甘肃省酒泉市四校联考2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份甘肃省酒泉市四校联考2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试卷（Word版附解析），共24页。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
考试时间为120分钟，满分150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（ ）
A. B. C. D.
2. 设点，点C关于面对称的点为D，则线段的中点P到点D的距离为（ ）
A. 2B. C. D.
3. 在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，若，，则用基底表示向量为（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知函数（a是常数）在上有最大值3，那么它在上最小值为（ ）
A. B. C. D.
5. 设，若函数在区间有极值点，则取值范围为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在空间直角坐标系中，正方形与矩形所在平面互相垂直(与原点重合)，在上，且平面，则点的坐标为（ ）
A B.
C D.
7. 已知棱长为2的正方体中，，，分别是的中点，则直线与平面之间的距离为（ ）
A. 1B. C. D.
8. 已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项}符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，分别为直线，方向向量（，不重合），，分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中，正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
10. 如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱和的中点，则以为原点，所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，则下列结论正确的是（ ）
A. 平面
B.
C. 是平面的一个法向量
D. 点到平面的距离为
11. 已知函数，下列说法正确的有（ ）
A. 曲线在处的切线方程为
B. 的单调递减区间为
C. 的极大值为
D. 方程有两个不同的解
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知空间中三点，设，若，且，则向量______
13. 如图，在直三棱柱中，，、分别为棱、的中点，则______.
14. 某商户销售、两种小商品，当投资额为千元时，在销售、商品中所获收益分别为千元与千元，其中，如果该商户准备共投入5千元销售、两种小商品，为使总收益最大，则商品需投入______千元
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，三棱柱中，M，N分别是上的点，且．设，，．
（1）试用，，表示向量；
（2）若，求MN的长．
16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，E为PC上一点，且．
（1）求证：平面PBC；
（2）求证：平面BDE．
17. 如图，在直三棱柱中，，为的中点．
（1）求点到平面的距离.
（2）求平面与平面所成角的余弦值．
18. 已知函数在点处的切线方程为．
（1）求函数的单调区间，
（2）若函数有三个零点，求实数m的取值范围．
19. 已知函数，（，为自然对数的底数）.
（1）求函数的极值；
（2）若对，恒成立，求的取值范围.高二年级期中考试
数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
考试时间为120分钟，满分150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据导数值的定义算出，由导数的几何意义，即为在点处的切线的斜率.
【详解】，则根据导数值的定义：，
由导数的几何意义可知，在点处的切线的斜率为.
故选：B
2. 设点，点C关于面对称的点为D，则线段的中点P到点D的距离为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出对称点和中点坐标，由两点间距离公式计算．
【详解】点C ，D关于面对称,则有，
由中点坐标公式得的中点的坐标为，
所以．
故选：C．
3. 在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，若，，则用基底表示向量为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间向量基本定理结合向量的线性运算，用基底表示即可.
【详解】连接，如图，
因为是的中点，所以
.
故选：B
4. 已知函数（a是常数）在上有最大值3，那么它在上的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求导得到函数的单调区间得到函数最大值为，再比较端点值的大小得到最小值.
【详解】，
由得或，故函数在上单调递增；
由得，故函数在上单调递减，
故函数的最大值为．
故．
又，，
故当时，函数取得最小值为-37．
故选：D.
5. 设，若函数在区间有极值点，则取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先对函数求导，根据函数在区间有极值点，转化为导函数有零点，再由零点存在定理列出不等式求解即可.
【详解】，为单调函数，所以函数在区间有极值点，即，代入解得，
解得取值范围为，
故选：B．
6. 如图，在空间直角坐标系中，正方形与矩形所在平面互相垂直(与原点重合)，在上，且平面，则点的坐标为（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，交于点，连接，利用线面平行的性质定理得，从而得是的中点，即可求解点的坐标.
【详解】设，交于点，连接，
因为正方形与矩形所在平面互相垂直，
点在上，且平面，又平面平面，平面，
所以，又，所以平行四边形，
故，所以是的中点，
因为，所以，所以.
故选：C
7. 已知棱长为2的正方体中，，，分别是的中点，则直线与平面之间的距离为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，先利用向量法证明平面EMN，根据线面距离的定义把直线AC到平面EMN的距离转化为点A到平面EMN的距离，再利用点面距离的向量公式求解即可.
【详解】如图，以为原点，建立空间直角坐标系，
则，
所以，设平面的一个法向量为，
则令，可得，所以，
即，又平面，所以平面，
故点到平面的距离即为直线到平面的距离，
又，所以点到平面的距离为，
即直线与平面之间的距离为.
故选：B
8. 已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化简，采用换元法，将问题转化为有两个不同的零点问题，分离参数，从而将问题转化为直线与的图象有两个不同交点，数形结合，可得答案.
【详解】由题意得 ,
令 ，，该函数在R上为单调增函数，且 ，
故函数有两个不同的零点，即有两个不同的零点，
令即直线与的图象有两个不同交点，
又，当时，递增，当时，递减，
则，当时，，
作出其图象如图：
由图象可知直线与的图象有两个不同交点，需有，
故选：A.
【点睛】方法点睛：解决函数有两个不同的零点的问题，要将函数式变形为，实质是采用换元法，令，将问题转化为有两个不同的零点，然后分离参数，利用导数判断函数单调性，数形结合，解决问题.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项}符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，分别为直线的，方向向量（，不重合），，分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中，正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据直线的方向向量与平面的法向量的定义判断．
【详解】两直线的方向向量平行，而两直线不重合，则它们平行，A错；
两直线的方向向量垂直，则它们也垂直，B正确；
两个平面法向量平行，则这两个不重合的平面平行，C错．
两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直，D正确．
故选：BD．
10. 如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱和的中点，则以为原点，所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，则下列结论正确的是（ ）
A. 平面
B.
