江西省南昌市青山湖区2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷

这是一份江西省南昌市青山湖区2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷，共25页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）国家提倡推行生活垃圾分类，下列垃圾分类标志分别是厨余垃圾、有害垃圾、可回收物和其他垃圾，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）已知a＜b＜0，则下列各式中，正确的是（ ）
A．3a＞3bB．a2＜b2
C．﹣4a+1＞﹣4b+1D．
3．（3分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转50°后得到△COD，若∠AOB＝20°，则∠AOD的度数是（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
4．（3分）如图，函数y＝kx和y＝ax+b的图象交于点P，根据图象可得不等式kx＜ax+b的解集是（ ）该试卷源自 每日更新，提供24小时找卷服务，全网性价比高。
A．x＜﹣3B．x＞﹣3C．x＜1D．x＞1
5．（3分）下列命题中，逆命题是假命题的是（ ）
A．全等三角形的对应边相等
B．等腰三角形的两底角相等
C．对顶角相等
D．等边三角形的每个角都等于60°
6．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB＝90°+∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．①③
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）在△ABC中，∠B＝∠C，若添加一个条件使△ABC是等边三角形，则添加的条件可以是 ．（写出一个即可）
8．（3分）关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则此不等式组的解集是 ．
9．（3分）如图△ABC中，∠C＝90°，AM平分∠BAC，CM＝4cm，AB＝7cm，则△ABM的面积是 cm2．
10．（3分）在平面直角坐标系中，点P（3，﹣4）关于原点对称点P′的坐标是 ．
11．（3分）若不等式组有三个非负整数解，则m的取值范围是 ．
12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝28°，O为斜边中点，将OA绕着点O逆时针旋转θ（0°＜θ＜180°）至OP，当△BCP为等腰三角形时，θ的值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，每小题3分，共30分）
13．（3分）解不等式.2（x﹣1）≤10（x﹣3）﹣4，并把它的解集表示在数轴上．
14．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，若∠B＝25°，求∠CAE的度数．
15．（6分）仅用无刻度的直尺作出符合下列要求的图形．
（1）如图甲，在射线OP、OQ上已截取OA＝OB，OE＝OF．试过点O作射线OM，使得OM将∠POQ平分；
（2）如图乙，在射线OP、OQ、OR上已截取OA＝OB＝OC，OE＝OF＝OG（其中OP、OR在同一根直线上）．试过点O作一对射线OM、ON，使得OM⊥ON．
16．（6分）如图，将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置．
（1）若AC＝6cm，则BE＝ cm；
（2）若∠CAB＝50°，∠BDE＝100°，求∠CBE的度数．
17．（6分）已知﹣3x+y＝6．
（1）用含x的代数式表示y，则y＝ ；
（2）若y为非负数，则x的取值范围是 ；
（3）若﹣3≤y＜3，求整数x的值．
18．（6分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，AB＝AD，将线段AC绕点A逆时针旋转到AE的位置，使得∠CAE＝∠BAD，连接DE，交AC于点F．
（1）求证：BC＝DE；
（2）若∠ABC＝75°，∠ACB＝25°，求∠AFD的度数．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
19．（8分）已知不等式组．
（1）求此不等式组的整数解；
（2）若上述整数解满足方程3（x+a）﹣5a+2＝0，求代数式的值．
20．（8分）如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且AE＝AB．
（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数；
（2）若△ABC周长26cm，AC＝10cm，求AB+BD长．
