2024年山东省临沂市罗庄区九年级中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：1．答题前，请先认真浏览试卷；然后按要求操作；
2．答题时，端正心态，认真审题，认真书写，规范作图，保持卷面整洁！
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 2024的倒数是（ ）
A. 2024B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解答本题的关键．根据乘积是1的两数互为倒数解答即可．
【详解】解：2024的倒数是；
故选：C．
2. 光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，1光年约为9500000000000千米．将9500000000000千米用科学记数法表示为（ ）
A. 千米B. 千米
C. 千米D. 千米
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可．
【详解】解：9500000000000千米千米；
故选D．
3. 如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘法，完全平方公式以及二次根式的性质，解题的关键是掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加；积的乘方，把每个因式分别乘方；完全平方公式以及；据此逐个判断即可．
【详解】解：A、，故A不正确，不符合题意；
B、，故B不正确，不符合题意；
C、，故C正确，符合题意；
D、，故D不正确，不符合题意；
故选：C．
5. 不透明的袋子中装有红、绿小球各两个，除颜色外四个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，不放回并摇匀，再从剩下的三个球中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先画树状图，从而可得两次摸球的所有等可能的结果，再找出第一次摸到红球、第二次摸到绿球的结果，然后利用概率公式求解即可得．
【详解】解：由题意，画树状图如下：

由图可知，两次摸球的所有等可能的结果共有12种，其中，第一次摸到红球、第二次摸到绿球的结果有4种，
则第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率为，
故选：B．
【点睛】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．
6. 如图，是一个长方体的三视图，若其俯视图为正方形，则这个长方体的高和底面边长分别为（ ）
A. 3，3B. 2，2C. 2，3D. 3，2
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要是考查三视图的基本知识．解决本题的关键是理解长方体的三视图．由主视图所给的图形可得到俯视图的对角线长为，利用勾股定理可得俯视图的边长，根据主视图可以得出高．
【详解】解：设俯视图的正方形的边长为a，
∵其俯视图为正方形，正方形的对角线长为，
∴a2+a2=（2）2，
解得：，负值舍去，
根据主视图可知这个长方体的高为3．
故选：D．
7. 如图，是等边三角形，以点B为圆心，任意长为半径画弧，交于点E、F．再分别以E、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D．连接交于点G，度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由作图方法可知，是的垂直平分线，则根据等边三角形的性质可得．
【详解】解：由作图方法可知，是的垂直平分线，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的尺规作图，灵活运用所学知识是解题的关键．
8. 如图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面直径AB的长度是（ ）
A. 2cmB. 2.5cmC. 3cmD. 4cm
【答案】C
【解析】
【分析】高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果．
【详解】解：如图：过O作OM⊥CD，垂足为M，过O作ON⊥AB，垂足为N，
∵CD∥AB，
∴△CDO∽ABO，即相似比为，
∴，
∵OM=15-7=8（cm），ON=11-7=4（cm），
∴，
∴AB=3cm，
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质．
9. 如图，两个半径长均为1的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，扇形的圆心C是的中点，且扇形绕着点C旋转，半径交于点G，半径交于点H，则图中阴影面积等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据扇形面积公式求出两扇形面积，再过C分别作于M，于N，连接，再证明，可证得白色部分的面积等于对角线为的正方形得面积，进而可求得阴影部分的面积．
【详解】∵两个直角扇形的半径长均为1，
∴两个扇形面积和为，
过C分别作于M，于N，连接，则四边形是矩形，
∵C是的中点，
∴，即平分，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴白色部分的面积等于对角线为的正方形的面积，
∴空白部分面积为，
∴阴影部分面积为，
故选：A．
【点睛】本题考查扇形面积公式、圆的有关性质、角平分线的性质、正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟记扇形面积公式，熟练掌握角平分线的性质定理和全等三角形的判定与性质，求出空白部分面积是解答的关键．
10. 如图，中，，正方形的顶点D、F分别在边上，C、D两点不重合，设的长度为x，与正方形重叠部分的面积为y，则下列图象能表示y与x之间的函数关系的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，动点问题的函数图象，分类讨论：当时，根据正方形的面积公式得到；当时，交于，交于，利用重叠的面积等于正方形的面积减去等腰直角三角形的面积得到，配方得到，然后根据二次函数的性质对各选项进行判断．
【详解】解：当点E恰好在上时，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵中，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴当时，正方形与的重叠部分即为正方形，则；
当时，交于，交于，如图，
，则，
同理可证明为等腰直角三角形，
，，
∴是等腰直角三角形，
，
，
，
∴，
故选：A．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 要使式子有意义，则a的取值范围为_____________________．
【答案】a≥－2且a≠0
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件可得关于a的不等式组，解不等式组即得答案.
