陕西省渭南市临渭区部分学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 下列各式中，是不等式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的定义：用不等号连接的式子叫不等式，直接逐个判断即可得到答案；
【详解】解：A选项是等式，不符合题意，
B选项是不等式，符合题意，
C选项是整式，不符合题意，
D选项是等式，不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查不等式的定义：用不等号连接的式子叫不等式．
2. 用提公因式法分解因式时，应提取的公因式是（ ）
A. 2x2y4B. 8x4y2C. 8x2y4D. 2x2y2
【答案】D
【解析】
【分析】根据公因式的确定方法：系数取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；即可得出答案．
【详解】解：提公因式法分解因式时，应提取的公因式是2x2y2．
故选D
【点睛】本题考查提公因式法因式分解，理解公因式的概念是解题的关键．
3. 如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（ ）
A. 点A与点是对称点B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的性质，逐项进行判断即可．
【详解】解：∵与关于点O成中心对称，
∴点A与是一组对称点，，，故A，B，C都不合题意．
∵与不是对应角，
∴与不一定相等，不成立，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了中心对称性质，熟练掌握成中心对称的两个图形，对应点的连线被对称中心平分，对应角相等，对应线段相等，是解题的关键．
4. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出不等式的解集，再进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
数轴表示如图：
故选D．
【点睛】本题考查用数轴表示不等式的解集．正确的求出不等式的解集，是解题的关键．
5. 如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，添加下列条件后仍不能判定△ABC与△ADC全等的是（ ）
A. AB＝ADB. ∠ACB＝∠CADC. AB＝BCD. ∠BAC＝∠DAC
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形全等的判定定理逐项分析即可
【详解】∠B＝∠D＝90°，；
A. ，结合已知条件，可用“HL”，判断，不符合题意；
B. ，结合已知条件，可用“AAS”，判断，不符合题意；
C. AB＝BC，为同一个三角形两条边，不能判断，符合题意；
D. ，结合已知条件，可用“AAS”，判断，不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
6. 如图所示，在中，平分，上于点，，，，则的长是（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得边上的高，再由，即可得解．
【详解】解：作于F，如图：
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
7. 如图，可以得出不等式组的解集是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据图象找出直线在x轴上方部分的x的取值范围，在x轴下方部分的x的取值范围，进而可得不等式组的解集．
【详解】解：由图象可知，的解集为
的解集为
∴不等式组的解集是：．
故选B．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系．正确理解题意、读懂图象的信息是解题的关键．
8. 如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由旋转的性质可知，，进而得出为等边三角形，进而求出．
【详解】解：∵
由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可知，
∴cm，
又∠CAB=90°-∠ABC=90°-30°=60°，
由旋转的性质可知：，且，
∴为等边三角形，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，旋转的性质等，熟练掌握其性质是解决此类题的关键．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了综合运用提公因式和公式法分解因式，首先提取公因式，然后再用平方差公式进行因式分解．
【详解】解：，
故答案为：．
10. 在平面直角坐标系中，将点先向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到点，则点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形的平移，根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减，计算即可得解．
详解】解：∵点)向下平移3个单位长度后，再向右平移2个单位长度，
∴，，
∴点 N的坐标为，
故答案为：．
11. 如图，在△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF＝4，CF＝1，则AC的长为_____．
【答案】5
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线得到AF＝BF＝4，即可求出AC＝AF+CF＝4+1=5．
【详解】解：∵EF是AB的垂直平分线，BF＝4，
∴AF＝BF＝4，
∴AC＝AF+CF＝4+1＝5，
故答案为：5．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
12. 若不等式组的解集中共有3个整数解，则的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解，最后根据其有3个整数解求出的取值范围．
【详解】解：，
由①得，
由②得，
不等式的解集为，
关于的不等式组的解集共有3个整数解，
这3个数为0，，，
即．
故答案为：．
【点睛】本题考查不等式组的解法、整数解的确定．求不等式组的解集，解题的关键是应遵循以下原则：同大取大，同小取小，小大大小中间找，大大小小解不了．
13. 如图，在四边形中，，则的长为 ___．
【答案】4
【解析】
【分析】延长交于点E，利用等角对等边得，再利用含角的直角三角形的性质可得答案．
【详解】解：延长交于点E，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定，含角的直角三角形的性质等知识，作辅助线构造特殊的三角形是解题的关键．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14. 因式分解：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了多项式的因式分解，利用完全平方公式进行因式分解，即可求解．
【详解】解：．
15. 解不等式组．
【答案】
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找即可确定不等式组的解集．
【详解】解： ，
由①得：；
由②得：.
