山东省菏泽第一中学八一路校区2024届高三5月月考数学试题

这是一份山东省菏泽第一中学八一路校区2024届高三5月月考数学试题，共15页。

注意事项：
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案. 作答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.
3．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
已知集合，，则（ ）
B. C. D.
已知等比数列的前n项和为，，，则（ ）
62 B. 50 C. 40 D. 22
已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
已知函数为偶函数，当时，，且，则实数a的值为（ ）
A.1 B. 10 C.100 D. 1000
已知菏泽市某公司生产的一袋牡丹花茶的重量X（单位：克）服从正态分布，其中的产品为“合格品”，则从这些牡丹花茶中随机抽取一袋，则抽到合格品的概率约为（ ）
（附：若随机变量X服从正态分布，则，，）
B. C. D.
已知为关于x的方程（a，）的一个根，，则（ ）
B. C. D.
设为坐标原点，，，存在点P满足：，，且，则与x轴正方向夹角的余弦值的取值范围为（ ）
B. C. D.
已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，且，BC边上中线的长为，则的面积为（ ）
B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
已知变量x，y之间的一组相关数据如下表所示：
据此得到变量x，y之间的线性回归方程为，则下列说法正确的是（ ）
变量x，y之间成正相关关系 B. 当时，残差为
C． D. 可以预测，当时，
在棱长为2的正方体中，E，F分别为，的中点，G是线段EF（不含端点）上的动点，则下列说法正确的是（ ）
对于任意的点G，四棱锥的体积为定值；
对于任意的点G，平面AEG被正方体所截得的截面形状为五边形；
存在点G，使得平面；
存在点G，使得平面；
已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A.存在实数a，使得是减函数； B. 存在实数a，使得恰有1个零点；
C. 存在实数a，使得有最小值； D. 存在实数a，使得恰有2个极值点．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
设，在方向上的投影向量为，则________．
已知的展开式中所有项的系数的和为1，则________．
若数列满足，则称数列为牛顿数列．若，数列为牛顿数列，且，，数列的前n项和为，则满足的最大正整数的值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（本题满分13分）
如图，在直三棱柱中，M，N分别为棱AB，的中点，为等腰直角三角形，且.
（1）证明：；
（2）求点到平面的距离.
（本题满分15分）
已知中心在原点，焦点在x轴上的圆锥曲线E的离心率为，过E的右焦点作垂直于x轴的直线，该直线被E截得的弦长为3．
求圆锥曲线E的方程；
过点作一直线l交E于A，B两点，左焦点为，连接，．
求证：．
（本题满分15分）
随着牡丹花期结束，曹州牡丹园为了更好地了解游客需求，优化自身服务，提高游客满意度，随机对200位游客进行了满意度调查，其中100位男性中有86位满意；100位女性中有94位满意：
根据小概率值的独立性检验，能否推断游客对该牡丹园的满意度与性别有关；
若用频率估计概率，从该牡丹园的游客中随机选取3人，设3人中满意的人数为X，求X的分布列和数学期望．
附：，．

（本题满分17分）
已知函数，．
讨论的单调性；
若有两个零点，求实数的取值范围；
若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
（本题满分17分）
我们知道，在平面内取定单位正交基底建立坐标系后，任意一个平面向量，都可以用二元有序实数对表示．平面向量又称为二维向量．一般地，n元有序实数组称为n维向量，它是二维向量的推广．类似二维向量，对于n维向量，也可定义两个向量的数量积、向量的长度（模）等：
设，，则
；
．
已知向量满足，向量满足．
（1）求的值；
（2）若，其中，当且时，
证明：．
2024届高三5月份月考试题
数 学 答案
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

7. 解析：因为，所以
又因为，所以
．
令，显然．
所以．故选B．
解析：由正弦定理得，，
即，所以．
因为，所以，又，所以．
设BC边中点为D，连接AD，则，．
在中，由余弦定理得，
，
整理得，解得（舍）或．
所以的面积为．故选A．
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

