77，广西壮族自治区钦州市浦北县浦北中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题

这是一份77，广西壮族自治区钦州市浦北县浦北中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（满分150分 考试时间120分钟）
姓名________班别________考号________得分________
一、单选题（每题5分，共40分）
1. 每天从甲地到乙地的飞机有5班，高铁有10趟，动车有6趟，公共汽车有12班.某人某天从甲地前往乙地，则其出行方案共有（ ）
A. 22种B. 33种C. 300种D. 3 600种
【答案】B
【解析】
【分析】利用分类加法计数原理计算即得.
【详解】从甲地到乙地不同的方案数为.
故选：B.
2. 在展开式中，常数项是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由二项式定理得展开通项并整理，令，求出回代到展开通项即可求解.
【详解】的展开式通项为，
由题意令，解得，从而常数项是.
故选：A.
3. 已知随机变量，分别满足二项分布，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】由二项分布的方差公式求出，再由充分条件和必要条件的定义求解即可.
【详解】因为，，
所以，
所以，则，
若，则.
所以“”是“”的充要条件.
故选：C.
4. 将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放2个小球，则不同放法的种数为（ ）
A. 3B. 6C. 10D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】对每个盒子放入2个球，再看余下2个球的去向即可得解.
【详解】依题意，每个盒子放入2个球，余下2个球可以放入一个盒子有种方法，放入两个盒子有种方法，
所以不同放法的种数为.
故选：B
5. 在2023年成都“世界大学生运动会”期间，组委会将甲，乙，丙，丁四位志愿者分配到三个场馆执勤，若每个场馆至少分到一人，且甲不能被分配到场馆，则不同分配方案的种数是（ ）
A. 48B. 36C. 24D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】分甲单独一人执勤一个场馆和甲和另一个人一起执勤一个场馆两种情况求解即可.
【详解】分两种情况：第一种情况，甲单独一人执勤一个场馆，共有种；
第二种情况，甲和另一个人一起执勤一个场馆，共有种，则共有24种.
故选：C
6. 小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（ ）
A. 48B. 32C. 24D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解.
【详解】1与4相邻，共有种排法，
两个2之间插入1个数，
共有种排法，再把组合好的数全排列，共有种排法，
则总共有种密码．
故选：C
7. 某单位春节共有四天假期，但每天都需要留一名员工值班，现从甲、乙、丙、丁、戊、己六人中选出四人值班，每名员工最多值班一天.已知甲在第一天不值班，乙在第四天不值班，则值班安排共有（ ）
A. 184种B. 196种C. 252种D. 268种
【答案】C
【解析】
【分析】采用间接法可直接得到答案.
【详解】从甲、乙、丙、丁、戊、己六人中选出四人安排到假期的四天值班，一共有种方法；
甲在第一天值班有种方法；乙在第四天值班有种方法；
甲在第一天值班且乙在第四天值班有种方法；
因此从甲、乙、丙、丁、戊、己六人中选出四人值班，甲在第一天不值班，乙在第四天不值班共有种方法，
故选：C.
8. 泊松分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是泊松分布的均值．若随机变量服从二项分布，当很大且很小时，二项分布近似于泊松分布，其中，即，．现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则次品率小于的概率约为（参考数据：）（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用给定的信息，求出，再利用概率公式计算即得..
【详解】依题意， ，，泊松分布可作为二项分布的近似，
此时，则，
于是, ,，
所以次品率小于的概率约为.
故选：C
二、多选题（每题6分，共18分）
9. 某中药材盒中共有包装相同的10袋药材，其中甲级药材有4袋，乙级药材有6袋，从中不放回地依次抽取2袋，用A表示事件“第一次取到甲级药材”，用B表示事件“第二次取到乙级药材”，则（ ）
A. B.
C. D. 事件A，B相互独立
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于A，由古典概型概率计算公式验算即可；对于B，由条件概率公式即可验算；对于C，由全概率公式即可验算；对于D，由独立乘法公式即可验算.
