2024年江苏省金陵中学、海安中学、南京外国语学校高考数学三模试卷-普通用卷

这是一份2024年江苏省金陵中学、海安中学、南京外国语学校高考数学三模试卷-普通用卷，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知全集U=R，集合M={x|2x≥1}，N={x|x≤3}，则M∩N=( )
A. (−∞,3]B. [0,1]C. [0,3]D. [1,3]
2.已知复数z满足z(1+i)=5+i，则复数z在复平面内所对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.下列结论中正确是( )
A. 若直线a，b为异面直线，则过直线a与直线b平行的平面有无数多个
B. 若平面α//平面β，直线m⊂α，点M∈β，则过点M有且只有一条直线与m平行
C. 若直线m与平面α内无数条直线平行，则直线m与平面α平行
D. 若直线l⊥平面α，则过直线l与平面α垂直的平面有且只有一个
4.抛物线y2=6x上一点M(x1,y1)到其焦点的距离为92，则点M到坐标原点的距离为( )
A. 3 3B. 2 3C. 3D. 2
5.对于函数y=f(x)，部分x与y的对应关系如表：
数列{xn}满足x1=2，且对任意n∈N*，点(xn,xn+1)都在函数y=f(x)的图象上，则x1+x2+x3+…+x2016的值为( )
A. 9400B. 9408C. 9410D. 9414
6.定义：一对轧辊的减薄率=输入该对的面带厚度−输出该对的面带厚度输入该对的面带厚度.如图所示，为一台擀面机的示意图，擀面机由若干对轧辊组成，面带从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.已知擀面机没对轧辊的减薄率都为0.2(轧面的过程中，面带宽度不变，且不考虑损耗).有一台擀面机共有10对轧辊，所有轧辊的横截面积均为640000πmm2，若第k对轧辊有缺陷，每滚动一周在面带上压出一个疵点，在擀面机输出的面带上，疵点的间距为Lk，则( )
A. Lk=1600×0.210−kmmB. Lk=1600×0.2k−10mm
C. Lk=1600×0.810−kmmD. Lk=1600×0.8k−10mm
7.已知函数f(x)的大致图象如图所示，则其解析式可能为( )
A. f(x)=2ex+e−x
B. f(x)=ex+e−x2
C. f(x)=2ex−e−x
D. f(x)=ex−e−x2
8.已知双曲线x23−y26=1，O为坐标原点，P，Q为双曲线上两动点，且OP⊥OQ，则1|OP|2+1|OQ|2=( )
A. 2B. 1C. 13D. 16
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知平面α的一个法向量为n1=(1,−2,−12)，平面β的一个法向量为n2=(−1,0,−2)，直线l的方向向量为a=(1,0,2)，直线m的方向向量为b=(0,1,−2)，则( )
A. l//αB. α⊥β
C. l与m为相交直线或异面直线D. a在b向量上的投影向量为(0,45,85)
10.已知函数f(x)=sinx⋅sin(x+π3)−14的定义域为[m,n](mA. 5π12B. 7π12C. 3π4D. 11π12
11.钻石是金刚石精加工而成的产品，是世界上最坚硬的、成分最简单的宝石，它是由碳元素组成的、具有立方结构的天然晶体．如图，已知某钻石形状的几何体由上、下两部分组成，上面为一个正六棱台ABCDEF−A1B1C1D1E1F1(上、下底面均为正六边形，侧面为等腰梯形)，下面为一个正六棱锥P−ABCDEF，其中正六棱台的上底面边长为a，下底面边长为2a，且P到平面A1B1C1的距离为3a，则下列说法正确的是( )
(台体的体积计算公式：V=13(S1+S2+ S1S2)h，其中S1，S2分别为台体的上、下底面面积，h为台体的高)
A. 若平面PAF⊥平面AFF1A1，则正六棱锥P−ABCDEF的高为3+ 152a
B. 若PA=2 2a，则该几何体的表面积为3 3+21 72a2
C. 该几何体存在外接球，且外接球的体积为50081πa3
D. 若该几何体的上、下两部分体积之比为7：8，则该几何体的体积为15 32a3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知(1−x)5+(1+x)7=a0−a1x+a2x2−a3x3+a4x4−a5x5+a6x6−a7x7，则a2+a4+a6的值为______.
