安徽省六安第一中学2024届高三质量检测数学试题（四）

这是一份安徽省六安第一中学2024届高三质量检测数学试题（四），共6页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

命题人：程学权 审题人：吴红云 卫根柱
时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（ ）
A． B．
C．D．
2．已知向量，，若，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
3．2024年“与辉同行”直播间开播，董宇辉领衔7位主播从“心”出发，其中男性5人，女性3人，现需排班晚8：00黄金档，随机抽取两人，则男生人数的期望为（ ）
A．B．C．D．
4．设函数，命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．已知在区间上的最大值是，则实数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
6．第七届国际数学大会（ICNE7）的会徽图案是由若干三角形组成的.如图所示，作，，，再依次作相似三角形，，，……，直至最后一个三角形的斜边与第一次重叠为止.则所作的所有三角形的面积和为（ ）
A． B． C．D．
7．若椭圆（）的离心率与双曲线（，）的离心率之
积为1，，分别是双曲线E的左、右焦点，M，N是双曲线E的左支上两点，且，，，A，F分别是椭圆C的左顶点与左焦点，，则椭圆C的方程为（ ）
A．B．C．D．
8．正四面体棱长为6，，且，以为球心且半径为1的球面上有两点，，，则的最小值为（ ）
A．24B．25C．48D．50
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知m，n是异面直线，，，那么（ ）
A．当，或时，
B．当，且时，
C．当时，，或
D．当，不平行时，m与不平行，且n与不平行
10．从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），画出频率分布直方图如图所示，记直方图中六个小矩形的面积从左到右依次为（，2，……，6），则（ ）
A．x的值为0.0044
B．这100户居民该月用电量的中位数为175
C．用电量落在区间内的户数为75
D．这100户居民该月的平均用电量为
11．已知，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．计算： ．
13．已知直线与均与相切，点在上，则的方程为 .
14．如图，将1，2，3，4四个数字填在6个“”中，每个“”中填一个数字，有线段连接的两个“”不能填相同数字，四个数字不必均使用，则不同的填数方法有 种．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
某学校有A，B两家餐厅，A餐厅有2种套餐选择，B餐厅有4种套餐选择，且这6种套餐各不相同．A餐厅距离教学楼相比于B餐厅要近很多，经调查发现，100名不同性别的学生选择餐厅用餐的情况如下：
依据的独立性检验，能否认为性别与选择餐厅之间有关联?
（2）用频率估计概率，求某天甲、乙两名同学选择同一套餐用餐的概率.
附：．
16．（本小题满分15分）
如图，三棱柱所有棱长均为，，侧面与底面垂直，、分别是线段、的中点．
（1）求证：；
（2）若点为棱上靠近的三等分点，求点到平面的距离．
17．（本小题满分15分）
记的内角的对边分别为.已知，点在边上，且.
（1）求证：；
（2）若，求.
18．（本小题满分17分）
已知函数．
（1）当时，证明：有且仅有一个零点；
（2）当时，恒成立，求a的取值范围；
（3）证明：．
19．（本小题满分17分）
已知抛物线的准线与圆相切．
（1）求C的方程；
（2）设点P是C上的一点，点A，B是C的准线上两个不同的点，且圆O是的内切圆．
①若，求点P的横坐标；
②求面积的最小值．
六安一中2024届高三年级质量检测卷
数学试卷（四）参考答案
1．B【详解】终边落在阴影部分的角为，，
即终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是．故选：B．
2．B
【详解】由题意得，因为，所以，
即，解得，所以，则，，
故在方向上的投影向量为，故选：B．
3．C【详解】设男生人数为，且，，，,则. 故选：C
4．A【详解】因为命题“，”是假命题，所以，恒成立，
则，对恒成立，
令，则二次函数的对称轴为直线，
要使得，恒成立，则，解得，
所以实数a的取值范围是.故选：A.
5．D【详解】
.
由于，即的值域为，
，即在处取得最小值，
而的最小正周期为，其一半为，则，
所以在上递增，且在处取得最大值，故的最小值为.故选：D
6．D
【详解】因为，设第三角形的斜边长为，面积为，
由题意可知：，，，
则，，可知数列是以首项，公比为的等比数列，
所以所作的所有三角形的面积和为.故选：D.
7．A
【详解】
由题，，又，，．
，直线MN过点，，，
，．
在中，．
设椭圆C的焦距为，离心率为，双曲线E的焦距为，离心率为，
在中，
，，，．
，，，，椭圆C的方程为.
