吉林省名校联盟2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份吉林省名校联盟2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（Word版附解析），共11页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，已知向量，，下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
1．答题前、考生务必将自己的姓名考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章到第八章．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．某圆台的上底面、下底面的半径分别为3cm，2cm，高为3cm，则该圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
2．若复数，，则（ ）
A．B．C．2D．5
3．若向量，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知，是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，且，，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
5．如图，△AOB的斜二测画法的直观图是腰长为的等腰直角三角形，轴经过的中点，则（ ）
A．6B．C．12D．
6．在四面体ABCD中，平面平面BCD，，且，则四面体ABCD的体积为（ ）
A．2B．6C．D．
7．如图，某同学为测量某观光塔的高度OP，在该观光塔的正西方向找到一座高为40米的建筑物MN，在地面上点Q处（O，Q，N三点共线且在同一水平面上）测得建筑物MN的顶部M的仰角为，测得该观光塔的顶部P的仰角为，在建筑物MN的顶部M处测得该观光塔的顶部P的仰角为，则该观光塔的高OP为（ ）
A．80米B．米C．米D．米
8．在正四棱柱中，，，，，平面与交于点G，则（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知向量，，下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则在上的投影向量为
10．若三个不同的平面，，两两相交，且，，，则交线，，的位置关系可能是（ ）
A．正合B．相交于一点C．两两平行D．恰有两条交线平行
11．在正四棱台中，，，P为棱上的动点（含端点），则下列结论正确的是（ ）
A．直线与异面B．直线与平面ABCD所成的角为
C．的最小值为D．的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．
12．在正方体中，，则该正方体外接球的表面积为______．
13．若，，且为纯虚数，则在复平面内对应的点位于第______象限，实数a的值为______．
14．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC中BC边上的高，，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）如图，在高为的四棱锥中，四边形ABCD是正方形，M，N分别是PD和BC的中点，．
（1）证明：平面PAB．
（2）求三棱锥的体积．
16．（15分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求；
（2）若，求△ABC外接圆的半径R；
（3）若，，求△ABC中BC边上的中线长．
17．（15分）如图，在梯形ABCD中，，，，，E在线段BC上．
（1）若，用向量，表示，；
（2）若AE与BD交于点F，，，，求x的值．
18．（17分）在△ABC中，∠BCA与∠BAC的角平分线交于点D，已知．
（1）求角B的大小；
（2）若，求△ACD面积的最大值．
19．（17分）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为．如图，在直三棱柱中，点A的曲率为，N，M分别为AB，的中点，且．
（1）证明：平面．
（2）证明：平面平面．
（3）若，求二面角的正切值．
高一数学试卷参考答案
1．B 该圆台的体积为受．
2．B 因为，，所以．
3．A 因为，所以，解得．
4．D 推不出，也推不出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件．
5．D 由题意得△AOB的原图如图所示，其中D为AB的中点，
且，，所以，故．
6．C 取BD的中点E，连接AE．因为，所以．
又平面平面BCD，平面平面，所以平面BCD．
因为，，所以，
所以四面体ABCD的体积．
7．A 由题意可得，米，，
则．
在△PMQ中，由正弦定理可得，即，解得米．
8．C 如图，设，连接．因为，
且几何体为正四棱柱，所以．
因为，所以，所以．
9．ABD 若，则，解得，A正确．若，则，
解得，B正确．若，则，
在上的投影向量为，C错误，D正确．
10．ABC 如图，交线，，的位置关系可能是重合．由三棱锥的三个侧棱相交于一点，可知交线，，的位置关系可能是相交于一点．由三棱柱的三个侧棱两两平行，可知交线，，的位置关系可能是两两平行．若有两条交线互相平行，则可证它们均与第三条直线平行，所以交线，，的位置关系不可能是恰有两条交线平行．
11．BC 如图1，与相交，则A错误．设，O分别是和AC的中点，
则是四棱台的高．作，垂足为H．
由题中数据可知，则直线与平面ABCD所成的角为，
，则，故B正确．
如图2，把四边形，展开至同一个平面，连接AC，，．
易知的最小值就是展开图中AC的长．
在△ABC中，，，则，
即的最小值为，故C正确．在中，
由余弦定理可得，则，
从而，
由图可知，则D错误．
图1 图2
12．36π 设该正方体外接球的半径为R，则，所以该正方体外接球的表面积为．
13．一； 因为，所以在复平面内对应的点位于第一象限．
因为为纯虚数，
所以，解得．
14． 依题意可得，则，
则，解得，，
所以
．
因为，所以．当，
即，即时，
取得最大值，且最大值为．
15．（1）证明：如图，取PA的中点E，连接EB，EM．
因为ME是△PAD的中位线，所以．
又因为，所以，
所以四边形MEBN是平行四边形，所以．
又因为忙平面PAB，平面PAB，所以平面PAB．
（2）解：因为M为PD的中点，所以三棱锥的高为．
因为，所以．
16．解：（1）因为，所以，
则．在△ABC中，，，
所以，所以．
（2）在△ABC中，因为，所以．
因为，所以．
（3）在△ABC中，因为，所以．
设D为BC的中点（图略），因为，
所以，
解得，即△ABC中BC边上的中线长为．
17．解：（1），
．
（2）因为，所以，
所以．
因为，所以，
所以，即，解得或．
连接AC交BD于G．因为，所以，所以，
则．因为E在线段BC上，所以，故．
18．解：（1）因为，
所以，
所以，
．
因为，
所以．因为，所以．
（2）因为，所以，所以，
所以．
由余弦定理得，
所以，
所以，当且仅当时，等号成立．
因为，
所以△ACD面积的最大值为．
19．（1）证明：在直三棱柱中，平面ABC，
则，，所以点A的曲率为，
所以．因为，所以△ABC为正三角形．
因为N为AB的中点，所以．
又平面ABC，所以，
因为，所以平面．
（2）证明：取的中点D，连接DM，DN．
因为N为AB的中点，所以，且．
又，且，所以，且，
所以四边形CNDM为平行四边形，则．
由（1）知平面，则平面．
又因为平面，所以平面平面．
（3）解：取BC的中点F，连接AF，则．
因为平面ABC，所以，因为，所以平面．
过F作的垂线，垂足为H，连接AH，则可证得，
所以∠AHF为二面角的平面角的补角．
设，，则，，．
由等面积法可得，则，
则，故二面角的正切值为．