2023-2024学年上海外国语大学附属大境中学高二（下）期中数学试卷-普通用卷

这是一份2023-2024学年上海外国语大学附属大境中学高二（下）期中数学试卷-普通用卷，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设F1、F2是两定点，|F1F2|=6，动点P满足|PF1|−|PF2|=6，则动点P的轨迹是( )
A. 双曲线B. 直线C. 线段D. 射线
2.在平面直角坐标系xOy中，过点(0,2)作倾斜角为135∘的直线l，已知直线l与圆x2+y2−2x=0交于A，B两点，则|AB|=( )
A. 2B. 3C. 10D. 13
3.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，与x轴平行的直线与l和C分别交于A，B两点，若|AF|=|BF|，则|AB|=( )
A. 2B. 2 2C. 2 3D. 4
4.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2+y2=1+|x|y就是其中之一(如图).给出下列三个结论：
①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；
②曲线C上存在有点到原点的距离超过 2；
③曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3.
其中，所有正确结论的序号是( )
A. ①B. ①②③C. ①②D. ①③
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.经过两点A(1,t)、B(t+1,4)的直线的倾斜角为45∘，则实数t=______.
6.直线l过A(3,−1)，且l的一个法向量n=(3,2)，则直线l的点法向式方程为______.
7.抛物线y2=4x的焦点坐标是__________.
8.圆心为(1,2)且与直线5x−12y−7=0相切的圆的方程为______.
9.若直线l过点(1,2)且与直线2x−3y−1=0平行，则直线l的方程为______.
10.抛物线y2=ax(a≠0)的准线方程是______.
11.已知椭圆x210−m+y2m−2=1的长轴在y轴上，若焦距为4，则m=______.
12.求双曲线x24−y28=1的两条渐近线所夹的锐角的大小为______.
13.已知点M(a,b)在直线3x+4y=15上，则 a2+b2的最小值为______.
14.直线y=x+3与曲线y29−x|x|4=1的公共点个数为______.
15.已知点A(6,0)，点P在抛物线y2=16x上运动，点B在曲线(x−4)2+y2=1上运动，则|PA|2|PB|的最小值是______.
16.已知F1，F2分别为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，C的离心率为 2，过F1且倾斜角为120∘的直线l与C交于A，B两点，若△ABF2的内切圆的面积为6π，则C的虚轴长为______.
三、解答题：本题共4小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知A(0,1)，B(−2,−1)，C(5,3)三点．
(1)求AB边上中线所在直线的方程；
(2)求△ABC的面积．
18.(本小题10分)
已知抛物线C：y2=2px的焦点为F(2,0).
(1)求抛物线C的方程；
(2)斜率为1的直线过点F，且与抛物线C交于A，B两点，求线段AB的长.
19.(本小题12分)
已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)中，离心率为 2，且经过点( 2,1).
(1)求双曲线方程；
(2)若直线l：y=kx+1与双曲线左支有两个交点，求k的取值范围；
(3)过点M(1,13)是否能作直线m与双曲线交于P，Q两点，且使得M是PQ中点，若存在，求出直线m的方程，若不存在，请说明理由.
20.(本小题14分)
如图，过椭圆的左、右焦点F1，F2分别作长轴的垂线l1，l2交椭圆于A1，B1，A2，B2，将l1，l2两侧的椭圆弧删除再分别以F1，F2为圆心，线段F1A1，F2A2的长度为半径作半圆，这样得到的图形称为“椭圆帽”，夹在l1，l2之间的部分称为“椭圆帽”的椭圆段，夹在l1，l2两侧的部分称为“椭圆帽”的圆弧段，已知左、右两个圆弧段所在的圆方程分别为(x± 2)2+y2=1.