所以原不等式组的解集为．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础.熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”．
16. 如图，是边的延长线上一点，．求证：点在的垂直平分线上．
【答案】见解析．
【解析】
【分析】题考查了三角形的外角性质，线段垂直平分线的判定，由三角形的外角性质得到，结合已知推出，得到，即可得到结论．
【详解】证明：∵，，
∴，
∴，
∴点E在的垂直平分线上．
17. 如图，在中，，，，以为边作正方形，求正方形的面积．
【答案】29
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理求出即可求出正方形的面积．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∴正方形的面积是29．
18. 如图，已知，请用尺规作图的方法在上求作一点P，使得点P到A的距离最短．（不写作法，保留作图痕迹）

【答案】见解析
【解析】
【分析】根据垂线段最短，只须过点A作于点P，则点P即为所求．
【详解】如图，根据垂线段最短，只须过点A作于点P，

则点P即为所求．
【点睛】本题考查了垂线段最短，垂线的尺规作图，熟练掌握尺规作图是解题的关键．
19. 试用因式分解的方法证明：两个连续的奇数的平方之差一定能被8整除．
【答案】见解析
【解析】
【分析】设两个连续的奇数分别为、，其中为正整数，列式计算出两个连续奇数的平方之差即可得出结论．
【详解】解：设两个连续的奇数分别为、，其中为正整数，
则，
，且n为整数，
两个连续的奇数的平方之差一定能被8整除．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，设两个连续的奇数分别为、，其中为正整数是解题的关键．
20. 已知不等式的最小整数解是关于x的方程的解，求m的值．
【答案】4
【解析】
【分析】解不等式求得它的解集，从而可以求得它的最小整数解，然后代入方程方程，从而可以得到m的值．
【详解】解：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
∴，
∴最小整数解为-3，
把x=-3代入，得：，
解得：m=4．
【点睛】本题考查一元一次不等式整数解、一元一次方程的解，解题的关键是明确一元一次不等式的解法和一元一次方程的解法．
21. 如图，是边长为的等边三角形，将沿直线平移到的位置，连接，求平移的距离和的长．
【答案】平移距离为2；
【解析】
【分析】根据题意：是边长为的等边三角形，沿直线平移到的位置，得出平移的距离，再根据平移的性质，得出，再根据等边对等角，得出，再根据平移的性质，得出也是边长为2的等边三角形，再根据等边三角形的性质，得出，再利用三角形的外角性质，得出的度数，再利用等腰三角形的性质，得出，再利用角的关系，得出，再利用勾股定理，即可得出的长．
【详解】解：∵沿直线平移到的位置，
∴点平移后的对应点为点，
∴平移距离为，
∵是边长为的等边三角形，
∴平移的距离为：，
∴，
∴，
又∵是由平移得到，
∴也是边长为2的等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，
又∵，，
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、平移的性质、勾股定理，熟练掌握平移的性质是解本题的关键．平移的性质：1、平移不改变图形的大小和形状；2、对应点连线平行（或在同一条直线上）且相等；3、对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等．
22. 某公司保安部去商店购买同一品牌的应急灯和手电筒，查看定价后发现，购买一个应急灯和5个手电筒共需50元，购买3个应急灯和2个手电筒共需85元
(1)求出该品牌应急灯、手电筒的定价分别是多少元？
(2)经商谈，商店给予该公司购买一个该品牌应急灯赠送一个该品牌手电筒的优惠，如果该公司需要手电筒的个数是应急灯个数的2倍还多8个，且该公司购买应急灯和手电筒的总费用不超过670元，那么该公司最多可购买多少个该品牌应急灯？
【答案】（1）购买该品牌手电筒的定价是5元，购买台灯的定价是25元；（2）该公司最多可购买21个该品牌的应急灯．
【解析】
【分析】（1）设该品牌应急灯的定价是x元，手电筒的定价是y元 ，根据题中所给数量关系列出方程组 ，解此方程组即可得到所求答案；
（2）设公司购买应急灯的个数为a，则还需要购买手电筒的个数是（2a+8），结合（1）和题中所给数量关系可列出不等式25a+5（2a+8﹣a）≤670，解此不等式即可求得所求答案．
【详解】解：（1）设该品牌应急灯的定价是x元，手电筒的定价是y元 ，根据题意得
，
解得．
答：购买该品牌手电筒的定价是5元，购买台灯的定价是25元；
