87，江苏省2024届高三下学期江苏七市二模考后提升卷数学模拟训练一

这是一份87，江苏省2024届高三下学期江苏七市二模考后提升卷数学模拟训练一，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（本题5分）已知向量a，b满足a+b=a=2b=2，则csa,b=（ ）
A．−14B．14C．−13D．13
2．（本题5分）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P,M,N分别为AB,BB1,DD1的中点，则与平面MNP垂直的直线可以是（ ）
A．A1BB．A1DC．AC1D．A1C
3．（本题5分）有一组数据：1,1,2,2,3,3,4,4,4,4，去掉该组中的一个数据，得到一组新的数据.与原有数据相比，无论去掉哪个数据，一定变化的数字特征是（ ）
A．平均数B．众数C．中位数D．极差
4．（本题5分）已知函数f(x)=lg2(2−x),x16，y>0，且x+y=13，则16x−1+6y的最小值是（ ）
A．43B．49C．39D．36
6．（本题5分）已知函数fx=ax−xlnx与函数gx=ex−1的图像上恰有两对关于x轴对称的点，则实数a的取值范围为（ ）
A．−∞,1−eB．−∞,1−e2C．−∞,1−eD．−∞,1−e2
7．（本题5分）焦点为F的抛物线C:y2=2px(p>0)的对称轴与准线交于点A，点B在抛物线C上且在第一象限，在△ABF中，3sin∠AFB=4sin∠FAB，则cs∠FBA=（ ）
A．−7+3212B．7−3212C．7+3212D．−7−3212
8．（本题5分）已知锐角αα≠50°满足3cs140°−α⋅csα+sin100°+α=sinα−20°，则cs2α=（ ）该试卷源自 每日更新，提供24小时找卷服务，全网性价比高。 A．13B．−13C．−33D．33
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（本题6分）某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数y=1x的图象是双曲线，设其焦点为M,N，若P为其图象上任意一点，则（ ）
A．y=−x是它的一条对称轴B．它的离心率为2
C．点2,2是它的一个焦点D．PM−PN=22
10．（本题6分）甲盒中有3个红球和2个白球，乙盒中有2个红球和3个白球．先从甲盒中随机取出一球放入乙盒，用事件E表示“从甲盒中取出的是红球”；用事件F表示“从甲盒中取出的是白球”，再从乙盒中随机取出一球，用事件G表示“从乙盒中取出的是红球”，则下列结论中正确的是（ ）
A．事件F与G是互斥事件B．事件E与事件G不相互独立
C．PG=1330 D．PG|E=12
11．（本题6分）已知定义域为R的函数fx满足f(x+y)=f(x)⋅f(y)−f(2−x)f(2−y)，且f0≠0,f−2=0，则（ ）
A．f2=1
B．fx是偶函数
C．[f(x)]2+[f(2+x)]2=1
D．f1+f2+f3+⋯+f2024=1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（本题5分）若复数z=10−5i2+i+3−4i，则z= ．
13．（本题5分）在△ABC中，AB=2,AC=3,∠A=60°，点D在线段BC上，BD=2DC，则AD= ．
14．（本题5分）在三棱锥P−ABC中，PB=PC=2PA=2，且∠APB=∠BPC=∠CPA,E,F分别是PC,AC的中点，∠BEF=90∘，则三棱锥P−ABC外接球的表面积为 ，该三棱锥外接球与内切球的半径之比为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题13分）中国职业篮球联赛（CBA联赛）分为常规赛和季后赛．由于新冠疫情关系，今年联赛采用赛会制：所有球队集中在同一个地方比赛，分两个阶段进行，每个阶段采用循环赛，分主场比赛和客场比赛，积分排名前8的球队进入季后赛．季后赛的总决赛采用五场三胜制（“五场三胜制”是指在五场比赛中先胜三场者获得比赛胜利，胜者成为本赛季的总冠军）．下表是A队在常规赛60场比赛中的比赛结果记录表．
(1)根据表中信息，是否有90%的把握认为比赛的“主客场”与“胜负”之间有关？
(2)已知A队与B队在季后赛的总决赛中相遇，假设每场比赛结果相互独立，A队除第五场比赛获胜的概率为12外，其他场次比赛获胜的概率等于A队常规赛60场比赛获胜的频率．记X为A队在总决赛中获胜的场数．求X的分布列和期望EX．
附：K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d．
16．（本题15分）已知定义在0,π上的函数fx=cs2x+sinx．
(1)求fx的极大值点；
(2)证明：对任意x∈0,1，fx>14x4−x2+1．
17．（本题15分）如图，在四棱锥P−ABCD中，AD⊥平面PAB,AB ∥ DC,E为棱PB的中点，平面DCE与棱PA相交于点F，且PA=AB=AD=2CD=2，再从下列两个条件中选择一个作为已知.