13.已知θ∈(3π4,π),sinθ−csθ=2+ 53，则1−sin2θcs2θ=______.
14.已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=10，且对于任意x∈R都有f(x+20)≥f(x)+20，f(x+1)≤f(x)+1，若g(x)=f(x)−x+1，则g(10)=______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
记Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a6=S3+2，S6=4a5.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设Tn=(1−1S2)(1−1S3)(1−1S4)⋯(1−1Sn+1)，证明：1216.(本小题15分)
佛山顺德双皮奶是一种粤式甜品，上层奶皮甘香，下层奶皮香滑润口，吃起来，香气浓郁，入口嫩滑，让人唇齿留香．双皮奶起源于清朝末期，是用水牛奶做原料，辅以鸡蛋和白糖制成．水牛奶中含有丰富的蛋白质，包括酪蛋白和少量的乳清蛋白，及大量人体生长发有所需的氨基酸和微量元素．不过新鲜的水牛奶保质期较短．某超市为了保证顾客能购买到新鲜的水牛奶又不用过多存货，于是统计了50天销售水牛奶的情况，获得如下数据：
假设水牛奶日销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率．
(1)求接下来三天中至少有2天能卖出3件水牛奶的概率；
(2)已知超市存货管理水平的高低会直接影响超市的经营情况．该超市对水牛奶实行如下存货管理制度：当天营业结束后检查存货，若存货少于2件，则通知配送中心立即补货至3件，否则不补货．假设某天开始营业时货架上有3件水牛奶，求第二天营业结束后货架上有1件存货的概率．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥底面ABCD，M为线段PC的中点，PD=AD=1，N为线段BC上的动点、
(Ⅰ)证明：MD⊥PN；
(Ⅱ)当N为线段BC的中点时，求三棱锥A−MND的体积.
18.(本小题17分)
若函数f(x)=ax3+bx，当x=−2时函数f(x)有极值163.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求曲线y=f(x)过点P(3,−3)的切线方程．
19.(本小题17分)
某兴趣小组对小球在坚直平面内的匀速圆周运动进行研究，将圆形轨道装置放在如图1所示的平面直角坐标系中，此装置的圆心O距离地面高度为2m，半径为 3m，装置上有一小球P(视为质点)，P的初始位置在圆形轨道的最高处，开启装置后小球P按逆时针匀速旋转，转一周需要6min.小球P距离地面的高度H(单位：m)与时间t(单位：min)的关系满足H=rsin(ωt+φ)+h(r>0,ω>0,0≤φ<2π).
(1)写出H关于t的函数解析式，并求装置启动1min后小球P距离地面的高度；
(2)如图2，小球Q(视为质点)在半径为1m的另一圆形轨道装置上，两圆形轨道为同心圆，Q的初始位置在圆形轨道的最右侧，开启装置后小球Q以角速度为π3rad/min顺时针匀速旋转.两装置同时启动，求P，Q两球高度差的最大值.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵M={x|x≥0}，N={x|x≤3}，
∴M∩N=[0,3].
故选：C.
可求出集合M，然后进行交集的运算即可．
本题考查了描述法、区间的定义，指数函数的单调性，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：z(1+i)=5+i，
则z=5+i1+i=(5+i)(1−i)(1+i)(1−i)=3−2i，
故复数z在复平面内所对应的点(3,−2)位于第四象限．
故选：D.
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：若直线a，b为异面直线，则过直线a与直线b平行的平面有且仅有一个，故A错误；
若平面α//平面β，直线m⊂α，点M∈β，则过直线m与点M可确定平面γ，设γ∩β=b，
则b为过点M的唯一一条与直线m平行的直线，故B正确；
若直线m与平面α内无数条直线平行，则直线m与平面α平行或m⊂α，故C错误；
若直线l⊥平面α，则过直线l与平面α垂直的平面有无数个，故D错误．
故选：B.
由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
4.【答案】A
【解析】解：由题意知，焦点坐标为(32,0)，准线方程为x=−32，
由M(x1,y1)到焦点距离等于到准线距离，得x1+32=92，则x1=3，
∴y12=18，可得 x2+y2=3 3，
故选：A.
由抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，再由M(x1,y1)到其焦点的距离求得M横坐标，进一步求得M纵坐标，则答案可求．
本题考查抛物线的简单性质，考查抛物线定义的应用，体现了数学转化思想方法，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：∵数列{xn}满足x1=2，且对任意n∈N*，点(xn,xn+1)都在函数y=f(x)的图象上，
∴xn+1=f(xn)，
∵x1=2，
∴x2=f(x1)=f(2)=4，x3=f(x2)=f(4)=8，x4=f(x3)=f(8)=2，x5=f(x4)=f(2)=4，…，
故数列{xn}的周期为3，
故f(x1)+f(x2)+f(x3)+…+f(x2016)=672⋅[f(x1)+f(x2)+f(x3)]=672⋅(2+4+8)=9408，
故选：B.
由题意可得xn+1=f(xn)，x1=2，可得数列{xn}的周期为3，要求的式子即672⋅[f(x1)+f(x2)+f(x3)]，计算求得结果．
本题主要考查数列的周期性的应用，求函数的值，属于中档题．
6.【答案】D
【解析】解：设轧辊的半径为r，由轧辊的横截面积可得：πr2=640000π，解得：r=800π，
所以轧辊的周长为2πr=1600，
由图易知，第9对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，
在此处出口的两疵点间带钢体积与冷轧机出口处两疵点间带钢体积相等，
因宽度不变，有1600=L9⋅(1−20%)，
所以L9=2000，L10=1600，
所以Lk=L10(0.8)10−k=1600×8k−10.
故选：D.
据题意，第9对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间钢带体积与冷轧机出口处两疵点间钢带体积相等，因宽度不变，可得到1600=L9⋅(1−20%)，由次求出L9，进而求出Lk.
本题考查函数模型的应用，属于中档题．
7.【答案】A
【解析】解：根据题意，函数f(x)的图象关于y轴对称，在区间(0,+∞)上为减函数；
由此用排除法分析选项：
对于B，f(x)=ex+e−x2，其导数f′(x)=ex−e−x2，在(0,+∞)上，f′(x)>0，f(x)为增函数，不符合题意；
对于C，f(x)=2ex−e−x，其定义域为{x|x≠0}，不符合题意．
对于D，f(x)=ex−e−x2，其定义域为R，有f(−x)=−f(x)，则f(x)为奇函数，不符合题意．
故选：A.
根据题意，根据图象的对称性排除C、D；根据函数的最值排除B，从而可得答案．
本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性和最值，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：设直线OP的方程为y=kx，(k≠0)
由y=kxx23−y26=1消去y，得6x2−3k2x2=18，2x2−k2x2=6，
解之得x2=62−k2，从而得出y2=k2x2=6k22−k2，
∴|OP|2=x2+y2=6+6k22−k2.
由直线OP与OQ垂直，设OQ的方程为y=−1kx，用类似于求|OP|2的方法，
可得|OQ|2=6(1+k2)2k2−1，
∴1|OP|2+1|OQ|2=2−k2+2k2−16+6k2=16，
故选：D.
设直线OP方程为y=kx(k≠0)，将其与双曲线方程联解得到用k、a、b表示x2、y2的式子，从而得出|OP|2=x2+y2.同理算出|OQ|2，由此进行化简，即可得到1|OP|2+1|OQ|2；
本题着重考查了直线与双曲线的标准方程与简单几何性质和直线与圆锥曲线的关系等知识，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：对于A，因为a=(1,0,2)，n1=(1,−2,−12)，且a⋅n1=1+0−1=0，所以a⊥n1，l//α或l⊂α，选项A错误；
对于B，因为n1=(1,−2,−12)，n2=(−1,0,−2)，计算n1⋅n2=−1+0+1=0，所以n1⊥n2，平面α⊥β，选项B正确；
对于C，因为a=(1,0,2)，b=(0,1,−2)，a与b不共线，所以直线l与m相交或异面，选项C正确；
对于D，a在b向量上的投影向量为a⋅b|b|2b=−402+12+(−2)2(0,1,−2)=(0,−45,85)，选项D正确．
故选：BC.