21．（8分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；
（3）P为x轴上一动点，当AP+CP有最小值时，写出点P的坐标 ．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
22．（9分）某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满．
（1）求原计划租用A种客车多少辆？这次研学去了多少人？
（2）若该校计划租用A、B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？
（3）在（2）的条件下，若A种客车租金为每辆220元，B种客车租金每辆300元，应该怎样租车才最合算？
23．（9分）如图，在△ABC中，∠C＝90，∠A＝30，AB＝60cm，动点P、Q同时从 A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，点P的运动速度为2cm/s，点Q的运动速度为1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t s．
（1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？
（2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？
六、解答题（本大题共12分）
24．（12分）已由在△ABC中，AB＝AC，过点B引一条射线BM，D是BM上一点．
【问题解决】
（1）如图1，若∠ABC＝60°，射线BM在∠ABC内郃，∠ADB＝60°，求证：∠BDC＝60°．
小明的做法是：在BM上取一点E，使得AE＝AD，再通过已知条件，求得∠BDC的度数．
请你帮助小明写出证明过程：
【类比探究】
（2）如图2，已知∠ABC＝∠ADB＝30°．当射线BM在∠ABC内，求∠BDC的度数．
【变式迁移】
（3）如图3，已知∠ABC＝∠ADB＝30°．当射线BM在BC下方，∠BDC的度数是否会发生变化？若改变，请求出∠BDC的度数：若不变，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置。错选、多选或未选均不得分。
1．（3分）国家提倡推行生活垃圾分类，下列垃圾分类标志分别是厨余垃圾、有害垃圾、可回收物和其他垃圾，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
C．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
2．（3分）已知a＜b＜0，则下列各式中，正确的是（ ）
A．3a＞3bB．a2＜b2
C．﹣4a+1＞﹣4b+1D．
【解答】解：∵a＜b＜0，
∴a＜b，
∴根据不等式的性质2，得3a＜3b；
根据不等式的性质3，得a2＞ab＞b2，即a2＞b2；
根据不等式的性质1和3，得﹣4a+1＞﹣4b+1；
根据不等式的性质3，得，
∴选项C符合题意，选项A，B，D不符合题意，
故选：C．
3．（3分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转50°后得到△COD，若∠AOB＝20°，则∠AOD的度数是（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
【解答】解：由题意及旋转变换的性质得：∠BOD＝50°，
∵∠AOB＝20°，
∴∠AOD＝50°﹣20°＝30°，
故选：B．
4．（3分）如图，函数y＝kx和y＝ax+b的图象交于点P，根据图象可得不等式kx＜ax+b的解集是（ ）
A．x＜﹣3B．x＞﹣3C．x＜1D．x＞1
【解答】解：不等式kx＜ax+b的解集为x＞﹣3．
故选：B．
5．（3分）下列命题中，逆命题是假命题的是（ ）
A．全等三角形的对应边相等
B．等腰三角形的两底角相等
C．对顶角相等
D．等边三角形的每个角都等于60°
【解答】解：A、“全等三角形的对应边相等”的逆命题为“对应边相等的三角形全等”，此逆命题为真命题，不符合题意；
B、“等腰三角形的两底角相等”的逆命题为“两底角相等的三角形为等腰三角形”，此逆命题为真命题，不符合题意；
C、“对顶角相等”的逆命题为“相等的角为对顶角”，此逆命题为假命题，符合题意；
D、“等边三角形的每个角都等于60°”的逆命题为“每个角都等于60°的三角形为等边三角形”，此逆命题为真命题，不符合题意；
故选：C．
6．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB＝90°+∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．①③
【解答】解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴∠OBA＝∠CBA，∠OAB＝∠CAB，
∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°﹣∠CBA﹣∠CAB＝180°﹣（180°﹣∠C）＝90°+∠C，①正确；
∵∠C＝60°，
∴∠BAC+∠ABC＝120°，
∵AE，BF分别是∠BAC与ABC的平分线，
∴∠OAB+∠OBA＝（∠BAC+∠ABC）＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AOF＝60°，
∴∠BOE＝60°，
如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠HBO＝∠EBO，
在△HBO和△EBO中，，
∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴∠BOH＝∠BOE＝60°，
∴∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠AOH＝∠AOF，
在△HAO和△FAO中，
，
∴△HAO≌△FAO（ASA），
∴AF＝AH，
∴AB＝BH+AH＝BE+AF，故②正确；
作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴点O在∠C的平分线上，
∴OH＝OM＝OD＝a，
∵AB+AC+BC＝2b，
∴S△ABC＝×AB×OM+×AC×OH+×BC×OD＝（AB+AC+BC）•a＝ab，③正确．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）在△ABC中，∠B＝∠C，若添加一个条件使△ABC是等边三角形，则添加的条件可以是 ∠B＝∠A（答案不唯一） ．（写出一个即可）
【解答】解：添加∠B＝∠A．
∵∠A＝∠B，∠B＝∠C，
∴∠A＝∠B＝∠C，
∴△ABC是等边三角形．
故答案为：∠B＝∠A．（答案不唯一）
8．（3分）关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则此不等式组的解集是 ﹣1＜x≤3 ．
【解答】解：由数轴知此不等式组的解集是﹣1＜x≤3，
故答案为：﹣1＜x≤3．
9．（3分）如图△ABC中，∠C＝90°，AM平分∠BAC，CM＝4cm，AB＝7cm，则△ABM的面积是 14 cm2．
【解答】解：如图，过点M作MD⊥AB于D，
∵∠C＝90°，AM平分∠BAC，
∴MD＝MC＝4cm，
∴△ABM的面积＝AB•MD＝×7×4＝14（cm2）．
故答案为：14．
10．（3分）在平面直角坐标系中，点P（3，﹣4）关于原点对称点P′的坐标是 （﹣3，4） ．
【解答】解：点P（3，﹣4）关于原点对称点P′的坐标是（﹣3，4）．
故答案为：（﹣3，4）．
11．（3分）若不等式组有三个非负整数解，则m的取值范围是 2＜m≤3 ．
【解答】解：，
解不等式①得：x＜m，
解不等式②得：x≥﹣3，
∵不等式组有三个非负整数解，
∴不等式组三个非负整数解是0，1，2，
∴2＜m≤3．
12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝28°，O为斜边中点，将OA绕着点O逆时针旋转θ（0°＜θ＜180°）至OP，当△BCP为等腰三角形时，θ的值为 56°或68°或62° ．
【解答】解：如图1，连接AP，
∵O为斜边中点，OP＝OA，
∴OB＝OP＝OA，
∴∠OBP＝∠OPB，∠OPA＝∠OAP，
而∠OBP+∠OPB+∠OPA+∠OAP＝180°，
∴∠OPB+∠OPA＝90°，
∴∠APB＝90°；
当BC＝BP时，∠BCP＝∠BPC，
∴∠BCP+∠ACP＝∠BPC+∠APC＝90°，
∴∠ACP＝∠APC，
∴AC＝AP，
∴AB垂直平分PC，
∴∠ABP＝∠ABC＝28°，
∴θ＝2∠ABP＝2×28°＝56°；
当BC＝PC时，
如图2，连接AP，连接OC并延长，交PB于点H，
∵BC＝PC，OB＝OP．
∴CH垂直平分PB，
∴∠CHB＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠BCH＝∠ABC＝28°，
∴∠CBH＝62°，
∴∠OBH＝34°，
∴θ＝2×34°＝68°；
当PB＝PC时，如图3，延长PO，交BC于点G，连接OC，AP，
∵∠ACB＝90°，O为斜边中点，
∴OB＝OC，
∴PG垂直平分BC，
∴∠BGO＝90°，
∵∠ABC＝28°，
∴θ＝∠BOG＝62°．
综上所述，当△BCP为等腰三角形时，θ的值为56°或68°或62°．
三、解答题（本大题共6小题，每小题3分，共30分）
13．（3分）解不等式.2（x﹣1）≤10（x﹣3）﹣4，并把它的解集表示在数轴上．
【解答】解：2（x﹣1）≤10（x﹣3）﹣4，
去括号，得：2x﹣2≤10x﹣30﹣4，
移项，得：2x﹣10x≤﹣30﹣4+2
合并同类项，得：﹣8x≤﹣32，
系数化为1，得：x≥4，
解集表示在数轴上为：
．
