2024年广东省揭阳市中考一模数学试题

这是一份2024年广东省揭阳市中考一模数学试题，共12页。试卷主要包含了关于x的一元二次方程的根的情况，过点和点作直线，则直线AB等内容，欢迎下载使用。
说明：1.全卷共4页，满分为120分，考试用时为120分钟。
2.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号、用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑。
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1.剪纸是中国优秀的传统文化.下列剪纸图案中，是轴对称图形的是（ ）
A.B.C.D.
2.下列各数中，是无理数的是（ ）
A.1B.C.0D.
3.反比例函数的图象经过点，下列各点在此反比例函数图象上的是（ ）
A.（-3，2）B.（3，-2）C.（-6，-1）D.（-1，6）
4.如图，和是以点为位似中心的位似图形，点A在线段上，若，则和的周长之比为（ ）
A.1：3B.2：1C.1：2D.3：1
5.关于x的一元二次方程的根的情况（ ）
A.无实数根B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根D.无法确定
6.过点和点作直线，则直线AB（ ）
A.平行于y轴B.平行于x轴
C.与x轴相交D.与x轴垂直
7.如图，直线，是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E，交AC于点F，若∠1=135°，则∠2的度数是（ ）
A.75°B.95°C.105°D.135°
8.已知关于x的方程的解是负数，则a的取值范围是（ ）
A.B.且C.D.且
9.如图，抛物线经过点（-1，0），是其对称轴，则下列结论：
①；②；③；④；其中正确结论的个数为（ ）
A.1B.2C.3D.4
10.如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.连接AC，若AH平分，且正方形EFGH的面积为3，则正方形ABCD的面积为（ ）
A.B.C.D.15
二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）
11.因式分解：________.
12.“民之所盼，我之所呼!”人民网发布了2月份参与全国两会的第22次调查人数共计超过581万人次，其中数据“5810000”用科学记数法可表示为________.
13.黄岐宝塔坐落在揭阳市黄岐山顶峰，是揭阳市的文物保护单位.如图，某课外兴趣小组在距离塔底A点50米的C处，用测角仪测得塔顶部B的仰角为42°，则可估算出塔AB的高度为________.（结果保留整数，参考数据：，，）
14.某校举办了“博古通今，学史明智”的历史事件讲述大赛，选题有“鸦片战争”“香港回归”“改革开放”。八、九年级分别从中随机选择一个不同事件进行比赛，则八、九年级所选的历史事件都发生于新中国成立以后的概率为_________.
15.如图所示，AB是半圆O的直径，将直径BA绕点B顺时针旋转45°得对应线段BC，若，则图中阴影部分的面积是_________.
16.如图，在矩形ABCD中，，，点P为边CD上一动点，连接AP交对角线BD于点E，过点E作，EF交BC于点F，连接AF交BD于点G，在点P的运动过程中，面积的最小值为_________.
三、解答题（本大题4小题，其中17-18题各4分，19-20题各6分，共20分）
17.计算：
18.端午佳节来临之际，某社区决定购买鲜肉粽和蜜枣粽共200个慰问社区困难家庭，超市里鲜肉粽每个5.5元，蜜枣粽每个3.5元，如果预算资金不超过1000元，请问最多能购买鲜肉粽多少个?
19.先化简，再求值：，其中x为方程的解.
20.已知：如图，为锐角三角形
求作：以BC为一边作，使，.
作法：①作AC边的垂直平分线DE；②作BC边的垂直平分线FG，与直线DE交于点O；③以O为圆心，OA为半径作；④连接CO并延长，交于点M，连接BM，则即为所求作的三角形.
（1）使用直尺和圆规，根据以上作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明.
证明：由作图可知DE垂直平分AC，FG垂直平分BC，DE与FC交于点O，
∴，
∴点A、B、C都在上，
∵CM为的直径，∴________°，
∵，∴（_______）（填推理依据），
∴即为所求作的三角形.
四、解答题（本大题3小题，其中21题8分，22-23各10分，共28分）
21.为了解学生寒假阅读情况，某学校进行了问卷调查，对部分学生假期的阅读总时间作了随机抽样分析.设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为t（小时），阅读总时间分为四个类别：，，，，其中A类别的具体数据为3，1，5，9，11，5，6，8，9，5，10，5；现将分类结果制成如下两幅统计图（尚不完整）.根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽样的样本容量为__________，A类别具体数据中，众数为________；
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中的值为________，圆心角的度数为___________；
（4）若该校有2000名学生，估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有多少名?
