安徽省合肥市部分学校2024届高三下学期高考适应性考试数学试题（原卷版+解析版）

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1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4．本卷命题范围：高考范围.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
4. 为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了言语表达测试，经过大数据分析，发现本次言语表达测试成绩服从，据此估计测试成绩不小于94的学生所占的百分比为（ ）
参考数据：
A. B. C. D.
5. 某银行大额存款的年利率为，小张于2024年初存入大额存款10万元，按照复利计算8年后他能得到的本利和约为（ ）（单位：万元，结果保留一位小数）
A. 12.6B. 12.7C. 12.8D. 12.9
6. 已知定义在上的偶函数满足且，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知双曲线右焦点为，圆与的渐近线在第二象限的交点为，若，则的离心率为（ ）
A. 2B. C. 3D.
8. 如图，正四面体的棱长为2，点E在四面体外侧，且是以E为直角顶点的等腰直角三角形．现以为轴，点E绕旋转一周，当三棱锥的体积最小时，直线与平面所成角的正弦值的平方为（ ）

A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知是函数的两个零点，且的最小值是，则（ ）
A. 在上单调递增
B. 的图象关于直线对称
C. 图象可由的图象向右平移个单位长度得到
D. 在上仅有1个零点
10. 已知实数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 椭圆两个焦点分别为，则下列说法正确的是（ ）
A. 过点直线与椭圆交于A，B两点，则的周长为8
B. 若上存在点，使得，则的取值范围为
C. 若直线与恒有公共点，则的取值范围为
D. 若为上一点，，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则______.
13. 在中，若，则______.
14. 已知实数，对，恒成立，则的取值范围为____.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设数列的前项和为，已知，是公差为2的等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）若，设数列的前项和，求证：．
16. 在平时的日常生活中游泳对锻炼身体有很多的好处，大致有以下几个方面：
一、游泳可以让身体更加苗条，达到减肥的效果；
二、游泳能够增加人体的肺活量，提高人体的呼吸系统能力，也可以预防心脑血管系统疾病，包括冠心病、不稳定型心绞痛以及脑血栓等疾病；
三、游泳可以保护关节，让关节避免受到损伤．
下面抽取了不同性别的高中生共100人，并统计了他们游泳的水平如下表：
（1）根据此表依据的独立性检验判断：是否可以认为高中生游泳水平与性别有关?
（2）游泳教练从成绩不合格的高中生中抽取了2名女生和1名男生进行游泳示范指导．已知经过一段时间指导后，女生成绩合格的概率为，男生合格的概率为，求这3人经过指导后成绩合格总人数的分布列和数学期望．
参考公式：①相关性检验的临界值表：
②，其中．
17. 如图，在矩形纸片中，，，沿将折起，使点到达点的位置，点在平面的射影落在边上.
（1）求的长度；
（2）若是边上的一个动点，是否存在点，使得平面与平面的夹角余弦值为？若存在，求的长度；若不存在，说明理由.
18. 已知平面上一动点P到定点的距离比到定直线的距离小2023，记动点的轨迹为曲线．
（1）求的方程；
（2）已知直线与曲线交于M，N两点，是线段MN的中点，点在直线上，且AT垂直于轴．设点在抛物线上，BP，BQ是的两条切线，P，Q是切点．若，且A，B位于轴两侧，求的值．
19. 已知函数．（注：是自然对数的底数）．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，函数在区间内有唯一的极值点．
①求实数a的取值范围；
②求证：在区间内有唯一的零点，且．
合格
不合格
合计
男性
10
50
女性
20
合计
70
100
0.10
0.05
0.10
2.706
3841
6.635