14．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，若∠B＝25°，求∠CAE的度数．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴EA＝EB，
∵∠B＝25°，
∴∠EAB＝∠B＝25°，
∵∠C＝90°，
∴∠CAB＝65°，
∴∠CAE＝65°﹣25°＝40°．
15．（6分）仅用无刻度的直尺作出符合下列要求的图形．
（1）如图甲，在射线OP、OQ上已截取OA＝OB，OE＝OF．试过点O作射线OM，使得OM将∠POQ平分；
（2）如图乙，在射线OP、OQ、OR上已截取OA＝OB＝OC，OE＝OF＝OG（其中OP、OR在同一根直线上）．试过点O作一对射线OM、ON，使得OM⊥ON．
【解答】解：（1）如图甲中，射线OM即为所求；
（2）如图乙中，射线ON、OM即为所求；
16．（6分）如图，将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置．
（1）若AC＝6cm，则BE＝ 6 cm；
（2）若∠CAB＝50°，∠BDE＝100°，求∠CBE的度数．
【解答】解：（1）∵将△ABC沿直线AB向右平移得到△BDE，
∴△ABC≌△BDE，
∴BE＝AC＝6cm，
故答案为：6；
（2）由（1）知△ABC≌△BDE，
∴∠DBE＝∠CAB＝50°、∠BDE＝∠ABC＝100°，
∴∠CBE＝180°﹣∠ABC﹣∠DBE＝30°．
17．（6分）已知﹣3x+y＝6．
（1）用含x的代数式表示y，则y＝ 3x+6 ；
（2）若y为非负数，则x的取值范围是 x≥﹣2 ；
（3）若﹣3≤y＜3，求整数x的值．
【解答】解：（1）∵﹣3x+y＝6，
∴y＝3x+6．
（2）∵y为非负数，
∴y≥0，
∴3x+6≥0，解得x≥﹣2．
（3）∵﹣3≤y＜3，
∴﹣3≤3x+6＜3，解得：﹣3≤x＜﹣1，
∵x为整数，
∴x＝﹣3，﹣2，
故整数x的值为：﹣3或﹣2．
18．（6分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，AB＝AD，将线段AC绕点A逆时针旋转到AE的位置，使得∠CAE＝∠BAD，连接DE，交AC于点F．
（1）求证：BC＝DE；
（2）若∠ABC＝75°，∠ACB＝25°，求∠AFD的度数．
【解答】（1）证明：由旋转的性质得AC＝AE，
∵∠CAE＝∠BAD，
∴∠CAE+∠CAD＝∠BAD+∠CAD，
∴∠DAE＝∠BAC，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴BC＝DE；
（2）解：∵AB＝AD，
∴∠ABC＝∠ADB＝75°，
∵△ABC≌△ADE，
∠ADE＝∠B＝75°，
∴∠CDF＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∵∠ACB＝25°，
∴∠AFD＝∠CDF+∠C＝30°+25°＝55°．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
19．（8分）已知不等式组．
（1）求此不等式组的整数解；
（2）若上述整数解满足方程3（x+a）﹣5a+2＝0，求代数式的值．
【解答】解：（1），
解①得：x≥﹣，
解②得：x＜1，
则不等式组的解集是﹣≤x＜1．
则不等式组的整数解是0．
（2）把x＝0代入代数式得3a﹣5a+2＝0，
解得：a＝1，
∴＝1﹣＝．
20．（8分）如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且AE＝AB．
（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数；
（2）若△ABC周长26cm，AC＝10cm，求AB+BD长．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，AE＝AB，EF垂直平分AC，
∴AB＝AE＝EC，
∴∠C＝∠CAE，
∵∠BAE＝40°，
∴∠AED＝×（180°﹣40°）＝70°，
∴∠C＝∠AED＝35°；
（2）∵△ABC周长26cm，AC＝10cm，
∴AB+BC＝16（cm），
∴AB+BE+EC＝16（cm），
∵AE＝AB，AD⊥BC，
∴BD＝DE，
∵AB＝AE＝EC，
即2BD+2AB＝16（cm），
∴AB+BD＝8（cm）．
21．（8分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；
（3）P为x轴上一动点，当AP+CP有最小值时，写出点P的坐标 （，0） ．
【解答】解：（1）如图1所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图2所示：△A2B2C2，即为所求；
（3）如图3所示：P点即为所求，
由图可知，MP∥NC，
∴＝，即＝，
∴MP＝，
∴P点横坐标为1+＝，
∴P点坐标为（，0），
故答案为：（，0）．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