C. 是平面的一个法向量
D. 点到平面的距离为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，由线面平行的判定定理证明即可；对于B，由空间向量判断异面直线垂直即可；对于C，由平面法向量求解即可；对于D，由点到平面的距离公式计算即可.
【详解】对于A，由于，分别是的中点，
所以平面平面，
所以平面，故A正确；
对于B，，
故，，
故与不垂直，进而可得与不垂直，故B错误；
对于C，由，所以，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以平面的一个法向量，故C正确；
对于D，，点到平面的距离为，故D正确.
故选：ACD．
11. 已知函数，下列说法正确的有（ ）
A. 曲线在处的切线方程为
B. 的单调递减区间为
C. 的极大值为
D. 方程有两个不同的解
【答案】AB
【解析】
【分析】利用导数，结合切线、单调区间、极值、方程的解等知识确定正确答案.
【详解】的定义域为，.
A选项，，
所以曲线在处的切线方程为，A选项正确.
B选项，令解得，
所以在区间，单调递减，B选项正确.
C选项，在区间，单调递增，
所以有极小值，无极大值，C选项错误.
D选项，的极小值为，
当时，；当时，，
方程有一个解，D选项错误.
故选：AB
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知空间中三点，设，若，且，则向量______
【答案】或
【解析】
【分析】根据向量共线、模等知识求得.
【详解】，，
由于，所以存在实数使，
所以，
所以或.
故答案为：或
13. 如图，在直三棱柱中，，、分别为棱、的中点，则______.
【答案】
【解析】
【分析】分析可知，，利用空间向量数量积的运算性质可求得的值.
【详解】因为平面，平面，则，同理可知，
所以，
.
故答案为：.
14. 某商户销售、两种小商品，当投资额为千元时，在销售、商品中所获收益分别为千元与千元，其中，如果该商户准备共投入5千元销售、两种小商品，为使总收益最大，则商品需投入______千元
【答案】1
【解析】
【分析】由题意列收益函数，然后利用导数法求得最大值，即可得解.
【详解】设投入经销商品的资金为千元，
则投入经销商品的资金为千元，所获得的收益千元，
则，
可得，当时，可得，函数单调递增；
当时，可得，函数单调递减，
所以当时，函数取得最大值，最大值为，
所以当投入商品的资金为4千元，投入商品的资金为1千元时，
此时总收益最大为千元.
故答案为：1
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，三棱柱中，M，N分别是上的点，且．设，，．
（1）试用，，表示向量；
（2）若，求MN的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用空间向量的线性运算即可求解.
（2）根据空间向量的数量积以及向量模的求法即可求解.
【小问1详解】
解：
，
∴；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
，
即MN的长为.
16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，EPC上一点，且．
（1）求证：平面PBC；
（2）求证：平面BDE．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，证明，，原题即得证；
（2）设平面BDE的法向量为，证明即得证.
【小问1详解】
证明：如图，以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
因为，所以，所以，
所以，，
所以，，即，，
又因为，平面PBC．
所以平面PBC．
【小问2详解】
证明：由（1）可得，，．
设平面BDE的法向量为，
则，即令，得，，
则是平面BDE的一个法向量，
因为，所以，
因为平面BDE，所以平面BDE．
17. 如图，在直三棱柱中，，为的中点．
（1）求点到平面的距离.
（2）求平面与平面所成角的余弦值．
【答案】（1）.
（2）．
【解析】
【分析】(1)证明后，建立空间直角坐标系，然后利用点到面的距离公式；
(2)通过法向量，算出二面角的余弦值.
【小问1详解】
在中，由余弦定理得:
，，
．
又平面，
以为原点，为、、轴正方向建立如图所示空间直角坐标系．
，
．
设平面的法向量为，
不妨取，
点到平面的距离．
【小问2详解】
设平面的法向量为，
.
且
取，则，则平面的法向量为．
设平面的法向量为，
，
且，
取，则．
则，，
平面与平面所成角的余弦值为．
18. 已知函数在点处的切线方程为．
（1）求函数的单调区间，
（2）若函数有三个零点，求实数m的取值范围．
【答案】（1）单调递减区间是，单调递增区间是
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，列出方程组求得，得到，进而求得函数的单调区间；
（2）由题意得到，结合条件列出不等式组，即得.
【小问1详解】
由题可得，
由题意得，
解得，
所以，
由得或，
由得，
所以的单调递减区间是，单调递增区间是；
【小问2详解】
因为，
由（1）可知，在处取得极大值，在处取得极小值，
的单调递减区间是，单调递增区间是，
依题意，要使有三个零点，则，
即，
解得，经检验，，
根据零点存在定理，可以确定函数有三个零点，
所以m的取值范围为．
19. 已知函数，（，为自然对数的底数）.
（1）求函数的极值；
（2）若对，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）极大值为，无极小值
（2）
【解析】
【分析】（1）求导后，根据的正负可求得的单调性，根据极值的定义可求得结果；
（2）分离变量可将问题转化为在上恒成立；求导后可令，利用导数可求得的单调性，利用零点存在定理可求得的零点，并得到的单调性，由此可求得，化简可得，由此可求得的取值范围.
【小问1详解】
定义域为，，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
的极大值为，无极小值.
【小问2详解】
由得：，在上恒成立；
令，则；
令，则，
在上单调递增，又，，
，使得，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，；
由得：，，
，，
则实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解函数的极值、恒成立问题的求解；本题求解恒成立问题的关键是能够通过分离变量的方式，将问题转化为变量与函数最值之间的大小关系问题，从而利用导数求解函数最值来求得变量的取值范围.