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2023年山东省泰安市泰山实验中学初中学业水平数学模拟预测题
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这是一份2023年山东省泰安市泰山实验中学初中学业水平数学模拟预测题，共28页。
1．答题前请考生仔细阅读答题卡上的注意事项，并务必按照相关要求作答．
2．考试结束后，监考人员将本试卷和答题卡一并收回．
第I卷（选择题 共48分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．）
1. 下列各数，，，，，，中，无理数有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】B
【解析】
【分析】整数和分数统称为有理数，无限不循环小数统称为无理数，据此定义逐项分析判断．
【详解】解：，，，为有理数；
是无理数，是无理数，
，为开方开不尽的数，为无理数，
为开方开不尽的数，
为无理数，故无理数有3个，
故选B．
【点睛】本题考查算术平方根、立方根、无理数等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
2. 如图，是由若干个相同的小正方形搭成的一个几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小正方形的个数不可能是（ ）该试卷源自 每日更新，提供24小时找卷服务，全网性价比高。
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】根据主视图和左视图画出可能的俯视图即可解答.
【详解】由主视图和左视图得到俯视图中小正方形的个数可能为：
∴这个几何体的小正方形的个数可能是3个、4个或5个，
故选：D.
【点睛】此题考查由三视图判断几何体，正确掌握各种简单几何体的三视图是解题的关键.
3. 下列计算中，结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由完全平方公式可判断A，由同底数幂的除法运算可判断B，由多项式乘以多项式的法则可判断C，由合并同类项的法则可判断D，从而可得答案．
【详解】解：，故A不符合题意；
，故B符合题意；
，故C不符合题意；
，故D不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查的是合并同类项，同底数幂的除法运算，多项式乘以多项式，完全平方公式的应用，掌握“以上基础运算”是解本题的关键．
4. 1968年科学家发现世界上最小的物质是夸克，物质就是由这种极其小的物质而构成的，夸克有多小呢？它的大小是1介米，约为原子核的百万分之一．百万分之一用科学记数法表示为（ ）
A. 1×10-5B. 1×10-6C. 1×106D. 1×10-8
【答案】B
【解析】
【分析】先把百万分之一变成数字的形式，再用科学记数法表示.
【详解】解：百万分之一即＝1×10－6.
故选：B.
【点睛】本题考查了科学记数法表示绝对值比1小的数，形式为a×10－n，其中1≤a＜10，指数中的n等于第一个非0数前面0的个数.
5. 如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在上，，，，，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质定理和三角形外角的性质，利用三角板的度数可得，，由平行线的性质定理可得，利用三角形外角的性质可得结果．
【详解】解：如图，
，，
，
，，
，
，
，
，
故选：C．
6. 甲乙两台机床同时生产同一种零件， 在某周的工作日内，两台机床每天生产次品的个数整理成甲、乙两组数据，如下表：关于以上数据，下列说法正确的是（ ）
A. 甲、乙的众数相同B. 甲、乙的中位数相同C. 甲的平均数大于乙的平均数D. 甲的方差小于乙的方差
【答案】D
【解析】
【分析】分别计算出甲、乙两组数据的平均数、众数、中位数及方差，再进一步求解可得．
【详解】A.甲众数是2、乙的众数是4，故众数不相同，A选项错误；
B.甲的中位数是2、乙的中位数3，故中位数不相同，B选项错误；
C.甲的平均数=2.2，乙的平均数=2.4， 所以甲的平均数小于乙的平均数，C选项错误；
D.甲的方差=1.76，乙的方差=2.64，甲的方差小于乙的方差正确，D选项正确；
故选D.
【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握平均数、众数、中位数及方差的定义．
7. 如图，点，，是上的三点．若，，则的大小为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据圆周角定理求得的度数，根据的度数求即可．
【详解】解：∵
∴∠BOC=2，
∵，
，
故选：B．
【点睛】考查了圆周角定理及两锐角互余性质，求得的度数是解题的关键．
8. 如果关于x的一元二次方程x2+2x+6-b=0有两个相等的实数根x1=x2=k，则直线y=kx+b必定经过的象限是( )
A. 一、二、三B. 一、二、四C. 二、三、四D. 一、三、四
【答案】B
【解析】
【分析】一元二次方程x2+2x+6-b=0有两个相等的实数根，则判别式的值为0，就要以求出b的值，由根与系数的关系可得2k=-2，就可以求出k的值，进而可以判断一次函数经过的象限．
【详解】∵关于x的一元二次方程x2+2x+6-b=0有两个相等的实数根x1=x2=k，
∴△=22-4×(6-b)=0，
∴b=5，
由根与系数的关系，得2k=-2，
∴k=-1，
∴直线y=kx+b经过第一、二、四象限．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，一次函数的图象及性质，综合运用一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键．
9. 如图，AB是⊙O的弦，等边三角形OCD的边CD与⊙O相切于点P，连接OA，OB，OP，AD．若∠COD+∠AOB＝180°， AB＝6，则AD的长是（ ）
A. 6B. 3C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】如图，过作于 过作于 先证明三点共线，再求解的半径， 证明四边形是矩形，再求解 从而利用勾股定理可得答案.
【详解】解：如图，过作于 过作于
是的切线，
三点共线，
为等边三角形，
四边形是矩形，
故选：
【点睛】本题考查的是等腰三角形，等边三角形的性质，勾股定理的应用，矩形的判定与性质，切线的性质，锐角三角函数的应用，灵活应用以上知识是解题的关键.