故选：A．
8．D
【详解】因为正四面体的棱长为，所以，
同理可得,,
又因为以A为球心且半径为1的球面上有两点M，N，,所以，
由，则
因为，所以
当且仅当取等号，此时，
所以故的最小值为.故选：D
9．AB
【详解】A：当，时，；
当，时，，故A正确；
B：当，时，又为异面直线，所以，故B正确；
C：当时，由，得或与相交；
当时，由，得或与相交，故C错误；
D：当不平行时，可能或与，或与相交，故D错误.故选：AB
10．AD
【详解】对于A，由频率分布直方图的性质可知，，
解得，故A正确；
对于B，因为，，
所以中位数落在区间内，设其为，
则，解得，故B错误；
对于C，用电量落在区间，内的户数为，故C错误；
对于D，这100户居民该月的平均用电量为
，故D正确.故选：AD．
11．BCD
【详解】由，可得，又，所以，解得.
当时，，则，又，所以，
所以此时，故A错误；
令，则，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，即，由知，所以，所以，故正确；
由可得，可得（时取等号），因为，所以，所以，故C正确；
因为，所以.令，则，令，所以，令，所以，所以在上单调递增，所以，所以，所以在上单调递增，所以1，所以，故D正确.故选：BCD
12．
【详解】故答案为：.
13．
【详解】由于直线与平行，且均与相切，
两直线之间的距离为圆的直径，即，
又在上，所以为切点，
故过且与垂直的直线方程为，
联立，所以与相切于点，
故圆心为与的中点，即圆心为，故圆的方程为，
故答案为：
14．264
【详解】如图，计算不同填数方法有两类办法：
当用四个数字时，先填A，E，D，有种填法，再从B，F，C中选一处填第四个数，如B，再填F，
若F与D同，则C有2种填法，若F与D不同，则C有1种填法，于是得有种填法，
当用三个数字时，先填A，E，D，有种填法，再填B，有2种填法，则F，C各有1种填法，于是得有种填法，
利用分类加法计数原理得不同填数方法为：（种），
所以不同的填数方法共有264种.故答案为：264.
15． (1)依据的独立性检验，认为性别与选择餐厅之间有关联 (2)
【详解】
（1）根据数据可得方案一的列联表：
零假设为：认为性别与选择餐厅之间无关，
根据列联表中的数据，经计算得到，
依据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，即性别与选择餐厅之间有关，此推断犯错误的概率不大于0.005．
（2）由表中数据可得，选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率为，
设事件：甲乙去餐厅用餐，事件：甲乙去餐厅用餐，事件：甲乙选择同一种套餐，
事件A: 甲、乙两名同学选择同一套餐用餐,
,
则；
故甲乙两人选择同一家餐厅的概率为
16．(1)证明见解析 (2)
【详解】（1）连接，因为三棱柱所有棱长均为2，则为等边三角形，
因为为中点，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，可得，
由题设知四边形为菱形，则，
因为，分别为，中点，则，可得，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以；
（2）连接，因为，，所以为正三角形，所以，
又侧面与底面垂直，平面，侧面底面，
所以平面，所以，，两两垂直．
以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，，，
点为棱上靠近的三等分点，故，
可得，，，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，，可得，
所以点到平面的距离为；
17．(1)证明见解析； (2)
【详解】（1）设的外接圆半径为，由正弦定理得，
因为，，所以，
即，
所以；
（2）因为，如图，在中，①，
在中，②.
由①②得，整理得，
因为，所以，解得或.
当，时，（舍去）；
当，时，.所以.
18．(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析.
【详解】（1）当时，函数定义域为，则，
令，则在上恒成立，则在上单调递增，
则，即在上恒成立，在上单调递增，
而，，
所以根据零点存在定理知，有且仅有一个零点．
（2）当时，等价于，
令，求导得，令，
则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，
则，于是当时，，单调递增，
当时，，单调递减，因此，
所以a的取值范围为．
（3）由（2）可知，当时，有，则，
因此，
所以．
19．(1) (2)①3； ②
【详解】（1）因为圆O：的圆心为，半径，
由题意可知：抛物线C的准线为，可得，所以抛物线C的方程为.
（2）设，
可知直线，即，
因为直线与圆O相切，
则，整理得，
且，化简可得：，
同理可得：，
同构可知：是关于x的方程的两根，
则，
可得，
注意到点在抛物线C：上，则，则.
①若，整理得，
解得或（舍去），即点P的横坐标为3；
②因为点到准线的距离，
则面积，
设，则，
可得，
且，当且仅当时，等号成立，
所以，
所以面积的最小值为.男
女
在A餐厅用餐
40
20
在B餐厅用餐
15
25
男
女
合计
在A餐厅用餐
40
20
60
在B餐厅用餐
15
25
40
合计
55
45
100