根据直线的方向向量与平面的法向量之间的关系，判断选项中的命题是否正确即可．
本题考查了利用空间向量研究直线与平面之间的位置关系应用问题，是基础题．
10.【答案】CD
【解析】【分析】
把已知函数解析式变形，由函数值域为[−12,14]，不妨令2n−π6=π6，则2m−π6的最小值为−7π6，最大值为−π2，由此求得n值域m的范围，得到n−m的范围，则答案可求．
本题考查y=Asin(ωx+φ)型函数的图象和性质，考查分析问题与解决问题的能力，是中档题．
【解答】
解：f(x)=sinx⋅sin(x+π3)−14=sinx(12sinx+ 32csx)−14
=12sin2x+ 32sinxcsx−14=12⋅1−cs2x2+ 34sin2x−14
= 34sin2x−14cs2x=12sin(2x−π6).
∵函数的值域为[−12,14]，∴不妨令2n−π6=π6，则2m−π6的最小值为−7π6，最大值为−π2.
即当n=π6时，m的最小值为−π2，最大值为−π6.
∴n−m的范围为[π3,2π3].
∴n−m的值不可能是C或D.
故选：CD.
11.【答案】ABD
【解析】解：设M，N分别为正六棱台上、下底面的中心，
对于选项A，如图1，分别取AF，A1F1，C1D1，CD的中点Q，R，S，T，
连接RS，RQ，TS，TQ，则RS= 3a，QT=2 3a，
可得Q，R，S，T四点共面，且点P，M，N均在该平面上，
连接PM，则N在PM上，得如图2所示的截面PQRST，四边形QRST为等腰梯形，
且∠PQR为二面角P−AF−A1的平面角，即∠PQR=90∘，
过点R作RL⊥QT交QT于点L，则∠RQL=∠QPN，可得RLLQ=QNNP，
即NP⋅RL=LQ⋅QN= 32a⋅ 3a=32a2，而NP+RL=MP=3a，
故NP(3a−NP)=32a2，解得NP=3+ 152a，故A正确；
对于选项B，如图3为截面PAA1D1D，依题意得A1D1=2a，AD=4a，
连接PM，则PM=3a，又PA=2 2a，所以PN=2a，MN=3a−2a=a，
如图4为截面PORST，从而RQ= a2+( 32a)2= 72a，PQ= ( 3a)2+(2a)2= 7a，
故该几何体的表面积S=6× 34a2+6×12⋅(a+2a)⋅ 72a+6×12⋅2a⋅ 7a=3 3+21 72a2，故B正确；
对于选项C，如图5所示的截面PAA1D1D，
连接PM，依题意可知A1D1=2a，AD=4a，PM=3a，
若该几何体存在外接球，则外接球球心．在PM上，
设外接球半径为R，连接OA，OA1，OD，OD1，得OA=OA1=OP=R，3a−R=MO= R2−a2，解得R=53a，
又OA+OD=2R<4a=OA，矛盾，
故该几何体不存在外接球，C错误；
对于选项D，设该几何体上、下两部分的体积分别为V1，V2，MN=h1，PN=h2，
则V1=13×(3 32a2+6 3a2+ 3 32a2⋅6 3a2)h1= 32h1a2，V2=13×6 3a2×h2=2 3h2a2，
由V1V2=78，可得h2=2h1，
结合h1+h2=3a，可知h1=a，h2=2a，
因此该几何体的体积V=V1+V2=7 32a3+4 3a3=15 32a3，故D正确．
故选：ABD.
分别取AF，A1F1，C1D1，CD的中点Q，R，S，T，连接RS，RQ，TS，TQ，得到Q，R，S，T四点共面，且点P，M，N均在该平面上，连接PM，则N在PM上，进而得到∠PQR为二面角P−AF−A1的平面角，进而判定A正确；连接PM，则PM=3a，结合截面PORST，利用表面积公式可判定B正确；连接PM，设外接球半径为R，连接OA，OA1，OD，OD1，求得外接球的半径，可判定C错误；设该几何体上、下两部分的体积分别为V1，V2，结合V1V2=78，可得h2=2h1，利用V=V1+V2，可判定D正确．
本题考查了台体的体积、表面积以及外接球问题，属于中档题．
12.【答案】78
【解析】解：令x=0，可得a0=2，
令x=1，可得27=a0−a1+a2−a3+…−a7 ①
令x=−1，则25=a0+a1+a2+…+a7②
所以②+①可得：2(a0+a2+a4+a6)=25+27=160，
所以2+a2+a4+a6=80，即a2+a4+a6=78.