(1)求椭圆段的方程；
(2)已知直线l过点F1与“椭圆帽”的交于两点为M，N，若F1M+2F1N=0，求直线l的方程；
(3)已知P为“椭圆帽”的左侧圆弧段上的一点，直线l经过点F1，与“椭圆帽”交于两点为M，N，若F1P⋅MN=0，求PM⋅PN的取值范围.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：因为|PF1|−|PF2|=6=|F1F2|，所以动点P的轨迹是以F1为起点，指向F2方向的射线．
故选：D.
由条件可得|PF1|−|PF2|=6=|F1F2|，即可得答案．
本题考查了轨迹方程问题，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：由圆C：x2+y2−2x=0，得(x−1)2+y2=1，
则圆心坐标为C(1,0)，半径为1，
又直线l过点(0,2)，直线方程：y−2=−x，即x+y−2=0，
直线l与圆x2+y2−2x=0交于A，B两点，
圆心到直线的距离为d=1 2，则|AB|=2 12−d2=2 1−12= 2.
故选：A.
由圆的方程求得圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离，再由垂径定理得答案．
本题考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了抛物线的定义，属基础题．
由抛物线的定义可知△ABF为正三角形，然后求解即可．
【解答】
解：由抛物线方程可得：F(1,0)，设准线与x轴的交点为E，则E(−1,0)，
由抛物线的定义可知：|AB|=|BF|，
又|AF|=|BF|，
则△ABF为正三角形，
过F作AB的垂线，垂足为D，
则|AB|=2|AD|=2|EF|=2×2=4，
故选D.
4.【答案】D
【解析】解：对于①，将x换成−x，方程不变，所以图形关于y轴对称，
当x=0时，y=±1，即曲线经过(0,1)，(0,−1)，
当x>0时，方程变为y2−xy+x2−1=0，
由Δ=x2−4(x2−1)=4−3x2≥0解得0所以x只能取整数解1，
当x=1时，方程变为y2−y=0，
解得y=0或y=1，即曲线经过(1,0)，(1,1)，
由对称性得曲线还经过(−1,0)，(−1,1)，
故曲线一共经过6个整点，A(0,1)，B(0,−1)，C(1,0)，D(1,1)，E(−1,0)，F(−1,1)，故①正确；
对于②，当x>0时，由x2+y2=1+xy得x2+y2−1=xy≤x2+y22，
当且仅当x=y=1时，等号成立，
所以x2+y2≤2，所以 x2+y2≤ 2，
即曲线C上y轴右边的点到原点的距离不超过 2，
由对称性可得曲线C上任意一点到原点的距离不超过 2，故②错误；
对于③，如图，
在x轴上方图形面积大于矩形CDFE面积S1=1×2=2，
在x轴下方图形面积大于等腰直角三角形BCE面积S2=12×2×1=1，
因此曲线C所围成的“心形”区域的面积大于S1+S2=2+1=3，故③正确．
故选：D.
先根据图像的对称性找出整点，再判断是否还有其他的整点在曲线上；找出曲线上离原点距离最大的点的区域，再由基本不等式得到最大值不超过 2；在心形区域内找到一个内接多边形，该多边形的面积等于3，从而判断出“心形”区域的面积大于3.
本题主要考查曲线与方程，属于中档题．
5.【答案】2
【解析】解：∵经过两点A(1,t)、B(t+1,4)的直线的倾斜角为45∘，
∴tan45∘=t−41−(t+1)=t−4−t，即−t=t−4，解得t=2.
故答案为：2.
根据已知条件，结合直线的斜率公式，以及斜率与倾斜角的关系，即可求解．
本题主要考查直线的斜率公式，以及斜率与倾斜角的关系，属于基础题．
6.【答案】3(x−3)+2(y+1)=0
【解析】【分析】
由题意直接求出直线的点法向式方程．
本题主要考查直线的点法向式方程，属于基础题．
【解答】
解：直线l过A(3,−1)，且l的一个法向量n=(3,2)，
则直线l的点法向式方程为3×(x−3)+2×(y+1)=0，
故答案为：3(x−3)+2(y+1)=0.