【详解】根据题意得：，解得：a≥－2且a≠0.
故答案为a≥－2且a≠0.
【点睛】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，属于基础题型，掌握基本知识是解题的关键.
12. 关于x的分式方程的解为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法和步骤．
先去分母，将分式方程化为整式方程，再进行解答，最后检验即可．
【详解】解：，
去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
检验：当时，，
∴是原分式方程解．
故答案为：．
13. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解，先提取公因数2，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
14. 如图，将菱形纸片沿过点C的直线折叠，使点D落在射线上的点E处，折痕交于点P．若，则的长等于 _____________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握菱形和折叠的性质，正确画出辅助线，构造直角三角形求解．过点A作于点F，根据折叠所得，从而把转化为两个直角三角形，进而解决问题．
【详解】解：过点A作于点F，
∵四边形是菱形，
，，
，
由折叠可知：，
，
在中，，
，
在中，，
，
∴，
故答案为：．
15. 如图，小红家购置了一台圆形自动扫地机，放置在屋子角落（书柜、衣柜与地面均无缝隙）．在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能自动从底座脱离后打扫全屋地面．若这台扫地机能从角落自由进出，则图中的x至少为_______（精确到个位，参考数据：）．

【答案】
【解析】
【分析】先建立直角三角形，利用勾股定理解决实际问题．
【详解】解：如图过点A、B分别作墙的垂线，交于点C，
则，，
在中，，
即
∵这台扫地机能从角落自由进出，
∴这台扫地机的直径不小于长，
即最小时为，
解得：（舍），，
∴图中的x至少为，
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，构造直角三角形是解题的关键．
16. ．如图一段抛物线：，记为，它与轴交于点和；将绕旋转得到，交轴于；将绕旋转得到，交轴于，如此进行下去，直至得到，若点在第11段抛物线上，则m的值为 _____．
【答案】或32
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用点的变化确定函数图象的变化更简便，旋转性质，平移的规律：左加右减，上加下减．求出抛物线与轴的交点坐标，根据旋转性质，得出抛物线的形状大小不变，相当于把抛物线向右平移得出抛物线、抛物线……，同理把抛物线向右平移得出抛物线、抛物线……，然后求出到抛物线平移的距离，表示出抛物线的解析式，然后把点的坐标代入计算即可得解．
【详解】解：令，则，
解得，，
，
∵11是奇数
∴由图可知，抛物线在轴上方，
相当于抛物线向右平移个单位，
抛物线的解析式为，
∵在第11段抛物线上，
解得或32
故答案为：或32．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17. （1）计算： ；
（2）解不等式组：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】此题考查了实数的混合运算、求不等式组的解集，熟练掌握运算法则和一元一次不等式组的解法是解题的关键．
（1）利用指数幂、特殊角的三角函数值、乘方和绝对值进行计算即可；
（2）求出每个不等式的解集，取其公共部分即可．
【详解】（1）原式＝
；
（2）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
所以不等式组的解集：．
18. 创建文明城市，构建美好家园．为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购A，B两种型号的新型垃圾桶．若购买3个A型垃圾桶和4个B型垃圾桶共需要580元，购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元．
（1）求两种型号垃圾桶的单价；
（2）若需购买A，B两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15000元，至少需购买A型垃圾桶多少个？
【答案】（1）A，B两种型号的单价分别为60元和100元
（2）至少需购买A型垃圾桶125个
【解析】
【分析】（1）设两种型号的单价分别为元和元，然后根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）设购买A型垃圾桶个，则购买A型垃圾桶个，根据题意列出一元一次不等式并求解即可．
【小问1详解】
解：设A，B两种型号的单价分别为元和元，
由题意：，
解得：，
∴A，B两种型号的单价分别为60元和100元；
【小问2详解】
设购买A型垃圾桶个，则购买B型垃圾桶个，
由题意：，
解得：，
∴至少需购买A型垃圾桶125个．
【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，理解题意，找准数量关系，准确建立相应方程和不等式并求解是解题关键．
19. 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼的顶部B处的俯角为，长为米．已知目高为米．