10. 如图，胡同左右两侧是竖直的墙，一架米长的梯子BC斜靠在右侧墙壁上，测得梯子与地面的夹角为45°，此时梯子顶端B恰巧与墙壁顶端重合．因梯子阻碍交通，故将梯子底端向右移动一段距离到达D处，此时测得梯子AD与地面的夹角为60°，则胡同左侧的通道拓宽了（ ）
A. 米B. 3米C. 米D. 米
【答案】D
【解析】
【分析】根据等腰直角三角形的性质分别求出EC、EB，根据正切的定义求出DE，结合图形计算得到答案．
【详解】解：在中，，
（米，
在中，，
（米，
米，
故选：D．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
11. 如图，在正方形ABCD中，AB=1，E，F分别是边BC，CD上的点，连接EF、、AF，过A作AH⊥EF于点H. 若，那么下列结论：①平分；②FH=FD；③∠EAF=45°；④；⑤△CEF的周长为2.
其中正确结论的个数是
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】
【详解】此题考直角三角形全等的判定定理和性质定理的应用、勾股定理的应用、三角形周长和面积的计算、整式的化简与运算等综合知识，属于难题；考查学生的综合运用知识解决问题的能力和逻辑推理论证能力；如图所示
设，由已知得；因为
，所以
，所以，所以，即平分，所以①正确；同理，且
，所以②③正确；因为，即④正确；由前面可知：△CEF的周长为，所以⑤正确，所以选D；
12. 如图，矩形ABCD的边，，点E在边上，且，F为边上的一个动点，连接，将线段绕点E顺时针旋转90°得到，连接，则的最小值为（ ）
A. 2B. 3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由旋转的性质可得AE=HE，AF=HG，∠A=∠H=∠AEH=90°，则点G在平行于AB，且与AB的距离为1的直线上运动，即当HG=AD=3时，GC有最小值，由勾股定理可求解．
【详解】解：将△AEF绕点E顺时针旋转90°得到△HEG，延长HG交BC于点N，
∴AE=HE=1，AF=HG，∠A=∠H=∠AEH=90°，
∴HG∥AB，
则点G在平行于AB，且与AB的距离为1的直线上运动，
∴当HG=AD=3时，GC有最小值，
∵∠HEB=∠B=∠EHN=90°，
∴四边形EHNB是矩形，
∴HE=BN=1，BE=HN=6，
∴CN=2，GN=3，
∴CG=，
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，确定点G在平行于AB且与AB的距离为1的直线上运动是解题的关键．
第II卷（非选择题 共102分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中的横线上．）
13. 计算：＝_______．
【答案】4
【解析】
【分析】根据二次根式的运算法则，先算乘法，再算加减法，即可．
【详解】解：原式=
=
=
=4．
故答案是：4．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的乘法法则，是解题的关键．
14. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹每人六竿多十四，每人八竿恰齐足”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知与多少人和竹竿每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”若设有牧童x人，根据题意，可列方程为__________．
【答案】6x+14=8x
【解析】
【分析】设有牧童x人，根据“每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”，竹竿的总数不变，列出方程，即可．
【详解】解：设有牧童x人，
根据题意得：6x+14=8x，
故答案是：6x+14=8x．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际应用，根据等量关系，列出方程，是解题的关键．
15. 如图，在△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，若点D是AB的中点，分别以点A、B为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的周长是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理首先求出AB，由于D是AB中点,因此就可以得到圆的半径AD，从而计算得到CE、CF, 在△ABC中，AC＝BC＝4,可得∠A＝∠B＝45°，利用圆弧的计算公式，计算 的值．
【详解】解：∵AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，
∴AB＝4，
又点D是AB中点，
∴AD＝BD＝2，
由题意知∠A＝∠B＝45°，AD＝AE＝BD＝BF＝2，
则阴影部分周长为2×（4﹣2+）＝8﹣4+π，
故答案为8﹣4+π．
【点睛】本题主要考查圆弧长的计算公式，结合直角三角形，关键在于计算圆弧的半径，此题综合性比较强．
16. 如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．若CF＝3，则tan＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】连接AF，设CE＝x，用x表示AE、EF，再证明∠AEF＝90°，由勾股定理得通过AF进行等量代换列出方程便可求得x，再进一步求出B′C′，便可求得结果．
【详解】解：连接AF，设CE＝x，则C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10﹣x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2，
EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9，
由折叠知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF，
∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°，
∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°，
∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173，
∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125，
∴2x2﹣20x+173＝125，
解得，x＝4或6，
当x＝6时，EC＝EC′＝6，BE＝B′E＝8﹣6＝2，EC′＞B′E，不合题意，应舍去，
∴CE＝C′E＝4，
∴B′C′＝B′E﹣C′E＝（10﹣4）﹣4＝2，
∵∠B′＝∠B＝90°，AB′＝AB＝8，
∴tan∠B'AC′＝=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握折叠的性质是解题关键．
17. 已知二次函数（，，是常数，）的与的部分对应值如下表：
下列结论：
①
②当时，的值随的增大而减小
③方程有两个不相等的实数根
④当时，函数有最小值－6
其中，正确结论的序号是______（把所有正确结论的序号都填上）
【答案】①②③
【解析】
【分析】任意取表格中的三组对应值，求出二次函数的关系式为，可判断①，求解抛物线的对称轴方程为，可判断②，由方程为，再根据一元二次方程根的判别式可判断③，由二次函数的对称轴方程为，可得函数的最小值，可判断④，从而可得答案．
【详解】解：将代入得：
，
解得：，
∴抛物线的关系式为， a=1＞0，因此①符合题意；
对称轴为，即当＜时，的值随的增大而减小，
则当时，的值随的增大而减小，因此②符合题意；
方程，也就是，
即方程，由＞0
可得有两个不相等的实数根，因此③符合题意；
由抛物线的对称轴方程为，
所以当时，函数有最小值，
因此④不符合题意；
综上正确的结论有：①②③，
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的联系，理解和掌握二次函数的图象与系数的关系是正确判断的关键．
18. 若，则称是以10为底的对数．记作：．例如：，则；，则，对数运算满足：当，时，，例如：，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是自定义运算，通过阅读自定义运算规则：，再得到 再通过提取公因式后逐步进行运算即可得到答案．
【详解】解： ，
．
故答案为：．
三、解答题（本大题共7个小题，共78分，解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．）
19. （1）先化简，再求值：，其中．
（2）解不等式组：并写出它的所有整数解．
【答案】（1）；（2），所有整数解为：，，．
【解析】
【分析】此题考查了分式的化简求值，分母有理化，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则及不等式组的解法是解本题的关键．
（1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出整数解即可．
【详解】（1）解：
当时，原式
（2）解不等式①得：
解不等式②得：
不等式组的解集为：
它的所有整数解为：，，
20. 如图，已知反比例函数的图象与反比例函数的图象关于轴对称，，是函数图象上的两点，连接，点是函数图象上的一点，连接，.