（2）设公司购买应急灯的个数为a，则还需要购买手电筒的个数是（2a+8），
由题意得：25a+5（2a+8﹣a）≤670，
解得a≤21．
答：该公司最多可购买21个该品牌应急灯．
23. 在中，，平分，交于点D，．
（1）如图1，求的度数；
（2）如图2，E是的中点，连接并延长，交的延长线于点F，连接AF．求证：．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）设，根据等边对等角和角平分线推出，，利用三角形内角和列方程求出x，可得；
（2）依据E是的中点，即可得到，，可得垂直平分，进而得出，依据，即可得到，再根据，可得，进而得到，从而证明结论．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
设，∵平分，
∴，，
在中，，
解得：，
∴；
【小问2详解】
∵E是的中点，，
∴，即；
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，解决问题的关键是综合运用等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，三角形外角的性质．
24. 定义运算：当时，；当时，；如：；；，根据该定义运算完成下列问题：
（1）______，当时，______；
（2）若，求x的取值范围；
（3）如图，已知直线与相交于点，若，结合图象，直接写出x的取值范围是______．
【答案】（1），
（2）；
（3）
【解析】
【分析】（1）由定理可知：的值就是取和1的较小值，即；同理可得另一个式子的结果；
（2）由定义列不等式解出即可；
（3）根据图象可知：当，．
【小问1详解】
解：，当时，；
故答案为：，；
【小问2详解】
解：由题意得：，
整理得，
解得；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
由图象得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与不等式以及新定义的理解，此类题目要认真阅读并理解新定义的内含：结果取最小值，第三问利用数形结合的思想求解更简便．
25. （1）如图1，在中，，，点，在上，．为了探究，，之间的等量关系，现将绕点顺时针旋转90°得到，连接．经探究，，，之间的等量关系式是_______．（无需证明）
（2）如图2，在中，，，点，在上，，．试仿照（1）的方法，利用图形的旋转变换，探究，，之间的等量关系，并证明你的结论．
【答案】（1），（2），见解析．
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的证明及勾股定理的运用．
（1）将绕A顺时针旋转90°后成，可证，故，旋转角，又，故，易证，故，因为中，，，所以，从而可得，在中，由勾股定理得线段，，之间的等量关系式；
（2）方法同（1），由可得，故，斜边，直角边，由勾股定理建立等量关系即可得答案．
【详解】（1）将绕A顺时针旋转90°后成，连接，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，
∴；
故答案为：；
（2）．
证明：将绕点A顺时针旋转得到，连接．
由旋转的性质可得，
∴，，．
∴．
又∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∵，
∴，故．
在中，由勾股定理，得
，
∴．
26. 如图，边长为的等边中，点、分别是边、上的动点端点除外，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，连接，交于点，在点，运动的过程中．
（1）求证：；
（2）的大小是否发生变化？若无变化，求的度数；若有变化，请说明理由；
（3）连接，当点，运动多少秒时，是直角三角形？
【答案】（1）见解析；
（2）的大小不发生变化，；
（3）秒或秒
【解析】
【分析】（1）利用等边三角形的性质根据证明；
（2）利用全等三角形的性质证明即可；
（3）设点，运动秒时，分两种情况：①当时，由，即，解得；②当时，由，即，解得．
【小问1详解】
证明：∵是等边三角形，
∴，，
在和中，
∴（）；
【小问2详解】
解：的大小不发生变化，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
【小问3详解】
解：设点，运动秒时，是直角三角形，
分两种情况：
①当时，
∵，
∴，
∴，即，
解得；
②当时，
∵，
∴，
∴，即，
解得；
综上，点，运动秒或秒时，是直角三角形．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，直角三角形度角的性质，熟记等边三角形的性质及全等三角形的判定定理是解题的关键，题中还考查了分类思想解决问题．