河北省邢台市第一中学2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份河北省邢台市第一中学2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试卷（Word版附解析），共24页。

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列结论正确的是（ ）
A. 平行向量不一定共线向量B. 单位向量都相等
C. 两个单位向量之和不可能是单位向量D.
2. 已知复数（是虚数单位），则的模为（ ）
A. B. 4C. D. 10
3. 一物体在力的作用下，由点移动到点，已知，则对该物体所做的功为（ ）
A. －41B. －1C. 1D. 41
4. 如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图，若，且，则原图形中边上的高为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知为BC中点，则为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知平面向量，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知体积为的正三棱锥的外接球的球心为，若满足，则此三棱锥能外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在等腰直角三角形中，斜边，为线段上的动点（包含端点），为的中点．将线段绕着点旋转得到线段，则的最小值为（ ）

A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知复数，下列结论正确的有（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为圆
D. 若是关于的方程的一个根，则
10. 在中，分别为的对边，则下列叙述正确的是（ ）
A. 若，则是等腰三角形．
B. 若为锐角三角形且外心为且，则．
C. 若，则解此三角形的结果有一解．
D. “为锐角三角形”是“”的充分不必要条件．
11. 六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则（ ）

A. 该正八面体结构的表面积为B. 该正八面体结构的体积为
C. 该正八面体结构的外接球表面积为D. 该正八面体结构的内切球表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 写出一个同时满足①；②的复数______．
13. 在中，角A，B，C的对边分别为，且，则______．
14. 所有顶点都在两个平行平面内多面体叫作拟柱体．在这两个平行平面内的面叫作拟柱体的底面，其余各面叫作拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫作拟柱体的高．现有一拟柱体，上下底面均为正六边形，且下底面边长为，上底面各顶点在下底面的射影点为下底面各边的中点，高为3，则该拟柱体的体积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15 已知向量满足，．
（1）求；
（2）求；
（3）若向量与向量的方向相反，求实数的值．
16. 已知复数的实部与虚部的和为．
（1）若，且，求复数的虚部；
（2）当取得最小值时，且在第四象限，求的取值范围．
17. 如图所示，顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站，在图中的D、E、F点上．岛屿到补给站的距离为岛屿到的，岛屿和岛屿到补给站的距离相等，补给站在靠近岛屿的BC的三等分点上．设．
（1）用表示；
（2）若三个岛屿围成的的面积为平方公里，且满足，求岛屿和岛屿之间距离的最小值．
18. 如图，是圆柱的底面直径且，是圆柱的母线且，点C是圆柱底面圆周上靠近点A的三等分点，点E在线段上．
（1）求圆柱的表面积与体积；
（2）求三棱锥的体积；
（3）若D是的中点，求的最小值．
19. 已知向量，若函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）若，求的最值及取得最值时的值；
（3）若函数在内有且只有一个零点，求实数的取值范围．
2023－2024学年度高一年级第二学期期中测试数学A
本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列结论正确的是（ ）
A. 平行向量不一定是共线向量B. 单位向量都相等
C. 两个单位向量之和不可能是单位向量D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，结合向量的基本概念，以及向量的运算法则，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，平行向量又叫共线向量，所以A错误；
对于B中，单位向量长度相等，但方向不一定相同，所以B错误；
对于C中，当两个单位向量夹角为120°时，两个单位向量之和也是单位向量，所以C错误；
对于D中，，所以 D正确．
故选：D．
2. 已知复数（是虚数单位），则的模为（ ）
A. B. 4C. D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】将代入，再由复数的代数形式的乘除运算化简即可得到新复数，再进行模的计算即可.
【详解】因为，
所以，
所以，
则其模为．
故选：C．
3. 一物体在力的作用下，由点移动到点，已知，则对该物体所做的功为（ ）
A. －41B. －1C. 1D. 41
【答案】A
【解析】
【分析】根据功，即可求得物体所做的功.
【详解】由题意可知，，
所以对该物体所做的功为-41．
故选：A．
4. 如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图，若，且，则原图形中边上的高为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，由三角形面积公式求出的长，结合斜二测画法可得原图中的长.
【详解】画出平面直角坐标系，在轴上取，即，
在图①中，过作轴，交轴于，在轴上取，
过点作轴，并使，
连接，则即为原来的图形，如图②所示：
原图形中，于点，
则BD为原图形中边上的高，且，
在直观图③中作于点，则的面积，
在直角三角形中，，
所以，
故原图形中AC边上的高为．
故选：D．
5. 已知为BC的中点，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用向量的坐标表示，借助夹角公式计算即得.
【详解】由，得，又，则，
于是，所以．
故选：D
6. 已知平面向量，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】计算出，利用投影向量求解公式得到答案.
【详解】平面向量，
，
所以向量在上的投影向量为．
故选：C．
7. 已知体积为的正三棱锥的外接球的球心为，若满足，则此三棱锥能外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意确定三角形ABC的位置以及形状，利用正三棱锥的体积公式求出球半径，代入球的体积公式即可.
【详解】正三棱锥外接球的球心满足，
说明三角形ABC在球的大圆上，并且为正三角形，
设球的半径为，
根据对称性易知：正三棱锥中顶点到底面ABC的距离为球的半径，
由正弦定理有底面三角形ABC的边长为，
棱锥的底面正三角形ABC的高为，
正三棱锥的体积为，
解得，
则此三棱锥外接球的体积为．
故选：D．
8. 如图，在等腰直角三角形中，斜边，为线段上的动点（包含端点），为的中点．将线段绕着点旋转得到线段，则的最小值为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用转化法，将转化为或，进而求得的最小值.
【详解】解法一：
连接，则
，
当时，最小，即，
结合，得的最小值为．
解法二（极化恒等式法）：
依题意，为线段的中点，
则
,
由于，，所以的最小值为．
故选:D