（1）求，的值；
（2）求所在直线的表达式；
（3）求的面积.
【答案】（1）m=1,n=2.（2）y=-x+5；（3）
【解析】
【详解】分析: （1）先把A点坐标代入 得k1=4，则反比例函数解析式为y=（x＞0），再利用反比例解析式确定B点坐标即可求出m的值,根据两个反比例函数的图象关于轴对称，可得k₂=-4,又由点是函数图象上的一点即可求出n的值；
（2）根据A,B两点坐标利用待定系数法即可求出一次函数解析式.
（3）自A,B,C三点分别向x轴作垂线,垂足分别为A′,B′,C′，然后根据三角形面积公式和进行计算.
详解:
（1）由A（1，4），B（4，m）是函数（x>0）图象上的两点，
∴4=，k1=4,
∴（x>0）
∴m=.
∵（x<0）的图象和（x>0）的图象关于y轴对称，
∴点A（1，4）关于y轴的对称点A1（-1，4）在（x<0）的图象上，
∴4=，k2=-4,
∴
由点C（-2，n）是函数图象上的一点，
∴n=2.
(2设AB所在直线的表达式为y=kx+b,
将A（1，4），B（4，1）分别代入y=kx+b，得
解这个二元一次方程组，得.
∴AB所在直线表达式为：y=-x+5
（3）自A,B,C三点分别向x轴作垂线,垂足分别为A′,B′,C′,
CC′=2,AA′=4,BB′=1,C′A′=3,A′B′=3,C′B′=6.
∴′
=×(2+4) ×3+×(1+4) ×3-×(2+1) ×6=
点睛：本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，以及用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，是基础知识要熟练掌握.
21. 某学校要开展校园文化艺术节活动，为了合理编排节目，对学生最喜爱的歌曲、舞蹈、小品、相声四类节目进行了一次随机抽样调查（每名学生必须选择且只能选择一类），并将调查结果绘制成如下不完整统计图．
请你根据图中信息，回答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生．
（2）在扇形统计图中，“歌曲”所在扇形的圆心角等于 度．
（3）补全条形统计图（标注频数）．
（4）根据以上统计分析，估计该校2000名学生中最喜爱小品的人数为 人．
（5）九年一班和九年二班各有2名学生擅长舞蹈，学校准备从这4名学生中随机抽取2名学生参加舞蹈节目的编排，那么抽取的2名学生恰好来自同一个班级的概率是多少？
【答案】（1）50 （2）
（3）见详解 （4）
（5）
【解析】
【分析】（1）用最喜爱相声类的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数；
（2）用360°乘以最喜爱歌曲类人数所占的百分比得到“歌曲”所在扇形的圆心角的度数；
（3）先计算出最喜欢舞蹈类的人数，然后补全条形统计图；
（4）用1500乘以样本中最喜爱小品类的人数所占的百分比即可；
（5）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽取的2名学生恰好来自同一个班级的结果数，然后根据概率公式求解．
【小问1详解】
解：（人），
所以本次共调查了50名学生，
故答案为50；
【小问2详解】
解：在扇形统计图中，“歌曲”所在扇形的圆心角的度数：，
故答案72；
【小问3详解】
解：最喜欢舞蹈类人数为（人），
补全条形统计图为：
【小问4详解】
解：（人），
估计该校2000名学生中最喜爱小品的人数为人，
故答案为640；
【小问5详解】
解：用代表九年一班的学生，代表九年二班的学生，
画树状图为：
共有种等可能的结果数，其中抽取的名学生恰好来自同一个班级的结果数为，
所以抽取的名学生恰好来自同一个班级的概率．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图．注重数形结合以及列举法求解概率的知识，是解答本题的关键．
22. 某汽车贸易公司销售A、B两种型号的新能源汽车，A型车进货价格为每台12万元，B型车进货价格为每台15万元，该公司销售2台A型车和5台B型车，可获利3.1万元，销售1台A型车和2台B型车，可获利1.3万元．
（1）求销售一台A型、一台B型新能源汽车的利润各是多少万元？
（2）该公司准备用不超过300万元资金，采购A、B两种新能源汽车共22台，问最少需要采购A型新能源汽车多少台？
【答案】（1）销售每台A型车的利润为0.3万元，每台B型车的利润为0.5万元；（2）最少需要采购A型新能源汽车台．
【解析】
【分析】（1）设每台A型车的利润为x万元，每台B型车的利润为y万元，根据题意中的数量关系列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）先求出每台A型车和每台B型车的采购价，根据“用不超过300万元资金，采购A、B两种新能源汽车共22台”列出不等式求解即可．
【详解】解：（1）设每台A型车的利润为x万元，每台B型车的利润为y万元，根据题意得，
解得，
答：销售每台A型车的利润为0.3万元，每台B型车的利润为0.5万元；
（2）因为每台A型车的采购价为：12万元，每台B型车的采购价为：15万元，
设最少需要采购A型新能源汽车m台，则需要采购B型新能源汽车(22-m)台，根据题意得，
解得，
∵m是整数，
∴m的最小整数值为，
即，最少需要采购A型新能源汽车台．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用和二元一次方程组的应用，解答此题的关键是找出题中的数量关系．
23. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．
（1）求∠CDE的度数；
（2）求证：DF是⊙O的切线；
（3）若AC=DE，求tan∠ABD的值．
【答案】（1）90°；（2）证明见解析；（3）2．
【解析】
【分析】（1）根据圆周角定理即可得∠CDE的度数；（2）连接DO，根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质易证∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，即可判定DF是⊙O的切线；（3）根据已知条件易证△CDE∽△ADC，利用相似三角形的性质结合勾股定理表示出AD，DC的长，再利用圆周角定理得出tan∠ABD的值即可．