条件①：PB=BD；条件②：PA⊥BC.
(1)求证：AB ∥ EF；
(2)求点P到平面DCEF的距离；
(3)已知点M在棱PC上，直线BM与平面DCEF所成角的正弦值为23，求PMPC的值.
18．（本题17分）已知an为等差数列，前n项和为Tn，若T4=4T2,a2n=2an+1.
(1)求an；
(2)对任意的m∈N*，将an中落入区间2m,22m内项的个数记为bm.
①求bm；
②记cm=222m−1−bm, cm的前m项和记为Tm，是否存在m,t∈N*，使得Tm−tTm+1−t=1ct+1成立？若存在，求出mt的值；若不存在，请说明理由.
19．（本题17分）由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果椭圆C1的“特征三角形”为△1，椭圆C2的“特征三角形”为△2，若△1∽△2，则称椭圆C1与C2“相似”，并将△1与△2的相似比称为椭圆C1与C2的相似比．已知椭圆C1：x22+y2=1与椭圆C2：x2a2+y2b2=1a>b>0相似．
(1)求椭圆C2的离心率；
(2)若椭圆C1与椭圆C2的相似比为λλ>0，设P为C2上异于其左、右顶点A1，A2的一点．
①当λ=22时，过P分别作椭圆C1的两条切线PB1，PB2，切点分别为B1，B2，设直线PB1，PB2的斜率为k1，k2，证明：k1k2为定值；
②当λ=2时，若直线PA1与C1交于D，E两点，直线PA2与C1交于M，N两点，求DE+MN的值．
参考答案：
1．A
【详解】由a+b=2，得a2+2a⋅b+b2=4，又a=2b=2，解得a⋅b=−12，
于是csa,b=a⋅bab=−14．
故选：A.
2．D
【详解】
连接AB1,B1D1,AD1,A1C1,AC，如下图所示：
因为P,M,N分别为AB,BB1,DD1的中点，故MP//AB1，B1D1//MN，
又MP⊄面AB1D1,AB1⊂面AB1D1，故MP//面AB1D1；
又MN⊄面AB1D1,B1D1⊂面AB1D1，故MN//面AB1D1；
又MP∩MN=M,MP,MN⊂面MNP，故面MNP//面AB1D1；
则垂直于平面MNP的直线一定垂直于面AB1D1；
显然CC1⊥面A1B1C1D1,B1D1⊂面A1B1C1D1，故B1D1⊥CC1，
又B1D1⊥A1C1，A1C1∩CC1=C1,A1C1,CC1⊂面A1C1C，
故B1D1⊥面A1C1C，又A1C⊂面A1C1C，故A1C⊥B1D1；
同理可得A1C⊥AB1，又AB1∩B1D1=B1,AB1,B1D1⊂面AB1D1，
故A1C⊥面AB1D1，也即A1C⊥面MNP；
若其它选项的直线垂直于平面MNP，则要与A1C平行，显然都不平行.
故选：D.
3．A
【详解】原数据的平均数、众数、中位数、极差分别为2.8,4,3,3.
若去掉一个1后所得的新数据的平均数、众数、中位数、极差分别为279,4,3,3.
所以平均数变化，众数、中位数、极差不变；
若去掉一个2后所得的新数据的平均数、众数、中位数、极差分别为269,4,3,3.
所以平均数变化，众数、中位数、极差不变；
若去掉一个3后所得的新数据的平均数、众数、中位数、极差分别为259,4,3,3.
所以平均数变化，众数、中位数、极差不变；
若去掉一个4后所得的新数据的平均数、众数、中位数、极差分别为249,4,3,3.