7.【答案】(1,0)
【解析】【分析】
本题考查抛物线的标准方程，注意分析抛物线的开口方向．
根据题意，由抛物线的标准方程分析可得抛物线的焦点在x轴正半轴上，且p=2，由抛物线的焦点坐标公式计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，抛物线y2=4x的开口向右，其焦点在x轴正半轴上，
且p=2，p2=1，
则抛物线的焦点坐标为(1,0)，
故答案为：(1,0).
8.【答案】(x−1)2+(y−2)2=4
【解析】解：，所求圆的半径就是圆心(1,2)到直线5x−12y−7=0的距离：d=|5×1−12×2−7| 52+(−12)2=2，
所以圆的方程：(x−1)2+(y−2)2=4.
故答案为：(x−1)2+(y−2)2=4
因为所求的圆与直线5x−12y−7=0相切时圆心到直线的距离等于半径，根据点到直线的距离公式求出半径，然后根据圆心与半径写出圆的标准方程即可．
此题要求学生掌握直线与圆相切时的条件，灵活运用点到直线的距离公式化简求值．根据圆心坐标和半径会写出圆的标准方程．
9.【答案】2x−3y+4=0
【解析】解：设过点(1,2)且与直线2x−3y−1=0平行的直线方程为2x−3y+m=0，
把点(1,2)代入直线方程得2−6+m=0，
∴m=4，
故所求的直线方程为2x−3y+4=0，
故答案为：2x−3y+4=0.
设过点(1,2)且与直线2x−3y−1=0平行的直线方程为2x−3y+m=0，把点(1,2)代入直线方程，求出m值即得直线l的方程．
本题考查用待定系数法求直线方程的方法，设过点(1,2)且与直线2x−3y−1=0平行的直线方程为2x−3y+m=0是解题的关键．
10.【答案】x=−a4
【解析】解：抛物线y2=ax(a≠0)的准线方程是：x=−a4.
故答案为：x=−a4.
利用抛物线的标准方程，直接写出准线方程即可．
本题考查抛物线的简单性质的应用，准线方程的求法，是基础题．
11.【答案】8
【解析】解：由椭圆x210−m+y2m−2=1的长轴在y轴上，
则a2=m−2，b2=10−m，c2=a2−b2=2m−12.
由焦距为4，即2c=4，即有c=2.
即有2m−12=4，解得m=8.
故答案为：8
根据条件可得a2=m−2，b2=10−m，c2=a2−b2=2m−12，由焦距为4，即c=2.即可得到m的值．
本题考查椭圆的方程和性质，考查椭圆中的参数a，b，c的关系，属于基础题．
12.【答案】arctan2 2
【解析】解：如图所示：
由题意可得，a2=4，b2=8，∴双曲线的两条渐近线方程为：y=±bax=± 2x，
设直线y= 2x的倾斜角为α，由 2>1，得α>π4，
设两条渐近线所夹的锐角为θ，则直线y=− 2x的倾斜角为(π−α)，
∴tanθ=tan(π−2α)=−tan2α=−2tanα1−tan2α=−2 21−( 2)2=2 2，
∴两条渐近线所夹的锐角为arctan2 2.
故答案为：arctan2 2.
根据两条渐近线所夹的锐角θ满足tanθ=tan(π−2α)，即可求解．
本题考查双曲线的渐近线方程，属于中档题．
13.【答案】3
【解析】解： a2+b2的几何意义是到原点的距离，
它的最小值转化为原点到直线3x+4y=15的距离：d=155=3.
故答案为3.