【详解】解：（1）解：∵对角线AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠EDC=90°；
（2）证明：连接DO，
∵∠EDC=90°，F是EC的中点，
∴DF=FC，
∴∠FDC=∠FCD，
∵OD=OC，
∴∠OCD=∠ODC，
∵∠OCF=90°，
∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，
∴DF是⊙O的切线；
（3）解：如图所示：可得∠ABD=∠ACD，
∵∠E+∠DCE=90°，∠DCA+∠DCE=90°，
∴∠DCA=∠E，
又∵∠ADC=∠CDE=90°，
∴△CDE∽△ADC，
∴，
∴DC2=AD•DE
∵AC=2DE，
∴设DE=x，则AC=2x，
则AC2﹣AD2=AD•DE，
期（2x）2﹣AD2=AD•x，
整理得：AD2+AD•x﹣20x2=0，
解得：AD=4x或﹣4.5x（负数舍去），
则DC=，
故tan∠ABD=tan∠ACD=．
24. 在中，，点是直线上的一动点（不与点重合），连接，在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，点是的中点，连接．
【问题发现】（1）如图（1），当点是的中点时，线段与的数量关系是_________，位置关系是__________．
【猜想证明】（2）如图（2），当点在边上且不是的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图（2）中的情况给出证明；若不成立，请说明理由．
【拓展应用】（3）若，其他条件不变，连接，．当是等边三角形时，直接写出的面积．
【答案】（1），（2）结论仍然成立，见详解（3）或
【解析】
【分析】（1）由题意知，，是等腰直角三角形，由是等腰直角三角形可知为中点，进而可知是的中位线，根据中位线的性质证明即可；
（2）如图2，延长到，使，连接，证明，可得，，证明，可得，．
（3）分两种情况求解：①如图3，作，垂足为，，垂足为，由题意知，，，，，由 ，由（2）知，求解的值，进而由计算求解即可； ②如图4，作，垂足为，，垂足为M，，垂足为N，与的交点为，由题意知，，，可得，根据，求的值，进而得到的值，由证明，有，求解的值，由（2）知求出的值，根据计算求解即可．
【详解】解：（1）∵点D是的中点
∴，
∴是等腰直角三角形
∵是等腰直角三角形
∴为中点
∵点H是的中点
∴是的中位线
∴
∴
（2）结论仍然成立． 理由如下：
如图2，延长到，使，连接，．
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，，
，．
（3）分两种情况求解：
①如图3，作，垂足为，，垂足为
由题意知，，，
∴
∴，
∴
∴
由（2）知
∴
②如图4，作，垂足为，，垂足为M，，垂足为N，与的交点为，
由题意知
∴，
∴
∵
∴，
∴，
∴
∵，
∴
∴，
∴，
解得，
由（2）知，
∴；
综上所述，的面积为或．
【点睛】本题考查了中位线，等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，等边三角形的性质等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用．
25. 抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴正半轴交于点C．
（1）如图1，若，，
①求抛物线的解析式；
②Р为抛物线上一点，连接、，若，求点P的坐标；
（2）如图2，D为x轴下方抛物线上一点，连，，若，求点D的纵坐标．
【答案】（1）①；②；（2）
【解析】
【分析】（1）①将点A、B坐标代入解析式求出b、c的值即可得；
②过点C作直线，过点A作交L于点E，过点Р作交l于点F；可得，设点Р坐标为，列出比例式，求出m即可；
（2）作DI⊥x轴，证△IBD∽△IDA，设D点坐标为，列出比例式，求出，变形即可．
【详解】解：（1）①，代入得：
，解得
∴
②过点C作直线，过点A作交L于点E，过点Р作交l于点F，
∵，，
∴，
∵
∴
∴
设Р点坐标为
∴
∴
解得，，（舍去），把代入，，
∴
（2）作轴，垂足为I
∵，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
设D点坐标为
，即，
D为x轴下方抛物线上一点，即且化简得，，
∴
∴
∴D的纵坐标．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质等知识点．机床/星期
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
甲
2
0
4
3
2
乙
1
3
4
0
4
－5
－4
－2
0
2
6
0
－6
－4
6
1．答题前请考生仔细阅读答题卡上的注意事项，并务必按照相关要求作答．
2．考试结束后，监考人员将本试卷和答题卡一并收回．
第I卷（选择题 共48分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．）
1. 下列各数，，，，，，中，无理数有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】B
【解析】
【分析】整数和分数统称为有理数，无限不循环小数统称为无理数，据此定义逐项分析判断．
【详解】解：，，，为有理数；
是无理数，是无理数，
，为开方开不尽的数，为无理数，
为开方开不尽的数，
为无理数，故无理数有3个，
故选B．
【点睛】本题考查算术平方根、立方根、无理数等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
2. 如图，是由若干个相同的小正方形搭成的一个几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小正方形的个数不可能是（ ）该试卷源自 每日更新，提供24小时找卷服务，全网性价比高。
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】根据主视图和左视图画出可能的俯视图即可解答.
