120，山东省滕州市第五中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题

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2024.4
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1. 下列各式正确的是（ ）
A. (常数)B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由基本的求导公式可得解
【详解】 (为常数)； ； ； .
错误
故选：C
【点睛】本题考查导数求导公式，熟练记住常见函数的求导公式是关键,属于基础题
2. 从甲地到乙地一天有汽车8班，火车2班，轮船3班，某人从甲地到乙地，共有不同的走法种数为（ ）
A. 24B. 16C. 13D. 48
【答案】C
【解析】
【分析】利用分类加法计数原理，即可得答案.
【详解】由分类加法计数原理可得，从甲地到乙地无论哪种交通工具都能到达，故不同的走法有8+2+3=13种.
故选：C
【点睛】本题考查分类加法计数原理的应用，考查学生对基础知识的掌握程度，属基础题.
3. 已知，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，求得，令，即可求解.
【详解】由，可得，
令，可得，解得.
故选：A.
4. 把3封信投入4个邮桶，共有不同的投法数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】每一封信都有4中投递方法，根据分步计数原理求得将3封信投入4个邮桶的不同的投法.
【详解】每一封信都有4中投递方法，
根据分步计数原理得不同的投法有种，
故选：D.
【点睛】本题主要考查分步计数原理的应用，属于基础题.
5. 函数的单调递减区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求导，，由即可得解.
【详解】函数的定义域是，，
令，解得，
故函数在上单调递减，
选：D.
【点睛】本题考查了利用导数求函数单调性，考查了导数的基本能应用，属于基础题.
6. 设，若函数有极值点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数存在极值点的条件得到方程，参变分离后即可求得范围.
【详解】因为，
所以，若函数有极值点，
则有解，
方程化为，
故选：A.
7. 点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】问题转化为过点的切线与直线平行时，点P到直线的距离最小，利用导数的几何意义求得点的坐标，再用点到直线的距离公式即可求得答案.
【详解】因为点是曲线上任意一点，
所以当点处的切线和直线平行时，点到直线的距离最小．
因为直线的斜率等于1，曲线的导数，
令，可得或(舍去)，
所以在曲线上与直线平行的切线经过的切点坐标为，
所以点P到直线的最小距离为.
故选：D.
8. 已知函数只有一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将题目转化为函数的图像与的图像只有一个交点，利用导数研究函数的单调性与极值，作出图像，利用数形结合求出的取值范围.
【详解】由函数只有一个零点，等价于函数的图像与的图像只有一个交点，
，求导，令，得
当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减；故当时，函数取得极小值；当时，函数取得极大值；
作出函数图像，如图所示，
由图可知，实数的取值范围是
故选：B
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有两个选项，每选对一个得3分；若只有3个选项，每选对一个得2分.
9. 如图是的导函数的图象，则下列判断正确的是（ ）
A. 在区间上是增函数
B. 是的极小值点
C. 在区间上是增函数，在区间上是减函数
D. 是的极大值点
【答案】BC
【解析】
【分析】根据导函数与函数的单调性、函数的极值的关系判断．
【详解】在上，递减，A错；，且当时，，时，，所以是的极小值点，B正确；在上，，递增，在上，递减，C正确；在区间上是增函数，不是的极大值点，D错．
故选：BC．
【点睛】本题考查导数与函数的单调性、函数的极值的关系，掌握用导数判断单调性的方法是解题关键．
10. 下列说法正确的为（ ）
A. 6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有种不同的分法；
B. 6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有种不同的分法；
C. 6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10种不同的分法；
D. 6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有540种不同的分法．
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用均匀编号分组法可判断A；先将6本不同的书分成三组，然后甲、乙、丙三人任取一组即可判断B；利用挡板法可判断C；分类讨论可判断D.
【详解】对于A，6本不同的书中，先取本给甲，再从剩余的本中取本给乙，
最后本给丙，共有种不同的分法，故A正确；
对于B，6本不同的书中，先取本作为一组，再从剩余的本中取作为一组，
最后本作为一组，共有种，再将分给甲、乙、丙三人，
共有种，故B不正确；
对于C，6本相同的书分给甲、乙、丙三人，利用挡板法种；
对于D， 6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，分种情况讨论：
①一人本，其他两人各本，共有；
②一人1本，一人2本，一人3本，共有种，
③每人2本，共有，
故共有种.
故选：ACD
【点睛】本题考查了平均分组、不平均分组问题，挡板法，考查了组合数在生活中的应用，属于基础题.
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数存在两个不同的零点
B. 函数既存在极大值又存在极小值
C. 当时，方程有且只有两个实根
D. 若时，，则的最小值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项．
【详解】对于A．，解得，所以A正确；
对于B．，
当时，，当时，或，
所以是函数的单调递减区间，是函数的单调递增区间，
所以是函数的极小值，是函数的极大值，所以B正确．
对于C．当时，，根据B可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，当时，方程有且只有两个实根，所以C正确；
对于D：由图象可知，t的最大值是2，所以D不正确．
故选：ABC.
【点睛】易错点点睛：本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是是函数的单调递减区间，但当时，，所以图象是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了．
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.
12. 曲线在点处的切线的斜率为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据求出即可求出曲线在点处的切线的斜率.
【详解】因为，所以，
所以曲线在点处的切线的斜率为.
故答案为：.