10. 解析：A.因为正方形的面积为4，点G到平面的距离为2，
所以，即四棱锥的体积为定值．故选项A正确．
B.把截面AEG补形为四边形，
则平面AEG被正方体所截得的截面多边形为四边形．故选项B错误．
C.以点D为坐标原点，，，分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系.
则，，，，设.
设平面的一个法向量为，因为，，
所以，即，令，则，，所以．
若平面，，则，解得．
所以存在点G，使平面．故选项C正确．
D.同理可得平面的一个法向量为．
若平面，，则，
显然和不平行，
所以不存在点G，使平面．故选项D错误．故选AC．
解析：由条件知，
A.若是减函数，则，解得．
所以当时，是减函数，如图所示．故选项A正确．
B.由（1）知，当时，是减函数，此时恰有一个零点．故选项B正确．
C.当时，在上是减函数；当时，在上是减函数．
所以不存在实数a，使得有最小值．故选项C错误．
D.当时，令，当时，；当时，．此时，恰有两个极值点，如图所示．故选项D正确．故选ABD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 2 13. 14. 10
14.解析：因为，所以，则，又，，所以是首项为，公比的等比数列，则，
令，则，又因为在定义域内单调递增，且，所以，所以最大正整数的值为10.故答案为：10.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（本题满分13分）
证明：连接，
因为，为中点，所以． ……………………1分
因为为直三棱柱的侧棱，所以平面． ……………………2分
因为平面，所以． ……………………3分
因为，所以平面． ……………………4分
因为平面，所以． ……………………5分
（2）以点为坐标原点，，，分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图.
则，，，. ……………………6分
所以，，．………………7分
设平面的一个法向量为，
所以，即，
令，则，，所以． …………………9分
设点到平面的距离为，
则． …………………12分
所以点到平面的距离为． …………………13分
16.（本题满分15分）
解：（1）因为圆锥曲线E的离心率为，故E为椭圆． ……………………1分
设椭圆E的方程为（，）．
令，解得，即 ①
又由离心率为，得 ② ……………………3分
由①②解得 ……………………5分
所以椭圆E的方程为． ……………………6分
（2）由（1）可得，所以，．
设，，
所以
同理可得， ……………………8分
当直线l的斜率存在时，设直线l方程为
联立，得……………10分
因为直线l过点，点M在E内，所以直线AB一定与E交于两点，即．
所以由韦达定理知，，．
所以 ……………………12分

……………………14分
又当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，则．
所以，符合上述结论．
综上，． ……………………15分
17.（本题满分15分）
零假设为：满意度与性别无关，即男性和女性的满意度没有差异．……1分
将所给数据进行整理，得到男性和女性满意度的列联表，如表所示．
……………………3分
根据列联表中的数据，经计算得到
……………………5分
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为满意度与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于． ……………………6分
每个游客满意的概率为 ……………………7分
X的取值为0，1，2，3，且 ……………………9分
因为，，
，．
所以X的分布列为
……………………13分
所以X的数学期望为． ……………………15分
18.（本题满分17分）
解析：（1） ， ……………………1分
当时，，所以在上单调递增． ……………………2分
当时，令，则．
若，即时，恒成立，所以在上单调递增．
……………………3分
若，即时，
当时，或；
当时，， ……………………4分
综上所述，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减．
……………………5分
（2）令，则．
令，则． ……………………6分
所以当时，，在上单调递减．
当时，，在上单调递增． ……………………8分
又当时，，且；
当时，， ……………………10分
所以当时，先减后增，且在处有最小值，
此时直线与有两个交点，
所以实数的取值范围为． ……………………11分
（3）因为，即．
令，注意到．
所以对任意的恒成立，所以． ……………………13分
因为，所以，解得………………15分
当时，
当时，与条件矛盾．
综上所述，实数的取值范围为 ……………………17分
19.（本题满分17分）
因为 ①
所以 ②…………………2分
①－②，得
即 ……………………4分
所以 ……………………6分
（2）证明：因为，，，
所以， ……………………8分
先证：，， ……………………9分
设，，则， ……………10分
所以在上单调递增，即当时，， ………………11分
即， ……………………12分
所以，. ……………………13分
因为， ……………………14分
所以 …………………15分
， …………………16分
.
综上可得，当且时，. ……………………17分
x
2
4
6
8
10
y
1
1.6
2
a
3
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
1
2
3
4
5
6
7
8
B
A
D
C
D
C
B
A
9
10
11
ACD
AC
ABD
满意
不满意
合计
男性
86
14
100
女性
94
6
100
合计
180
20
200
X
0
1
2
3
P