22．（9分）某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满．
（1）求原计划租用A种客车多少辆？这次研学去了多少人？
（2）若该校计划租用A、B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？
（3）在（2）的条件下，若A种客车租金为每辆220元，B种客车租金每辆300元，应该怎样租车才最合算？
【解答】解：（1）设原计划租用A种客车x辆，则这次研学去了（45x+30）人，
根据题意得：45x+30＝60（x﹣6），
解得：x＝26，
∴45x+30＝45×26+30＝1200．
答：原计划租用A种客车26辆，这次研学去了1200人；
（2）设租用B种客车y辆，则租用A种客车（25﹣y）辆，
根据题意得：，
解得：5≤y≤7，
又∵y为正整数，
∴y可以为5，6，7，
∴该学校共有3种租车方案，
方案1：租用5辆B种客车，20辆A种客车；
方案2：租用6辆B种客车，19辆A种客车；
方案3：租用7辆B种客车，18辆A种客车；
（3）选择方案1的总租金为300×5+220×20＝5900（元）；
选择方案2的总租金为300×6+220×19＝5980（元）；
选择方案3的总租金为300×7+220×18＝6060（元）．
∵5900＜5980＜6060，
∴租用5辆B种客车，20辆A种客车最合算．
23．（9分）如图，在△ABC中，∠C＝90，∠A＝30，AB＝60cm，动点P、Q同时从 A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，点P的运动速度为2cm/s，点Q的运动速度为1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t s．
（1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？
（2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？
【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，
∵60÷2＝30，
∴0≤t≤30，BP＝（6﹣2t）cm，BQ＝t cm．
当BP＝BQ时，△PBQ为等边三角形，
即60﹣2t＝t，
∴t＝20；
当t＝20时，△PBQ为等边三角形；
（2）若△PBQ为直角三角形，
①当∠BQP＝90°时，BP＝2BQ，
即60﹣2t＝2t，
∴t＝15，
②当∠BPQ＝90°时，BQ＝2BP，
即t＝2（60﹣2t），
∴t＝24．
即当t＝15或t＝24时，△PBQ为直角三角形．
六、解答题（本大题共12分）
24．（12分）已由在△ABC中，AB＝AC，过点B引一条射线BM，D是BM上一点．
【问题解决】
（1）如图1，若∠ABC＝60°，射线BM在∠ABC内郃，∠ADB＝60°，求证：∠BDC＝60°．
小明的做法是：在BM上取一点E，使得AE＝AD，再通过已知条件，求得∠BDC的度数．
请你帮助小明写出证明过程：
【类比探究】
（2）如图2，已知∠ABC＝∠ADB＝30°．当射线BM在∠ABC内，求∠BDC的度数．
【变式迁移】
（3）如图3，已知∠ABC＝∠ADB＝30°．当射线BM在BC下方，∠BDC的度数是否会发生变化？若改变，请求出∠BDC的度数：若不变，请说明理由．
【解答】（1）证明：如图1，在BM上取一点E，使AE＝AD，
∵∠ADB＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠EAD＝60°，
∵AB＝AC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠BAC＝∠EAD，
∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC，即∠BAE＝∠CAD，
在△BAE和△CAD中，
，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴∠ADC＝∠AEB＝120°，
∴∠BDC＝120°﹣60°＝60°；
（2）解：如图2，在BD上取一点E，AE＝AD，
∵∠ABC＝∠ADB＝30°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，∠AED＝∠ADE＝30°，
∴∠BAC＝∠EAD＝120°，
∴∠BAE＝∠CAD，
在△BAE和△CAD中，
，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴∠ADC＝∠AEB＝180°﹣30°＝150°，
∴∠BDC＝150°﹣30°＝120°；
（3）∠BDC的度数会变化，
理由：如图3．在DB延长线上取一点E，使得AE＝AD，
同理①的方法可证：△BAE≌△CAD，
∴∠ADC＝∠E＝30°，
∴∠BDC＝∠ADE+∠ADC＝30°+30°＝60°．