故答案为：78.
令x=0求a0，分别令x=1，x=−1代入已知关系式，然后两式相加即可求解．
本题考查了二项式定理，是基础题．
13.【答案】4 5+9
【解析】解：将sinθ−csθ=2+ 53两边平方，得1−2sinθcsθ=9+4 59，即sin2θ=−4 59，
因为θ∈(3π4,π)，
所以2θ∈(3π2,2π)，
所以cs2θ=19，
故1−sin2θcs2θ=1+4 5919=9+4 5.
故答案为：9+4 5.
由条件sinθ−csθ=2+ 53两边平方结合平方关系可求sin2θ，再由平方关系可求cs2θ，由此可求1−sin2θcs2θ.
本题考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
14.【答案】10
【解析】解：由g(x)=f(x)+1−x知f(x)=g(x)+x−1，从而有
g(x+20)+(x+20)−1≥f(x+20)≥f(x)+20=g(x)+x−1+20
则g(x+20)≥g(x)
又由f(x+1)≤f(x)+1得g(x+1)+(x+1)−1≤g(x)+x−1+1⇒g(x+1)≤g(x)
则有：g(x)≤g(x+20)≤g(x+19)≤…≤g(x+1)≤g(x)
得g(x)=g(x+1)，即g(x)是周期为1的周期函数，
又∵g(1)=f(1)+1−1=10
∴g(10)=10
故答案为10
解决此题关键是要分析出f(x)或g(x)的性质，根据f(x+20)≥f(x)+20，f(x+1)≤f(x)+1，若g(x)=f(x)+1−x，不难得到g(x)是一个周期函数，且周期T=1，则只要根据f(1)=10，g(x)=f(x)+1−x求出g(1)就不难求出g(x)的其它函数值．
对于抽象函数问题的处理，有两种思路，一是“凑”出题目中要求的值，二是分析函数性质根据函数的性质解题．若题干中出现：f(x+y)=f(x)⋅f(y)；f(x+y)=f(x)+f(y)；f(x⋅y)=f(x)⋅f(y)；f(x⋅y)=f(x)+f(y)类的条件时一般采用第一种思路，而本题中未出现这种情况，一般要采用第二种思路．
15.【答案】解：(1)因为{an}是等差数列，设其公差为d，
则由a6=S3+2S6=4a5，得a1+5d=3a1+3d+26a1+15d=4a1+16d，解得a1=1d=2，
所以数列{an}通项公式为an=1+2(n−1)=2n−1.
证明：(2)数列{an}的前n项和Sn=(1+2n−1)n2=n2，
则1−1Sn=1−1n2=n2−1n2=(n−1)(n+1)n2，
所以Tn=(1−1S2)(1−1S3)(1−1S4)⋅⋯⋅(1−1Sn+1)
=1×322×2×432×3×542×⋯×(n+1)(n+1)n2×n(n+2)(n+1)2=12×n+2n+1，
因为n∈N*，所以n+2n+1=1+1n+1>1，则Tn=12×(1+1n+1)；
因为12×n+2n+1=12×(1+1n+1)，
当n增大，则1n+1减少，所以n=1时，1n+1取得最大值为12，
所以Tn=12×(1+1n+1)最大为34；
综上，12【解析】(1)利用等差数列的通项公式与求和公式得到关于a1，d的方程组，解之即可得解；
(2)由(1)求得Sn，再利用累乘法求得Tn，从而利用n∈N*及Tn与n的关系式的性质即可得证．
本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，还考查了叠乘法及数列单调性的应用，属于中档题．
16.【答案】解：(1)能卖出3件水牛奶的概率为1050=15，能卖出3件以下的概率为45，
∴三天中至少有2天能卖出3件水牛奶的概率为C32(15)2×45+C33(15)3=13125.