【详解】由主视图和左视图得到俯视图中小正方形的个数可能为：
∴这个几何体的小正方形的个数可能是3个、4个或5个，
故选：D.
【点睛】此题考查由三视图判断几何体，正确掌握各种简单几何体的三视图是解题的关键.
3. 下列计算中，结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由完全平方公式可判断A，由同底数幂的除法运算可判断B，由多项式乘以多项式的法则可判断C，由合并同类项的法则可判断D，从而可得答案．
【详解】解：，故A不符合题意；
，故B符合题意；
，故C不符合题意；
，故D不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查的是合并同类项，同底数幂的除法运算，多项式乘以多项式，完全平方公式的应用，掌握“以上基础运算”是解本题的关键．
4. 1968年科学家发现世界上最小的物质是夸克，物质就是由这种极其小的物质而构成的，夸克有多小呢？它的大小是1介米，约为原子核的百万分之一．百万分之一用科学记数法表示为（ ）
A. 1×10-5B. 1×10-6C. 1×106D. 1×10-8
【答案】B
【解析】
【分析】先把百万分之一变成数字的形式，再用科学记数法表示.
【详解】解：百万分之一即＝1×10－6.
故选：B.
【点睛】本题考查了科学记数法表示绝对值比1小的数，形式为a×10－n，其中1≤a＜10，指数中的n等于第一个非0数前面0的个数.
5. 如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在上，，，，，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质定理和三角形外角的性质，利用三角板的度数可得，，由平行线的性质定理可得，利用三角形外角的性质可得结果．
【详解】解：如图，
，，
，
，，
，
，
，
，
故选：C．
6. 甲乙两台机床同时生产同一种零件， 在某周的工作日内，两台机床每天生产次品的个数整理成甲、乙两组数据，如下表：关于以上数据，下列说法正确的是（ ）
A. 甲、乙的众数相同B. 甲、乙的中位数相同C. 甲的平均数大于乙的平均数D. 甲的方差小于乙的方差
【答案】D
【解析】
【分析】分别计算出甲、乙两组数据的平均数、众数、中位数及方差，再进一步求解可得．
【详解】A.甲众数是2、乙的众数是4，故众数不相同，A选项错误；
B.甲的中位数是2、乙的中位数3，故中位数不相同，B选项错误；
C.甲的平均数=2.2，乙的平均数=2.4， 所以甲的平均数小于乙的平均数，C选项错误；
D.甲的方差=1.76，乙的方差=2.64，甲的方差小于乙的方差正确，D选项正确；
故选D.
【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握平均数、众数、中位数及方差的定义．
7. 如图，点，，是上的三点．若，，则的大小为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据圆周角定理求得的度数，根据的度数求即可．
【详解】解：∵
∴∠BOC=2，
∵，
，
故选：B．
【点睛】考查了圆周角定理及两锐角互余性质，求得的度数是解题的关键．
8. 如果关于x的一元二次方程x2+2x+6-b=0有两个相等的实数根x1=x2=k，则直线y=kx+b必定经过的象限是( )
A. 一、二、三B. 一、二、四C. 二、三、四D. 一、三、四
【答案】B
【解析】
【分析】一元二次方程x2+2x+6-b=0有两个相等的实数根，则判别式的值为0，就要以求出b的值，由根与系数的关系可得2k=-2，就可以求出k的值，进而可以判断一次函数经过的象限．
【详解】∵关于x的一元二次方程x2+2x+6-b=0有两个相等的实数根x1=x2=k，
∴△=22-4×(6-b)=0，
∴b=5，
由根与系数的关系，得2k=-2，
∴k=-1，
∴直线y=kx+b经过第一、二、四象限．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，一次函数的图象及性质，综合运用一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键．
9. 如图，AB是⊙O的弦，等边三角形OCD的边CD与⊙O相切于点P，连接OA，OB，OP，AD．若∠COD+∠AOB＝180°， AB＝6，则AD的长是（ ）
A. 6B. 3C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】如图，过作于 过作于 先证明三点共线，再求解的半径， 证明四边形是矩形，再求解 从而利用勾股定理可得答案.
【详解】解：如图，过作于 过作于
是的切线，
三点共线，
为等边三角形，
四边形是矩形，
故选：
【点睛】本题考查的是等腰三角形，等边三角形的性质，勾股定理的应用，矩形的判定与性质，切线的性质，锐角三角函数的应用，灵活应用以上知识是解题的关键.