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知复数，下列结论正确的有（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为圆
D. 若是关于的方程的一个根，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】由复数，可判定A错误；根据复数的运算法则，可判定B正确；结合复数的几何意义，可判定C正确；根据复数相等的条件，列出方程，求得的值，可判定D正确.
【详解】对于A中，若复数，满足，但两个虚数不能比大小，所以A项错误；
对于B中，若，则，即，
可得或，所以，所以B项正确；
对于C中，由于表示两个复数在复平面上对应的两点之间的距离，
所以，表示复平面内到点距离为3的点的集合，
所以对应的点的轨迹为圆心在，半径为3的圆，所以C项正确；
对于D中，由是关于的方程的根，
故，即，
可得，所以，所以D项正确.
故选：BCD．
10. 在中，分别为的对边，则下列叙述正确的是（ ）
A. 若，则是等腰三角形．
B. 若为锐角三角形且外心为且，则．
C. 若，则解此三角形的结果有一解．
D. “为锐角三角形”是“”的充分不必要条件．
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意，由正弦定理得，得到，可得判定A正确；化简得到，得到B，P，D三点共线，可判定B项正确；由正弦定理，求得三角形的结果有两解，可判定C错误；由为锐角三角形，得到，结合正弦函数的单调性和充分、必要条件的判定，可判定D正确．
【详解】对于A中，因为，
由正弦定理得，即，
因，可得，所以，
由正弦定理得，所以是等腰三角形，所以A项正确；
对于B中，由，可得，
则，即，
如图所示，设为的中点，则，故，故B，P，D三点共线，
因为P是的外心，所以BD垂直平分AC，所以，所以B项正确；
对于C中，若，因为，所以，
因为，所以，而，所以或，
所以解此三角形的结果有两解，所以C项错误；
对于D中，若为锐角三角形，则，可得，
可得，且在内单调递增，
则，即充分性应立；
若，例如符合题意，但为直角三角形，即必要性不成立；
综上所述：“为锐角三角形”是“”的充分不必要条件，所以D项正确．
故选：ABD．
11. 六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则（ ）