(2)①若第一天营业结束后不补货，情况为A={销售0件}，B={销售1件}，
则P(A)=110，P(B)=15，
令C={第二天货架上有1件存货}，则P(C|A)=12，P(C|B)=15，
∴P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=9100，
②若第一天营业结束后补货，情况为D={销售3件}，E={销售2件}，
则P(D)=15，P(E)=12，
令F={第二天货架上有1件存货}，则P(F|D)=12，P(F|E)=12，
∴P(F)=P(D)P(F|D)+P(E)P(F|E)=720，
∴第二天营业结束后货架上有1件存货的概率9100+720=1125.
【解析】(1)利用相互独立事件的概率乘法公式求解即可．
(2)先讨论第一天营业结束后是否补货，再利用全概率公式求出不补货，补货情况下第二天营业结束后货架上有1件存货的概率，求解即可．
本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，全概率公式的应用，属于中档题．
17.【答案】(Ⅰ)证明：∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥PD，
又BC⊥DC，PD∩DC=D，PD、DC⊂平面PDC，
∴BC⊥平面PDC，
又MD⊂平面PDC，∴MD⊥BC，
在Rt△PDC中，PD⊥DC，PD=DC，M为PC的中点，∴MD⊥PC，
∵PC∩BC=C，PC、BC⊂平面PBC，
∴MD⊥平面PBC，而PN⊂平面PBC，
∴MD⊥PN；
(Ⅱ)解：∵M为线段PC的中点，N为线段BC的中点，
∴VA−MND=VM−ADN=13S△ADN⋅12PD=13×12×1×1×12×1=112.
【解析】(Ⅰ)由已知结合直线与平面垂直的性质可得BC⊥PD，结合BC⊥DC，可得BC⊥平面PDC，得到MD⊥BC，再由已知可得MD⊥PC，再由直线与平面垂直的判定可得MD⊥平面PBC，从而得到MD⊥PN；
(Ⅱ)由已知结合等体积法求三棱锥A−MND的体积．
本题考查空间中直线与平面垂直的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．
18.【答案】解：(1)f′(x)=3ax2+b，依题意，f′(−2)=12a+b=0f(−2)=−8a−2b=163，解得a=13b=−4，
∴f(x)=13x3−4x，经检验符合题意．
故函数f(x)的解析式为f(x)=13x3−4x；
(2)由(1)知，点P(3,−3)在曲线y=f(x)上，由f′(x)=x2−4，知f′(3)=5，
∴所求切线方程为y+3=5(x−3)，即y=5x−18.
【解析】(1)对函数f(x)求导，根据题意建立关于a，b的方程，解出即可；
(2)求出切线的斜率f′(3)=5，再由点斜式即可得解．
本题考查利用导数研究函数的极值，考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．
19.【答案】解：(1)由题意，半径为r= 3m，φ=π2，
根据小球转一周需要需要6min，可知小球转动的角速度ω=π3rad/min，
所以H关于t的函数解析式为H= 3sin(π3t+π2)+2= 3csπ3t+2，t≥0，
当t=1时，H= 32+2，
所以圆形轨道装置启动1min后小球P距离地面的高度为( 32+2)m；
(2)根据题意，小球Q的高度H′关于t的函数解析式为
H′=sin(−π3t)+2=−sinπ3t+2，t≥0，
则P，Q两点高度差为ΔH=|sinπ3t+ 3csπ3t|=|2sin(π3t+π3)|，t≥0，
当π3t+π3=π2+kπ，k∈Z，即t=12+3k，k∈Z时，ΔH的最大值为2，
所以P，Q两球高度差的最大值为2m.
【解析】(1)根据题意，代入相关数据得到H= 3csπ3t+2，从而得解；
(2)同理得到小球Q的高度关于t的解析式，再利用三角恒等变换即可得解．
本题主要考查了三角函数应用以及由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，考查了数形结合思想，属于中档题．x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
y
7
4
5
8
1
3
5
2
6
日销售量/件
0
1
2
3
天数
5
10
25
10