【详解】对A，，故A正确；
对B，，故B正确；
对C，，故C正确；
对D，因，，所以事件A，B不相互独立，故D错误．
故选：ABC．
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 已知，则可能取值为6B. 已知，则可能取值为7
C. 在的展开式中，各项系数和为0D. 在的展开式中，各项系数和为29
【答案】BC
【解析】
【分析】对于选项A和选项B，根据组合数公式，计算求解即可判断；对于选项C和选项D，根据赋值法求解即可判断．
【详解】根据组合数公式，则或，
解得，经检验符合题意；故A错B对；
令，则的展开式中，各项系数和为0，故C对D错.
故选：BC
11. 下列说法中正确的是（ ）
A. 一组数据的第60百分位数为14
B. 某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生学习情况．用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为100的样本，则抽取的高中生人数为70
C. 若样本数据的平均数为10，则数据的平均数为3
D. 随机变量服从二项分布，若方差，则
【答案】BC
【解析】
【分析】由百分位数求解判断A，由分层抽样判断B，由平均值性质判断C，由二项分布性质判断D.
【详解】对A，，故第60百分位数为第6和第7位数的均值，故A错误；
对B，由题抽取的高中生抽取的人数为，故B正确；
对C， 设数据的平均数为，
由平均值性质可知：样本数据的平均数为，
解得，故C正确；
对D，由题意可知，解得或，
则或，故D错误.
故选：BC
三、填空题（每题5分，共15分）
12. 袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球.若每次抽取后都放回，设取到黑球个数为，则________，________.
【答案】 ①. ## ②. ##
【解析】
【分析】根据二项分布的知识求得正确答案.
【详解】依题意，每次取到黑球的概率为，
所以，所以.
故答案为：；
13. 某次排球比赛采用五局三胜制，在甲女排俱乐部与乙女排俱乐部的某场比赛中，甲女排俱乐部每局获胜的概率都为，则甲女排俱乐部最终不超过四局便赢得比赛的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】依题意可得甲女排俱乐部最终不超过四局便赢得比赛的情况包括连胜三局和前三局输一局且第四局获胜两种情况，分别计算出两概率再相加即可.
【详解】甲女排俱乐部最终不超过四局便赢得比赛的情况包括以下两种情况：
第一种：甲女排俱乐部经过三局便赢得比赛，则三局比赛均为甲女排俱乐部获胜，
其概率为；
第二种：甲女排俱乐部经过四局便赢得比赛，则前三局比赛中甲女排俱乐部赢两局输一局，第四局比赛甲女排俱乐部获胜；
其概率为，
综上可知，甲女排俱乐部最终不超过四局便赢得比赛的概率为.
故答案为：
14. 盒中装有5个大小、质地相同的小球，其中3个白球和2个黑球．两位同学先后轮流不放回摸球，每次摸一球，当摸出第二个黑球时结束游戏，或能判断出第二个黑球被哪位同学摸到时游戏也结束．设游戏结束时两位同学摸球的总次数为，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】分析出游戏结束时两位同学摸球的情形，求解即可.
【详解】当时，游戏结束时两位同学摸球的情况为：白黑黑，黑白黑，白白白，
则.
故答案为：.
四、解答题（共77分）
15. 已知，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）2187
【解析】
【分析】（1）求即求的系数，利用通项公式求解；
（2）采用赋值法，令和，可解.
【小问1详解】
求即求的系数．
．
当，即项时，．
【小问2详解】
由展开式可知均正值，均为负值，
故
当时，，
当时，，
所以，
，
故．
16. 现有编号为，，的3个不同的红球和编号为，的2个不同的白球.
（1）若将这些小球排成一排，要求球排在正中间，且，不相邻，则有多少种不同的排法？
（2）若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则有多少种不同的放法？（注：请列出解题过程，结果用数字表示）
【答案】（1）16 （2）150
【解析】
【分析】（1）由特殊元素优先的原则，先排球，再排，两球，其余小球任意排；
（2）把5个小球分成3组，再进入3个盒子中.