10. 如图，胡同左右两侧是竖直的墙，一架米长的梯子BC斜靠在右侧墙壁上，测得梯子与地面的夹角为45°，此时梯子顶端B恰巧与墙壁顶端重合．因梯子阻碍交通，故将梯子底端向右移动一段距离到达D处，此时测得梯子AD与地面的夹角为60°，则胡同左侧的通道拓宽了（ ）
A. 米B. 3米C. 米D. 米
【答案】D
【解析】
【分析】根据等腰直角三角形的性质分别求出EC、EB，根据正切的定义求出DE，结合图形计算得到答案．
【详解】解：在中，，
（米，
在中，，
（米，
米，
故选：D．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
11. 如图，在正方形ABCD中，AB=1，E，F分别是边BC，CD上的点，连接EF、、AF，过A作AH⊥EF于点H. 若，那么下列结论：①平分；②FH=FD；③∠EAF=45°；④；⑤△CEF的周长为2.
其中正确结论的个数是
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】
【详解】此题考直角三角形全等的判定定理和性质定理的应用、勾股定理的应用、三角形周长和面积的计算、整式的化简与运算等综合知识，属于难题；考查学生的综合运用知识解决问题的能力和逻辑推理论证能力；如图所示
设，由已知得；因为
，所以
，所以，所以，即平分，所以①正确；同理，且
，所以②③正确；因为，即④正确；由前面可知：△CEF的周长为，所以⑤正确，所以选D；
12. 如图，矩形ABCD的边，，点E在边上，且，F为边上的一个动点，连接，将线段绕点E顺时针旋转90°得到，连接，则的最小值为（ ）
A. 2B. 3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由旋转的性质可得AE=HE，AF=HG，∠A=∠H=∠AEH=90°，则点G在平行于AB，且与AB的距离为1的直线上运动，即当HG=AD=3时，GC有最小值，由勾股定理可求解．
【详解】解：将△AEF绕点E顺时针旋转90°得到△HEG，延长HG交BC于点N，
∴AE=HE=1，AF=HG，∠A=∠H=∠AEH=90°，
∴HG∥AB，
则点G在平行于AB，且与AB的距离为1的直线上运动，
∴当HG=AD=3时，GC有最小值，
∵∠HEB=∠B=∠EHN=90°，
∴四边形EHNB是矩形，
∴HE=BN=1，BE=HN=6，
∴CN=2，GN=3，
∴CG=，
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，确定点G在平行于AB且与AB的距离为1的直线上运动是解题的关键．
第II卷（非选择题 共102分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中的横线上．）
13. 计算：＝_______．
【答案】4
【解析】
【分析】根据二次根式的运算法则，先算乘法，再算加减法，即可．
【详解】解：原式=
=
=
=4．
故答案是：4．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的乘法法则，是解题的关键．
14. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹每人六竿多十四，每人八竿恰齐足”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知与多少人和竹竿每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”若设有牧童x人，根据题意，可列方程为__________．
【答案】6x+14=8x
【解析】
【分析】设有牧童x人，根据“每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”，竹竿的总数不变，列出方程，即可．
【详解】解：设有牧童x人，
根据题意得：6x+14=8x，
故答案是：6x+14=8x．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际应用，根据等量关系，列出方程，是解题的关键．
15. 如图，在△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，若点D是AB的中点，分别以点A、B为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的周长是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理首先求出AB，由于D是AB中点,因此就可以得到圆的半径AD，从而计算得到CE、CF, 在△ABC中，AC＝BC＝4,可得∠A＝∠B＝45°，利用圆弧的计算公式，计算 的值．
【详解】解：∵AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，
∴AB＝4，
又点D是AB中点，
∴AD＝BD＝2，
由题意知∠A＝∠B＝45°，AD＝AE＝BD＝BF＝2，
则阴影部分周长为2×（4﹣2+）＝8﹣4+π，
故答案为8﹣4+π．
【点睛】本题主要考查圆弧长的计算公式，结合直角三角形，关键在于计算圆弧的半径，此题综合性比较强．
16. 如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．若CF＝3，则tan＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】连接AF，设CE＝x，用x表示AE、EF，再证明∠AEF＝90°，由勾股定理得通过AF进行等量代换列出方程便可求得x，再进一步求出B′C′，便可求得结果．
【详解】解：连接AF，设CE＝x，则C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10﹣x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2，
EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9，
由折叠知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF，
∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°，
∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°，
∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173，
∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125，
∴2x2﹣20x+173＝125，
解得，x＝4或6，
当x＝6时，EC＝EC′＝6，BE＝B′E＝8﹣6＝2，EC′＞B′E，不合题意，应舍去，
∴CE＝C′E＝4，
∴B′C′＝B′E﹣C′E＝（10﹣4）﹣4＝2，
∵∠B′＝∠B＝90°，AB′＝AB＝8，
∴tan∠B'AC′＝=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握折叠的性质是解题关键．
17. 已知二次函数（，，是常数，）的与的部分对应值如下表：
下列结论：
①
②当时，的值随的增大而减小
③方程有两个不相等的实数根
④当时，函数有最小值－6
其中，正确结论的序号是______（把所有正确结论的序号都填上）
【答案】①②③
【解析】
【分析】任意取表格中的三组对应值，求出二次函数的关系式为，可判断①，求解抛物线的对称轴方程为，可判断②，由方程为，再根据一元二次方程根的判别式可判断③，由二次函数的对称轴方程为，可得函数的最小值，可判断④，从而可得答案．
【详解】解：将代入得：
，
解得：，
∴抛物线的关系式为， a=1＞0，因此①符合题意；
对称轴为，即当＜时，的值随的增大而减小，
则当时，的值随的增大而减小，因此②符合题意；
方程，也就是，
即方程，由＞0
可得有两个不相等的实数根，因此③符合题意；
由抛物线的对称轴方程为，
所以当时，函数有最小值，
因此④不符合题意；
综上正确的结论有：①②③，
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的联系，理解和掌握二次函数的图象与系数的关系是正确判断的关键．
18. 若，则称是以10为底的对数．记作：．例如：，则；，则，对数运算满足：当，时，，例如：，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是自定义运算，通过阅读自定义运算规则：，再得到 再通过提取公因式后逐步进行运算即可得到答案．
【详解】解： ，
．
故答案为：．
三、解答题（本大题共7个小题，共78分，解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．）
19. （1）先化简，再求值：，其中．
（2）解不等式组：并写出它的所有整数解．
【答案】（1）；（2），所有整数解为：，，．
【解析】
【分析】此题考查了分式的化简求值，分母有理化，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则及不等式组的解法是解本题的关键．
（1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出整数解即可．
【详解】（1）解：
当时，原式
（2）解不等式①得：
解不等式②得：
不等式组的解集为：
它的所有整数解为：，，
20. 如图，已知反比例函数的图象与反比例函数的图象关于轴对称，，是函数图象上的两点，连接，点是函数图象上的一点，连接，.