22.如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点，，与两坐标轴分别交于C，D两点，连接OA，OB.
（1）求出一次函数的表达式和m的值；
（2）请直接写出当时，的解集；
（3）若点P在y轴上，且，求点P的坐标.
23.如图，点E是矩形ABCD的边CB延长线上一点，点F是AE的中点.
（1）如图①，若点G，H分别是ED，BC的中点；
①判断FG和HC之间的关系，并说明理由；
②求证：；
（2）如图②，若，连接BF，DF.
求证：.
五、解答题（本大题2小题，每小题12分，共24分）
24.在北京冬奥自由式滑雪女子大跳台决赛上，中国选手谷爱凌凭借精彩发挥夺得金牌，创造历史.如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，图1是跳台比赛场地的示意图，在图2中取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系.图中的抛物线：近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点正上方3米的A点滑出，滑出后沿一段抛物线：运动，当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为7米解答下列问题：
（1）求山坡坡顶的高度为_________米，抛物线的函数解析式为__________；
（2）当运动员与点A的水平距离是多少米时，运动员和小山坡到水平线的高度相同；
（3）运动员从A点滑出后直至和小山坡到水平线的高度相同时，运动员与小山坡的最大高度差是多少米?
（4）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，直接写出b的取值范围.
25.约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“优美三角形”.例如，如图1，在中，AD为边BC上的中线，与相似，那么称为关于边BC的“优美三角形”.
（1）在图2中的中，若，则_______（填“是”或“不是”）关于边BC的“优美三角形”；
（2）如图3，已知为关于边BC的“优美三角形”，点D是边BC的中点，以BD为直径的恰好经过点A.求证：直线CA与相切；
（3）已知为关于边BC的“优美三角形”，，，求的面积.
2024年初中学业水平考试第一次模拟考试
数学科目试卷参考答案
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）
11.；12.；13.45米；14.；15.；16..
三、解答题（本大题4小题，其中17-18题各4分，19-20题各6分，共20分）
17.解：原式.
18.解：设购买鲜肉粽x个，由题意得，，
解得，
∵x为整数，∴x的最大值为150，
答：最多能购买鲜肉粽150个.
19.解：原式
，
∵，∴，
∴当时，原式=2023-6=2024.
20.解：（1）如图所示，为所求；
（2）90；
同弧（或等弧）所对的圆周角相等
四、解答题（本大题3小题，其中21题8分，22-23题各10分，共28分）
21.解：（1）60；5小时；
（2）补全统计图如图所示：
（3）20，144°；
（4）（名），
答：估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有1000名.
22.解：（1）∵点，在一次函数的图象上，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为.
∵点在反比例函数的图象上，∴；
（2）当时，的解集为或.
（3）由直线可知，∴，
∵，，∴.
设，由得，
∵，∴，∴.
∴点P的坐标为（0，8）或（0，-8）.
23.解：（1）①，，理由如下：
∵点F，C分别是AE，DE的中点，∴FC为的中位线，
∴，，
∵H是BC的中点，∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，，∴，；
②证明：∵四边形ABCD是矩形，∴
∵G是DE的中点，∴，∴，
∵，，∴四边形FHCG是平行四边形，
∴，∴，
∴，即；
（2）证明：连接FC，如图②所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴，，∴
∵F是AE的中点，∴，
∴，∴，
在和中，，
∴
∴
∵，F是AE的中点，
∴，∴
∴，即.
五、解答题（本大题2小题，每小题12分，共24分）
24.解：（1）；
；
（2）当运动员和小山坡到水平线的高度相同时，
，
整理得：，
解得：，（舍去），
∴当运动员与点A的水平距离是12，运动员和小山坡到水平线的高度相同；
（3）设运动员与小山坡的高度差为h，
则
∵，
∴当时，即时，，
∴运动员与小山坡的高度差最大是米.
（4）.
25.解：（1）是
（2）证明：连接OA，如图3，
由题意可得，∴，
又∵BD为的直径，∴，即，
又∵，∴，∴，∴，
又∵为的半径，∴CA为的切线；
（3）设BC的中点为D，则，
∵为关于边BC的“优美三角形”，
∴和中有一个三角形与相似.
当时，过A点作于点E，
如图1，
图1
∴，则
∴（负值舍去），
∵在中，，∴，
∴
当时，过A点作于点F，如图2，
图2
∴，即
∴，，
∵在中，，
∴，，
∴，
∵在，，即
∴或
∴或
∴
或
综上可知，的面积为或或.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
C
A
C
B
C
B
D
A