不等式的实际应用，找出等量关系和不等量关系，列出方程组和不等式，是解题的关键．
考点要求
新课标要求
命题预测
等式的基本性质
理解等式的基本性质
一元一次方程与二元一次方程（组）在初中数学中因为未知数的最高次数都是一次，且都是整式方程,所以统称为“一次方程”.
中考中，对于这两个方程的解法及其应用一直都有考察，其中对于两个方程的解法以及注意事项是必须掌握的，而在其应用上也是中考代数部分结合型较强的一类考点.
预计2024年各地中考还将继续考查一次方程的解法和应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握．
一元一次方程
能解一元一次方程
二元一次方程（组）
掌握消元法，能解二元一次方程组
能解简单的三元一次方程组[选学]
一次方程（组）
的应用
利用一次方程求解实际问题
解方程：2x+13-5x-16=1
解：去分母，得22x+1-5x-1=1……第一步
去括号，得4x+2-5x+1=1……第二步
移项，得4x-5x=1-1-2……第三步
合并同类项，得-x=-2，……第四步
方程两边同除以－1，得x=2．……第五步
排名
球队
积分
1
甲
6
2
乙
4
3
丙
4
4
丁
起步价/元
限定里程/km
超限定里程（元/km）
甲
108
80
3
乙
180
100
2
第一次
第二次
甲种货车辆数（辆）
2
5
乙种货车辆数（辆）
3
6
累计运货吨数（吨）
15.5
35
产品
展板
宣传册
横幅
制作一件产品所需时间（小时）
1
15
12
制作一件产品所获利润（元）
20
3
10