【小问1详解】
将这些小球排成一排，要求球排在正中间，且，不相邻，
则先把安在正中间位置，从的两侧各选一个位置插入、，其余小球任意排，
方法有种.
【小问2详解】
将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，
则先把5个小球分成3组，再进入3个盒子中.
若按311分配，方法有种，
若按221分配，方法有种.
综上可得，方法共有种.
17. 某商场在开业当天进行有奖促销活动，规定该商场购物金额前200名的顾客，均可获得3次抽奖机会.每次中奖的概率为 ，每次中奖与否相互不影响. 中奖1次可获得100元奖金，中奖2次可获得300元奖金，中奖3次可获得500元奖金.
（1）已知，求顾客甲获得了300元奖金的条件下，甲第一次抽奖就中奖的概率.
（2）在（1）的条件下，已知该商场开业促销活动的经费为4.5万元，问该活动是否会超过预算? 请说明理由.
【答案】（1）
（2）不会，说明见解析
【解析】
【分析】（1）设顾客甲获得了300元奖金的事件为A，甲第一次抽奖就中奖的事件为B，求出、，根据条件概率的公式，即可求得答案；
（2）设一名顾客获得的奖金为X元，确定其可能的取值，求得每个值对应的概率，即可求出，从而求得200名顾客获得奖金的期望，与促销活动的经费比较，即得结论.
【小问1详解】
设顾客甲获得了300元奖金的事件为A，甲第一次抽奖就中奖的事件为B，
则，
，
故；
【小问2详解】
设一名顾客获得的奖金为X元，则X的取值可能为，
则，
，
，
，
则（元），
故，
故该活动不会超过预算.
18. 学生甲想加入校篮球队，篮球教练对其进行投篮测试．测试规则如下：①投篮分为两轮，每轮均有两次机会，第一轮在罚球线处，第二轮在三分线处；②若他在罚球线处投进第一球，则直接进入下一轮，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则进入下一轮，否则不预录取；③若他在三分线处投进第一球，则直接录取，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则录取，否则不予录取．已知学生甲在罚球线处投篮命中率为，在三分线处投篮命中率为．假设学生甲每次投进与否互不影响．
（1）求学生甲被录取的概率；
（2）在这次测试中，记学生甲投篮的次数为，求的分布列．
【答案】（1）
（2）分布列见解析
【解析】
【小问1详解】
记事件，表示“甲在罚球线处投篮，第次投进”，事件表示“甲在三分线处投篮，第次投进”．
则，，
设事件C表示“学生甲被录取”，则，
所以，
所以学生甲被录取的概率为.
【小问2详解】
由题分析知，的可能取值为2，3，4.
所以的分布列为
19. 某高校设计了一个实验学科的考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定至少正确完成其中2题才可提交通过．已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．
（1）分别写出甲、乙两位考生正确完成实验操作的题数的分布列，并计算均值；
（2）试从甲、乙两位考生正确完成实验操作的题数的均值、方差及至少正确完成2题的概率方面比较两位考生的实验操作能力．
【答案】（1）甲分布列见解析，；乙分布列见解析，；（2）答案不唯一，见解析.
【解析】
【分析】（1）由题意可知，甲、乙两位考生正确完成实验操作的题数分别服从超几何和二项分布，分别列出分布列，计算均值即可；
（2）结合分布列中的数据，分别计算对应的均值、方差及至少正确完成2题的概率比较即可.
【详解】（1）设考生甲正确完成实验操作的题数为，则的取值范围是．
，，，
所以的分布列为
．
设考生乙正确完成实验操作的题数为，易知，
所以，，
，．
所以的分布列为
．
（2）由（1），知，，
，，．所以，，
故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析，两人水平相当；从正确完成实验操作的题数的方差方面分析，甲的水平更稳定；从至少正确完成2题的概率方面分析，甲通过的可能性更大．因此甲的实验操作能力较强．
2
3
4
1
2
3
0
1
2
3