（1）求教学楼的高度．
（2）若无人机保持现有高度沿平行于的方向，以米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线．
【答案】（1）教学楼的高度为米
（2）无人机刚好离开视线的时间为12秒
【解析】
【分析】（1）过点B作于点G，根据题意可得：，米，，通过证明四边形为矩形，得出米，进而得出米，最后根据线段之间的和差关系可得，即可求解；
（2）连接并延长，交于点H，先求出米，进而得出，则，则米，即可求解．
【小问1详解】
解：过点B作于点G，
根据题意可得：，米，，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴米，
∵，，
∴，
∴，
∴米，
∵长为米，
∴（米），
答：教学楼的高度为米．
小问2详解】
解：连接并延长，交于点H，
∵米，米，
∴米，
∵米， ，
∴，
∴，米，
∴（米），
∵无人机以米/秒的速度飞行，
∴离开视线的时间为：（秒），
答：无人机刚好离开视线的时间为12秒．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤．
20. 为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了以“学习百年党史，汇聚团结伟力”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成五个等级，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：
（1）本次调查一共随机抽取了_________名学生的成绩，频数分布直方图中__________；
（2）补全学生成绩频数分布直方图；
（3）所抽取学生成绩的中位数落在________等级；
（4）若成绩在80分及以上为优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀的学生有多少人?
【答案】（1）200，16；（2）见解析；（3）；（4）940人
【解析】
【分析】（1）B等级人数40人÷B等级的百分比为20%， 利用抽查人数-其它各组人数即可；
（2） C等级200×25%=50人，m=16即可补全频率分布直方图：
（3）根据中位数定义即可求即；
（4）成绩80分以上的在D、E两等级中人数占抽样的百分比47%乘以学生总数即可．
【详解】解：（1）B等级人数40人，由扇形图可知B等级的百分比为20%，
∴本次调查一共随机抽取了40÷20%=200名学生的成绩，C等级200×25%=50人
∴m=200-40-50-70-24=16
故答案为：200，16；
（2） C等级200×25%=50人，m=16,
补全频率分布直方图如图所示：
（3）频率分布直方图已将数据从小到大排序，一共抽查200个数据，根据中位数定义中位数位于第100，101两位置上成绩的平均数，16+40=56100，16+40+50=106101,
∴中位数在等级内；
故答案为：C
（4）成绩80分以上的在D、E两等级中人数为：70+24=94人，占抽样的百分比为94÷200×100%=47%，
全校共有2000名学生，成绩优秀的学生有（人）．
答：全校2000名学生中，估计成绩优秀学生有940人．
【点睛】本题考查频率分布直方图和扇形图获取信息，样本容量，补画频率分布直方图，中位数，用样本的百分比含量估计总体中的数目等知识，熟练掌握上述知识是关键．
21. 如图，一次函数y＝x+5的图象与反比例函数（k为常数且k≠0）的图象交于A（﹣2，a），B两点，与x轴交于点C．
（1）求此反比例函数的表达式；
（2）若点P在x轴上，且S△ACP＝S△BOC，求点P的坐标．
（3）直接写出x+5﹣＜0的解集．
【答案】（1）
（2）P（﹣）或（）
（3）x＜﹣3或﹣2＜x＜0
【解析】
【分析】（1）将A点坐标代入，即可求出a的值，即得出A点坐标．再将A点坐标代入中，求出k的值，即求出反比例函数解析式；
（2）联立两个解析式即得出B点坐标．对于，当时，求出x的值，即得出C点坐标．设P（x，0），根据，即可列出关于x的等式，解出x即得出P点坐标；
（3）根据解析式和不等式可知：求的解集，即找出的图象在下方时的x的取值范围即可．
【小问1详解】
将点A(-2，a)代入，得，
∴A(-2，3)，
将A(-2，3)代入，得，
∴反比例函数的表达式为；
【小问2详解】
联立，
解得：或．
∴B(-3，2)，
对于，当时，即，
解得：，
∴C(-5，0)，
设P（x，0），
∵，，
∴．
解得或，
∴P或；
【小问3详解】
由，得：．
由不等式和两个函数的解析式可知：求，即找出的图象在的下方时x的取值范围即可．
由图象和所求出的B点和A点坐标可知：当或时，的图象在的下方，
∴的解集为：或．
【点睛】本题考查反比例函数和一次函数的综合，反比例函数与三角形的综合．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
22. 筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹简，旋转时低则舀水，高则泻水．如图，水力驱动筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至A处，水沿射线方向泻至水渠，水渠所在直线与水面平行；设筒车为，与直线PQ交于P，Q两点，与直线DE交于B，C两点，恰有，连接．
（1）求证：为的切线；