13. 某校要求每位学生从8门课程中选修5门，其中甲、乙两门课程至多只能选修一门，则不同的选课方案有______种（以数字作答）.
【答案】36.
【解析】
【分析】根据甲、乙两门课程至多只能选修一门，进行分类讨论，求出每类选课方案的种数，最后根据加法计数原理直接求解即可.
【详解】甲、乙两门课程至多只能选修一门，
则包括一门都不选和选一门两种情况
第一类甲和乙两门课都不选，有种方案；
第二类甲和乙中选一门，剩余6门课中选两门，有种方案．
∴根据分类计数原理知共有种方案．
故答案为：36
【点睛】本题考查了分类计数原理的应用，考查了组合问题，属于基础题.
14. 已知定义在上的函数，是的导函数，满足，且，则不等式的解集是______．
【答案】
【解析】
【分析】构造新函数，求导后可知在上单调递减；由（2）可推出（2）；不等式等价于，从而有，解之即可．
【详解】解：设，则，
在上单调递减，
（2），（2），
不等式等价于，
，解得，不等式的解集为.
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共计77分.
15. 要从6名男生4名女生中选出5人参加一项活动.
（Ⅰ）甲当选且乙不当选，有多少种不同的选法？（用数字作答）；
（Ⅱ）至多有3名男生当选，有多少种不同的选法？（用数字作答）．
【答案】（Ⅰ）70种；（Ⅱ）186种.
【解析】
【分析】（Ⅰ）甲当选且乙不当选，只需从余下的8人中任选4人，结合组合数即可求出结果；
（Ⅱ）至多有3男当选时，根据分类计数原理应分三类：第一类是3男2女；第二类是2男3女；第三类是1男4女，然后利用分步计数原理求解即可.
【详解】（Ⅰ）甲当选且乙不当选，只需从余下的8人中任选4人，有=70种选法；
（Ⅱ）至多有3男当选时，应分三类：
第一类是3男2女，有种选法；
第二类是2男3女，有种选法；
第三类是1男4女，有种选法，
由分类加法计数原理知：共有种选法．
16. 3位男同学和2位女同学站成一排.
（1）2位女同学必须站在一起，有多少种不同的排法（用数字作答）；
（2）2位女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法（用数字作答）；
（3）甲不在排头，乙不在排尾，有多少种不同的排法（用数字作答）.
【答案】（1）
（2）
（3）78
【解析】
【分析】（1）将位女同学捆绑，视为一个整体，结合分步计数原理可得结果；
（2）先排位男同学，再将位女同学插空，结合分步计数原理可得结果；
（3）先排甲分为两类，甲在排尾和甲在中间，结合分步计数原理可得结果.
【小问1详解】
位女同学必须站在一起，则将位女同学捆绑，视为一个整体，
可得排法种数为种；
【小问2详解】
先排个男同学，形成个空，再插入位女同学，
可得排法种数为种；
【小问3详解】
先排甲分为两类，甲在排尾有种，
甲在中间，则乙有3个位置可选，其余全排列，则有，
可得排法种数为种
17. 已知函数在处取得极值．
（1）求实数的值；
（2）当时，求函数的最值．
【答案】（1）
（2）最小值为；最大值1
【解析】
分析】（1）由题意得，代入求值即可得答案；
（2）根据导数研究函数的单调性与极值，求端点函数值，从而求出函数的最值．
【小问1详解】
函数，
又函数在处取得极值，
所以有；
所以实数的值为1,经检验符合题意；
【小问2详解】
由（1）可知：，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故函数在处取得极大值，
因此，，，
故函数的最小值为；最大值1.
18. 已知曲线，
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求过点且与曲线相切的直线方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）求得，得到，结合直线点斜式方程，即可求解；
（2）设切点为，求得切线方程为，结合点在直线上，列出方程求得，进而求得过点的切线方程.
【小问1详解】
解：由函数，可得，可得，
即曲线在点处的切线斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
【小问2详解】
解：因为点不在曲线上，
设切点为，所以，
所以切线方程为，
又因为在直线上，所以，
即，解得或.
当切点为时，切线方程为；
当切点为时，切线的斜率为，此时切线方程为，
综上所述，过点且与曲线相切的直线方程为：或.
19. 已知函数，实数.
（1）讨论函数在区间上的单调性；
（2）若存在，使得关于x不等式成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）采用分类讨论的方法，与，根据导数判断原函数的单调性，可得结果.
（2）化简式子，并构造函数，计算，然后再次构造函数，利用导数判断的单调情况，可得结果.
【详解】（1）由题知的定义域为，
.
∵，，∴由可得.
（i）当时，
，当时，单递减；
（ii）当时，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
综上所述，时，在区间上单调递减；
当时，在区间上单调递减，
在区间上单调递增.
（2）由题意：不等式在成立
即在时有解.
设，，只需.
则，因为，
所以在上，，
在上，.
所以在上单调递减，在上单调递增.
因此.
不等式在成立，
则恒成立.
又，所以恒成立.
令，则.
在上，，单调递增；
在上，，单调递减.
所以.
因此解可得且，
即且.
所以实数a的取值范围是.
【点睛】本题考查导数的综合应用，难点在于构造函数研究性质，化繁为简，考验分析能力以及逻辑思维能力，掌握等价转化思想以及分类讨论的方法，属难题.