考虑 a2+b2的几何意义，利用转化思想，求出原点到直线3x+4y=15的距离即可．
本题考查点到直线的距离公式，考查计算能力，是基础题．
14.【答案】3
【解析】解：当x≥0时，曲线y29−x|x|4=1的方程为y29−x24=1
当x<0时，曲线y29−x|x|4=1的方程为y29+x24=1，
∴曲线y29−x|x|4=1的图象为右图，
在同一坐标系中作出直线y=x+3的图象，
可得直线与曲线交点个数为3个．
故答案为3
分x大于等于0，和x小于0两种情况去绝对值符号，可得当x≥0时，曲线y29−x|x|4=1为焦点在y轴上的双曲线，当x<0时，曲线y29−x|x|4=1为焦点在y轴上的椭圆，在同一坐标系中作出直线y=x+3与曲线y29−x|x|4=1的图象，就可找到交点个数．
本题主要考查图象法求直线与曲线交点个数，关键是去绝对值符号，化简曲线方程．
15.【答案】2 41−6
【解析】解：因为抛物线y2=16x的焦点为F(4,0)，
不妨设P(x,y)，
此时|PF|=x+4，
因为点A(6,0)，
所以|PA|2=(x−6)2+y2=(x−6)2+16x=x2+4x+36，
易知当|PB|=|PF|+1=x+5时，|PA|2|PB|=x2+4x+36x+5，
不妨令x+5=t，
可得x=t−5，
所以|PA|2|PB|=(t−5)2+4(t−5)+36t=t2−6t+41t=t+41t−6，
因为t+41t≥2 41，当且仅当t= 41时，等号成立，
所以|PA|2|PB|的最小值为2 41−6.
故答案为：2 41−6.
由题意，根据抛物线的定义进行转化，再求解即可．
本题考查抛物线的定义，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
16.【答案】6
【解析】解：由C的离心率为 2可知c= 2a，则a=b，所以C的渐近线方程为y=±x，
经过F1的直线l的倾斜角为120∘，
所以A，B都在C的左支上，
因为△ABF2的内切圆的面积为6π，
所以△ABF2的内切圆的半径为r= 6ππ= 6，
所以△ABF2的面积为S△ABF2=12(|AB|+|AF2|+|BF2|)× 6，
由双曲线的定义可知|AF2|+|BF2|=2a+|AF1|+2a+|BF1|=4a+|AB|，
所以S△ABF2=(|AB|+2a)× 6，
又S△ABF2=12|AB|×2 2a×sin120∘=|AB|× 62a，
所以(|AB|+2a)× 6=|AB|× 62a，解得|AB|=4aa−2，
由题可知F1(− 2a,0)，
所以直线l的方程为y=− 3(x+ 2a)，
联立x2−y2=a2y=− 3(x+ 2a)得2x2+6 2ax+7a2=0，
所以x1+x2=−3 2a，x1x2=7a22，
则|AB|=2 (x1+x2)2−4x1x2=2 18a2−14a2=4a，
所以4aa−2=4a，解得a=3，则b=3，故C的虚轴长为2b=6.
故答案为：6.
由题意可得a=b，C的渐近线方程为y=±x，△ABF2的内切圆的半径为r= 6，结合双曲线的定义可得|AB|=4aa−2，联立直线和双曲线方程，由韦达定理及弦长公式可得|AB|=4a，从而有4aa−2=4a，求解即可得答案．
本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
17.【答案】解：(1)已知A(0,1)，B(−2,−1)，C(5,3)三点，
所以AB的中点坐标D(−1,0)，
故直线CD的方程为y=12(x−1)，整理得x−2y−1=0.
(2)由于A(0,1)，B(−2,−1)，所以|AB|= (−2)2+(−1−1)2=2 2，
直线AB的方程为y−1=x，整理得x−y+1=0，
利用点C到直线AB的距离d=|5−3+1| 2=3 2，
所以S△ABC=12×2 2×3 2=3.