（1）求，的值；
（2）求所在直线的表达式；
（3）求的面积.
【答案】（1）m=1,n=2.（2）y=-x+5；（3）
【解析】
【详解】分析: （1）先把A点坐标代入 得k1=4，则反比例函数解析式为y=（x＞0），再利用反比例解析式确定B点坐标即可求出m的值,根据两个反比例函数的图象关于轴对称，可得k₂=-4,又由点是函数图象上的一点即可求出n的值；
（2）根据A,B两点坐标利用待定系数法即可求出一次函数解析式.
（3）自A,B,C三点分别向x轴作垂线,垂足分别为A′,B′,C′，然后根据三角形面积公式和进行计算.
详解:
（1）由A（1，4），B（4，m）是函数（x>0）图象上的两点，
∴4=，k1=4,
∴（x>0）
∴m=.
∵（x<0）的图象和（x>0）的图象关于y轴对称，
∴点A（1，4）关于y轴的对称点A1（-1，4）在（x<0）的图象上，
∴4=，k2=-4,
∴
由点C（-2，n）是函数图象上的一点，
∴n=2.
(2设AB所在直线的表达式为y=kx+b,
将A（1，4），B（4，1）分别代入y=kx+b，得
解这个二元一次方程组，得.
∴AB所在直线表达式为：y=-x+5
（3）自A,B,C三点分别向x轴作垂线,垂足分别为A′,B′,C′,
CC′=2,AA′=4,BB′=1,C′A′=3,A′B′=3,C′B′=6.
∴′
=×(2+4) ×3+×(1+4) ×3-×(2+1) ×6=
点睛：本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，以及用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，是基础知识要熟练掌握.
21. 某学校要开展校园文化艺术节活动，为了合理编排节目，对学生最喜爱的歌曲、舞蹈、小品、相声四类节目进行了一次随机抽样调查（每名学生必须选择且只能选择一类），并将调查结果绘制成如下不完整统计图．
请你根据图中信息，回答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生．
（2）在扇形统计图中，“歌曲”所在扇形的圆心角等于 度．
（3）补全条形统计图（标注频数）．
（4）根据以上统计分析，估计该校2000名学生中最喜爱小品的人数为 人．
（5）九年一班和九年二班各有2名学生擅长舞蹈，学校准备从这4名学生中随机抽取2名学生参加舞蹈节目的编排，那么抽取的2名学生恰好来自同一个班级的概率是多少？
【答案】（1）50 （2）
（3）见详解 （4）
（5）
【解析】
【分析】（1）用最喜爱相声类的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数；
（2）用360°乘以最喜爱歌曲类人数所占的百分比得到“歌曲”所在扇形的圆心角的度数；
（3）先计算出最喜欢舞蹈类的人数，然后补全条形统计图；
（4）用1500乘以样本中最喜爱小品类的人数所占的百分比即可；
（5）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽取的2名学生恰好来自同一个班级的结果数，然后根据概率公式求解．
【小问1详解】
解：（人），
所以本次共调查了50名学生，
故答案为50；
【小问2详解】
解：在扇形统计图中，“歌曲”所在扇形的圆心角的度数：，
故答案72；
【小问3详解】
解：最喜欢舞蹈类人数为（人），
补全条形统计图为：
【小问4详解】
解：（人），
估计该校2000名学生中最喜爱小品的人数为人，
故答案为640；
【小问5详解】
解：用代表九年一班的学生，代表九年二班的学生，
画树状图为：
共有种等可能的结果数，其中抽取的名学生恰好来自同一个班级的结果数为，
所以抽取的名学生恰好来自同一个班级的概率．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图．注重数形结合以及列举法求解概率的知识，是解答本题的关键．
22. 某汽车贸易公司销售A、B两种型号的新能源汽车，A型车进货价格为每台12万元，B型车进货价格为每台15万元，该公司销售2台A型车和5台B型车，可获利3.1万元，销售1台A型车和2台B型车，可获利1.3万元．
（1）求销售一台A型、一台B型新能源汽车的利润各是多少万元？
（2）该公司准备用不超过300万元资金，采购A、B两种新能源汽车共22台，问最少需要采购A型新能源汽车多少台？
【答案】（1）销售每台A型车的利润为0.3万元，每台B型车的利润为0.5万元；（2）最少需要采购A型新能源汽车台．
【解析】
【分析】（1）设每台A型车的利润为x万元，每台B型车的利润为y万元，根据题意中的数量关系列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）先求出每台A型车和每台B型车的采购价，根据“用不超过300万元资金，采购A、B两种新能源汽车共22台”列出不等式求解即可．
【详解】解：（1）设每台A型车的利润为x万元，每台B型车的利润为y万元，根据题意得，
解得，
答：销售每台A型车的利润为0.3万元，每台B型车的利润为0.5万元；
（2）因为每台A型车的采购价为：12万元，每台B型车的采购价为：15万元，
设最少需要采购A型新能源汽车m台，则需要采购B型新能源汽车(22-m)台，根据题意得，
解得，
∵m是整数，
∴m的最小整数值为，
即，最少需要采购A型新能源汽车台．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用和二元一次方程组的应用，解答此题的关键是找出题中的数量关系．
23. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．