A. 该正八面体结构的表面积为B. 该正八面体结构的体积为
C. 该正八面体结构的外接球表面积为D. 该正八面体结构的内切球表面积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】分析正八面体结构特征，计算其表面积，体积，外接球半径，内切球半径，验证各选项.
【详解】
对A：由题知，各侧面均为边长为的正三角形，
故该正八面体结构的表面积，故A正确；
对B：连接，则，底面，
故该正八面体结构的体积，故B错误；
对C：底面中心到各顶点的距离相等，故为外接球球心，外接球半径，
故该正八面体结构的外接球表面积，故C正确；
对D：该正八面体结构的内切球半径，
故内切球的表面积，故D正确；
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 写出一个同时满足①；②的复数______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
分析】设，从而得到，根据模长公式得到方程，求出或，得到答案.
【详解】设，因为，
所以，则，又因为，
所以，解得或，
所以满足条件的复数或者
故答案为：（答案不唯一）.
13. 在中，角A，B，C的对边分别为，且，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用余弦定理求出，再利用数量积的定义计算即得.
【详解】在中，由余弦定理得，
所以．
故答案为：
14. 所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫作拟柱体．在这两个平行平面内的面叫作拟柱体的底面，其余各面叫作拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫作拟柱体的高．现有一拟柱体，上下底面均为正六边形，且下底面边长为，上底面各顶点在下底面的射影点为下底面各边的中点，高为3，则该拟柱体的体积为______．
【答案】
【解析】
【分析】作出辅助线，得到该拟柱体的体积为中间正六棱柱的体积与外侧6个四棱锥的体积之和，求出正六棱拄的体积和一个四棱锥的体积，得到答案.
【详解】过上底顶点向下底作垂线，可得该拟柱体的体积为中间正六棱柱的体积与外侧6个四棱锥的体积之和，
上底面边长为、正六棱拄的体积为，
又，，
取的中点，连接，则⊥平面，
且，，
故一个四棱锥的体积为，
从而拟柱体的体积为.
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知向量满足，．
（1）求；
（2）求；
（3）若向量与向量的方向相反，求实数的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）首先求出、的坐标，从而得到的坐标，再根据数量积的坐标表示计算可得；
（2）求出的坐标，利用坐标法计算可得；
（3）首先求出与的坐标，根据向量共线的坐标表示求出，再代入检验.
【小问1详解】
因，，
所以，则，
所以，
所以，
所以；
【小问2详解】
因为，
所以；
【小问3详解】
因为，，
所以，
，
因为与共线，
则，解得或，
当时，，，则，
此时与方向相同，不符题意；
当时，，，则，
此时与方向相反，符合题意；
综上可得．
16. 已知复数的实部与虚部的和为．
（1）若，且，求复数的虚部；
（2）当取得最小值时，且在第四象限，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）化简复数，得到，根据，求得，得到，求得，即可求解；
（2）由（1）知，函数，得到，化简得到，结合在第四象限，列出不等式组，即可求解.
【小问1详解】
解：根据题意，复数，
所以复数的实部为，虚部为，则
因，可得，又因为，解得，
所以，可得，所以复数的虚部为.
【小问2详解】
解：由（1）知，函数，
则当时，取得最小值，此时，
则
，
由在第四象限，可得，解得或
所以的取值范围为．
17. 如图所示，的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站，在图中的D、E、F点上．岛屿到补给站的距离为岛屿到的，岛屿和岛屿到补给站的距离相等，补给站在靠近岛屿的BC的三等分点上．设．
（1）用表示；
（2）若三个岛屿围成的的面积为平方公里，且满足，求岛屿和岛屿之间距离的最小值．
【答案】（1），
（2）公里
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到，且，结合向量的运算法则，即可求解；
（2）由，化简得到，结合正弦定理得到，利用三角形的面积公式，求得，进而求得的最小值，得到答案.
【小问1详解】
解：由岛屿到补给站的距离为岛屿到的，可得，
点为中点，且，
又由，所以，
.
【小问2详解】
解：由，可得，
即，
可得，即，
设，由正弦定理知
而
，
所以，
因为，所以，得，
所以当，即时，取得最小值120，即的最小值为，
所以岛屿和岛屿之间距离的最小值为公里．
18. 如图，是圆柱的底面直径且，是圆柱的母线且，点C是圆柱底面圆周上靠近点A的三等分点，点E在线段上．
（1）求圆柱的表面积与体积；
（2）求三棱锥的体积；
（3）若D是的中点，求的最小值．
【答案】（1）表面积，体积
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，结合圆柱的表面积和体积公式，即可求解；
（2）根据题意，得到为直角三角形，且，结合棱锥的体积公式，即可求解；
（3）将平面绕旋转到和平面共面，得到点在的延长线上，设为点，当三点共线时，取最小值，结合余弦定理，即可求解.
【小问1详解】
圆柱的底面直径，故半径，且高，
可得圆柱的表面积为，
圆柱的体积为．
【小问2详解】
因为点是圆柱底面圆周上靠近点的三等分点，且，
而为直角三角形，
从而，得，，
所以．
【小问3详解】
解：将平面绕旋转到和平面共面，此时点在的延长线上，
设为点，可得，
即当三点共线时，取最小值，
由题意，，
所以，
故的最小值为．
19. 已知向量，若函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）若，求的最值及取得最值时的值；
（3）若函数在内有且只有一个零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）最小值为－1，此时；最大值为2，此时
（3）
【解析】
【分析】（1）根据向量数量积运算公式和三角恒等变换可求出的解析式，再根据正弦型函数周期公式即可计算周期.
（2）根据给定区间求已知函数的最值，可采用换元法等价变换为简单的正弦函数，先判断单调性，进而求出最值和相应的x值.
（3）函数在内有且只有一个零点，等价于其对应的方程在给定区间内只有一个根，进而转化为两个函数在给定区间内只有一个交点的问题，数形结合，即可求出参数的值.
【小问1详解】
因为函数
，
所以函数的最小正周期为.
【小问2详解】
由（1）知，
因为，所以，令，
则在区间上单调递减，在区间单调递增，
所以当，即时，
函数有最小值，最小值为；
当，即时，
函数有最大值，最大值为；
综上，的最小值为－1，此时；最大值为2，此时．
【小问3详解】
因为函数在内有且只有一个零点，
所以在内有且只有一个实根，
得，即，
即函数在上的图象与直线只有一个交点，
当时，，
画出在上的图象如下，
结合函数图象可知，函数在区间上的图象与直线只有一个交点时，
所以，即的取值范围是．