（2）若筒车的半径为，．当水面上升，A，O，Q三点恰好共线时，求此时筒车中心O到水面的距离（精确到，参考值：）．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，解直角三角形等等：
（1）连接 并延长交 于，根据为的直径可以得到 ，继而得到 ，根据可证，可以得到，利用等量代换即可证明为的切线；
（2）根据，解出 ，根据 为的直径得到 ，进而得出，，又根据 得出，故可得到 ，过作交于，交PQ于E，于是在等腰中，根据锐角三角函数求出长即可．
【小问1详解】
证明：连接 并延长交 于，连接BM，
为的直径，
，
，
，
，
又∵，
，
，
又，
，
，
为的切线；
【小问2详解】
解：，，，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
过作交于，交PQ于E，
为等腰直角三角形，
，
，
．
23. 乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度为的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：）．测得如下数据：

（1）①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是 ，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是 ；
②求满足条件的抛物线解析式；
（2）技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长为，球网高为．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度的值约为．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计）．
【答案】（1）①；；②
（2）乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数图象的平移；
（1）①根据二次函数图象的对称性求得对称轴以及顶点，根据表格数据，可得当时，；
②待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意，设平移后的抛物线的解析式为，根据题意当时，，代入进行计算即可求解．
【小问1详解】
①观察表格数据，可知当和时，函数值相等，则对称轴为直线，顶点坐标为，
又抛物线开口向下，可得最高点时，与球台之间的距离是，
当时，，
∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是；
故答案为：；．
②设抛物线解析式为，将代入得，
，
解得：，
∴抛物线解析式为；
【小问2详解】
∵当时，抛物线的解析式为，
设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为，则平移距离为，
∴平移后的抛物线的解析式为，
依题意，当时，，
即，
解得：．
答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为．
24. 综合与实践
【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形中，E是中点，，与正方形的外角的平分线交于P点． 试猜想与的数量关系，并加以证明；
（1）【思考尝试】
同学们发现，取的中点F，连接可以解决这个问题． 请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．
（2）【实践探究】
希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形中，E为边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接，可以求出的大小，请你思考并解答这个问题．
（3）【拓展迁移】
突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，E为边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接．知道正方形的边长时，可以求出周长的最小值． 当时，请你求出周长的最小值．
【答案】（1），见解析；（2）；（3）．
【解析】
【分析】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，轴对称﹣最短路线问题，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识．
（1）取的中点F，连接，利用同角的余角相等说明，再根据证明，得；
（2）在上取，连接，由（1）同理可得，则，再说明是等腰直角三角形即可得出答案；
（3）作，交的延长线于G，交于O，连接，则是等腰直角三角形，可知点D与G关于对称，则的最小值为的长，利用勾股定理求出，进而得出答案．
【详解】解：（1），
理由如下：如图，取的中点F，连接，
、E分别为、的中点，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）如图，在上取，连接，
由（1）同理可得，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
；
（3）作，交BC的延长线于G，交CP于O，连接AG，
由（2）知，，
，
是等腰直角三角形，
点D与G关于对称，
的最小值为的长，
，
，
由勾股定理得，
周长的最小值为．
等级
成绩
水平距离 /
竖直高度 /