（1）求∠CDE的度数；
（2）求证：DF是⊙O的切线；
（3）若AC=DE，求tan∠ABD的值．
【答案】（1）90°；（2）证明见解析；（3）2．
【解析】
【分析】（1）根据圆周角定理即可得∠CDE的度数；（2）连接DO，根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质易证∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，即可判定DF是⊙O的切线；（3）根据已知条件易证△CDE∽△ADC，利用相似三角形的性质结合勾股定理表示出AD，DC的长，再利用圆周角定理得出tan∠ABD的值即可．
【详解】解：（1）解：∵对角线AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠EDC=90°；
（2）证明：连接DO，
∵∠EDC=90°，F是EC的中点，
∴DF=FC，
∴∠FDC=∠FCD，
∵OD=OC，
∴∠OCD=∠ODC，
∵∠OCF=90°，
∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，
∴DF是⊙O的切线；
（3）解：如图所示：可得∠ABD=∠ACD，
∵∠E+∠DCE=90°，∠DCA+∠DCE=90°，
∴∠DCA=∠E，
又∵∠ADC=∠CDE=90°，
∴△CDE∽△ADC，
∴，
∴DC2=AD•DE
∵AC=2DE，
∴设DE=x，则AC=2x，
则AC2﹣AD2=AD•DE，
期（2x）2﹣AD2=AD•x，
整理得：AD2+AD•x﹣20x2=0，
解得：AD=4x或﹣4.5x（负数舍去），
则DC=，
故tan∠ABD=tan∠ACD=．
24. 在中，，点是直线上的一动点（不与点重合），连接，在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，点是的中点，连接．
【问题发现】（1）如图（1），当点是的中点时，线段与的数量关系是_________，位置关系是__________．
【猜想证明】（2）如图（2），当点在边上且不是的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图（2）中的情况给出证明；若不成立，请说明理由．
【拓展应用】（3）若，其他条件不变，连接，．当是等边三角形时，直接写出的面积．
【答案】（1），（2）结论仍然成立，见详解（3）或
【解析】
【分析】（1）由题意知，，是等腰直角三角形，由是等腰直角三角形可知为中点，进而可知是的中位线，根据中位线的性质证明即可；
（2）如图2，延长到，使，连接，证明，可得，，证明，可得，．
（3）分两种情况求解：①如图3，作，垂足为，，垂足为，由题意知，，，，，由 ，由（2）知，求解的值，进而由计算求解即可； ②如图4，作，垂足为，，垂足为M，，垂足为N，与的交点为，由题意知，，，可得，根据，求的值，进而得到的值，由证明，有，求解的值，由（2）知求出的值，根据计算求解即可．
【详解】解：（1）∵点D是的中点
∴，
∴是等腰直角三角形
∵是等腰直角三角形
∴为中点
∵点H是的中点
∴是的中位线
∴
∴
（2）结论仍然成立． 理由如下：
如图2，延长到，使，连接，．
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，，
，．
（3）分两种情况求解：
①如图3，作，垂足为，，垂足为
由题意知，，，
∴
∴，
∴
∴
由（2）知
∴
②如图4，作，垂足为，，垂足为M，，垂足为N，与的交点为，
由题意知
∴，
∴
∵
∴，
∴，
∴
∵，
∴
∴，
∴，
解得，
由（2）知，
∴；
综上所述，的面积为或．
【点睛】本题考查了中位线，等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，等边三角形的性质等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用．
25. 抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴正半轴交于点C．
（1）如图1，若，，
①求抛物线的解析式；
②Р为抛物线上一点，连接、，若，求点P的坐标；
（2）如图2，D为x轴下方抛物线上一点，连，，若，求点D的纵坐标．
【答案】（1）①；②；（2）
【解析】
【分析】（1）①将点A、B坐标代入解析式求出b、c的值即可得；
②过点C作直线，过点A作交L于点E，过点Р作交l于点F；可得，设点Р坐标为，列出比例式，求出m即可；
（2）作DI⊥x轴，证△IBD∽△IDA，设D点坐标为，列出比例式，求出，变形即可．
【详解】解：（1）①，代入得：
，解得
∴
②过点C作直线，过点A作交L于点E，过点Р作交l于点F，
∵，，
∴，
∵
∴
∴
设Р点坐标为
∴
∴
解得，，（舍去），把代入，，
∴
（2）作轴，垂足为I
∵，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
设D点坐标为
，即，
D为x轴下方抛物线上一点，即且化简得，，
∴
∴
∴D的纵坐标．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质等知识点．机床/星期
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
甲
2
0
4
3
2
乙
1
3
4
0
4
－5
－4
－2
0
2
6
0
－6
－4
6
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