所以平均数、众数、中位数、极差不变.
所以一定变化的是平均数.
故选：A
4．C
【详解】f−2=lg24=2，fln4=eln4=4，故f(−2)+f(ln4)=6，
故选：C.
5．B
【详解】因为x>16，所以6x−1>0， 已知y>0，
由x+y=13，得6x−1+6y=1，
则16x−1+6y=16x−1+6y6x−1+6y=1+6y6x−1+66x−1y+36
≥37+26y6x−1⋅66x−1y=49，
当且仅当6y6x−1=66x−1y，则由6x−1=y6x−1+6y=1，解得x=421y=17，
即当且仅当x=421,y=17时，等号成立.
所以16x−1+6y的最小值为49.
故选：B.
6．C
【详解】因为函数fx与gx的图像上恰有两对关于x轴对称的点，
所以−fx=gx，
即−ax+xlnx=ex−1有两解，
所以a=xlnx−ex+1x有两解，
令ℎx=xlnx−ex+1x，
则ℎ′x=ex−11−xx2，
所以当x∈0,1时，ℎ′x>0，此时函数ℎx在0,1上单调递增；
当x∈1,+∞时，ℎ′x78+csx1−2x>158−2x>0；
③当x∈63,1时，因为rx>1.
所以ℎ′x>1+csx1−2sinx>2−2x>0，
综上所述，ℎ′x>0在x∈0,1上恒成立，则ℎx>ℎ0=0，
也即fx>14x4−x2+1成立．
17．(1)证明见解析
(2)255
(3)13
【详解】（1）选择条件①：
（1）因为AB ∥ DC,AB⊄平面DCEF,DC⊂平面DCEF，
所以AB ∥平面DCEF.
又因为AB⊂平面PAB，平面PAB∩平面DCEF=EF，
所以AB ∥ EF.
选择条件②：解法同上
（2）选择条件①：
因为AD⊥平面PAB，PA,AB⊂平面PAB，
所以AD⊥PA,AD⊥AB.
又因为PB=BD,PA=AB=AD=2CD=2，
所以△PAB≌△DAB.
因此∠PAB=∠DAB=90∘，即AB,AD,AP两两垂直.
如图，以A为原点，AB,AD,AP的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系，
所以D0,2,0,C1,2,0,P0,0,2,B2,0,0.
由（1），得AB ∥ EF，且E为棱PB的中点，
所以点F为棱PA的中点.E1,0,1,F0,0,1，
故FP=0,0,1,DF=0,−2,1,CD=−1,0,0.
设平面DCEF的一个法向量为n=x,y,z，
则DF⋅n=−2y+z=0CD⋅n=−x=0，
取y=1，则x=0,z=2，即n=0,1,2.
所以点P到平面DCEF的距离d=FP⋅nn=255.
选择条件②：
因为AD⊥平面PAB，PA,AB⊂平面PAB
所以AD⊥PA,AD⊥AB，
又因为PA⊥BC,BC与AD相交，BC,AD⊂平面ABCD，
所以PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
所以PA⊥AB，
即AB,AD,AP两两垂直.
以A为原点建立空间直角坐标系及以下步骤同上；
（3）选择条件①：
设PMPC=λ,λ∈0,1，
则PM=λPC=λ1,2,−2=λ,2λ,−2λ.
所以BM=BP+PM=λ−2,2λ,2−2λ.
设直线BM与平面DCEF所成角为θ，
所以sinθ=csBM,n=|BM⋅n||BM||n|=|0+2λ+4−4λ|(λ−2)2+(2λ)2+(2−2λ)2⋅5=23；
化简得9λ2−6λ+1=0，解得λ=13，
即PMPC=13.
选择条件②：解法同上
18．(1)an=2n−1
(2)①bm=22m−1−2m−1；②存在，mt=9.
【详解】（1）设an的公差为d,由T4=4T2可得4a1+6d=42a1+d，即2a1−d=0①，
又由a2n=2an+1可得a1+2n−1d=2a1+n−1d+1,即a1−d+1=0②
联立① ②解得：a1=1,d=2,∴an=2n−1；
（2）①2m