【解析】(1)直接利用中点坐标公式求出点D的坐标，进一步求出直线CD的方程；
(2)首先求出|AB|的长度，进一步利用点到直线的距离公式求出三角形的高，最后求出三角形的面积．
本题考查的知识要点：直线的方程的求法，点到直线的距离公式，三角形的面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)已知抛物线C：y2=2px的焦点为F(2,0)，
所以p2=2，
解得p=4，
则抛物线C的方程为y2=8x；
(2)由(1)知抛物线的方程为y2=8x，
不妨设直线AB的方程为：y=x−2，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立y=x−2y2=8x，消去y并整理得x2−12x+4=0，
由韦达定理得x1+x2=12，
则弦长|AB|=x1+x2+p=12+4=16.
【解析】(1)由题意，根据焦点的坐标直接可得p值，进而得到抛物线的方程；
(2)设出直线AB的方程，与抛物线联立求出两根之和，再由抛物线的性质，得到焦点的距离等于到准线的距离，可得弦长|AB|的值．
本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合，属于基础题．
19.【答案】解：(1)双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)中，离心率为 2，且经过点( 2,1)，
可得e=ca= 2，2a2−1b2=1，c2=a2+b2，解得a=b=1，
即双曲线的方程为x2−y2=1；
(2)联立y=kx−1x2−y2=1，消去y可得(1−k2)x2+2kx−2=0，
由直线l：y=kx+1与双曲线左支有两个交点，
可得1−k2≠0，Δ=4k2+8(1−k2)>0，−2k1−k2<0，−21−k2>0，
解得− 2(3)设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，假设过点M(1,13)能作直线m与双曲线交于P，Q两点，且使得M是PQ中点，
可得x1+x2=2，y1+y2=23，
由x12−y12=1，x22−y22=1，相减可得(x1−x2)(x1+x2)=(y1−y2)(y1+y2)，
可得直线m的斜率为y1−y2x1−x2=x1+x2y1+y2=3，
则直线m的方程为y−13=3(x−1)，即y=3x−83，
与双曲线的方程x2−y2=1联立，可得−8x2+16x−739=0，
由Δ=162−4×8×739=−329<0，故不存在这样的直线m.
【解析】(1)由双曲线的离心率公式和点满足双曲线的方程，解方程可得a，b，进而得到所求；
(2)联立直线l和双曲线的方程，运用韦达定理和判别式大于0，解不等式可得所求取值范围；
(3)假设存在这样的直线m，运用点差法和中点坐标公式，求得直线m的斜率，可得直线方程，再与双曲线的方程联立，检验判别式的符号可得结论．
本题考查双曲线的方程和性质，以及直线和双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)设椭圆的标准方程为：x2a2+y2b2=1,a>b>0，
由图可得：F2( 2,0),A2( 2,1)，
所以c= 2,b2a=1，
所以a=2,b=c= 2，
所以椭圆段方程为：x24+y22=1,(− 2≤x≤ 2).
(2)由题|F1N|=1，
所以，|F1M|=2，
设M(x,y),− 2≤x≤ 2，
x24+y22=1(x− 2)2+y2=4，
解得：x=0或x=4 2(舍去)，
所以M(0, 2)或M(0,− 2)，
所以直线l的方程：y=x+ 2或y=−x− 2.
(3)若F1P⋅MN=0，
PM⋅PN=(PF1+F1N)⋅(PF1+F1M)=PF12+F1M⋅F1N=1−|F1M|，
当M点在右侧圆弧上时，|F1M|∈[3,1+2 2]，
当M点在右侧椭圆弧上时，|F1M|∈[1,3]，
所以PM⋅PN∈[−2 2,0].
【解析】(1)设椭圆方程，根据F2( 2,0)，A2( 2,1)即可求得方程；
(2)根据|F1N|=1，|F1M|=2，设点M(x,y)，− 2≤x≤ 2建立方程组求解M坐标即可得到直线方程；
(3)根据题意PM⋅PN=1−|F1M|，转化为求|F1M|的范围．
本题考查椭圆标准方程的求法，训练了平面向量在解题时的应用，注意函数与方程思想的合理运用，考查了学生的计算能力，是压轴题．