广东省惠州市惠阳区崇雅中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（含解析）

这是一份广东省惠州市惠阳区崇雅中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A．3，4，5B．5，7，8C．8，15，17D．1，
3．下列函数中，是正比例函数的是（ ）
A．y＝﹣8xB．C．y＝5x2D．y＝2x﹣4
4．已知一次函数表达式为：，则此一次函数图像不经过第（ ）象限．
A．一B．二C．三D．四
5．下列计算中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．÷＝5
6．若点在一次函数图象上，则的值是（ ）
A．1B．3C．D．
7．如图，一架靠墙摆放的梯子长5米，底端离墙脚的距离为3米，则梯子顶端离地面的距离为（ ）米．

A．5B．4C．3D．2
8．已知四边形，有以下四个条件：
（1），；（2），；（3），；（4），．其中能判定四边形是平行四边形的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
9．甲、乙两同学从A地出发，沿同一条路到B地，乙先出发，他们离出发地的距离s（千米）与行驶时间t（小时）之间的函数关系图象如图所示，下列说法中不符合图象描述的是（ ）．

A．他们都行驶了20千米B．乙在途中停留了1小时
C．甲、乙两人同时到达目的地D．乙出发2小时后，两人相遇
10．如图，在边长为10的正方形对角线上有E，F两个动点，且，点P是中点，连接，则最小值为（ ）

A．B．C．D．10
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．一次函数y＝（k﹣1）x＋1中，y随x增大而减小，则k的取值范围是 ．
12．如图，分别以直角三角形三边为边长，向外作三个正方形，数字代表所在正方形的面积，则所代表的正方形的边长为 ．
13．如图，在中，，，分别是，，的中点，若的周长是12，则的周长是 ．
14．若，则式子的值为 ．
15．在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向下平移6个单位后，得到的函数解析式为
16．如图，在中，，，，则的长度是 ．
三、解答题（共3小题，第17题每小题4分共8分，第18题6分，第19题7分，共21分）
17．计算：
(1)；
(2)．
18．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE＝CF．求证：BE＝DF．
19．已知一次函数的图象经过两点．
（1）求的值；
（2）若一次函数的图象与轴交点为，求点坐标．
四、解答题（共3小题，每小题9分，共27分）
20．已知与成正比例，且时，．
(1)求关于的函数关系式；
(2)请在图中画出该函数的图象；
21．某玩具厂每天生产A、B两种玩具共60件，成本和售价如下表：
设每天生产A种玩具x件，每天获得的总利润为y元．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)如果该玩具厂每天最多投入的成本为2000元，那么每天生产多少件A种玩具，所获得的利润最大？并求出这个最大利润．
22．如图，已知等边ABC中，BE、CD分别是AC、AB边上的中线，BE、CD相交于点O，点M、N分别为线段OB和OC中点．
(1)求证：四边形DENM是矩形；
(2)若等边ABC的边长为12，求矩形DENM的面积．
五、解答题（共2小题，每小题12分，共24分）
23．如图，直线分别与轴、轴相交于，两点，为坐标原点，点的坐标为，过线段上一点（不与端点重合）作轴、轴的垂线，垂足分别为，．
(1)求的值；
(2)当矩形的周长是时，求点的坐标；
(3)点，的距离最小值为多少？
24．如图，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段与、分别相交于点、．
(1)求证：；
(2)判断与的关系，并说明理由；
(3)若，，求的长．
成本/（元/件）
售价/（元/件）
A种玩具
40
60
B种玩具
30
45
1．A
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件进行求解即可，明白“二次根式有意义的条件，根号内的式子要大于等于0”是解题的关键．
【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴，
∴，
故选：A．
2．B
【分析】根据勾股定理的逆定理依次判断各项后即可解答．
【详解】选项A，32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边长度；
选项B，52+72≠82，不符合勾股定理的逆定理，不能作为直角三角形三边长度；
选项C，82+152＝172，符合勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边长度；
选项D，12+（）2＝（）2，符合勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边长度．
故选B．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练运用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三角形是解决问题的关键．
3．A
【分析】由正比例函数的表达式为y＝kx（k≠0），根据表达式特点对选项进行判断即可．
【详解】解：正比例函数的表达式为y＝kx（k≠0），
A、y＝﹣8x是正比例函数，故A符合题意；
B、y＝中，x的次数是﹣1，故B不符合题意；
C、y＝5x2中，x的次数是2，故C不符合题意；
D、y＝2x﹣3中，常数项是﹣3，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查正比例函数的定义，牢记正比例函数的定义形式是解题的关键．
4．B
【分析】本题主要考查了一次函数图像的性质，熟练掌握一次函数图像与系数的关系是解决本题的关键． 根据，，即可进行判断．
【详解】解：∵，，
∴一次函数的函数图像过第一、三、四象限，不过第二象限，
故选B．
5．C
【分析】直接根据二次根式的运算法则计算出各项结果，然后再判断即可．
【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．
6．A
【分析】把点坐标代入一次函数的解析式进行计算即可．
【详解】解：当点在一次函数图象上时，
把点代入得：，
故选：A．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点：一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式，熟悉相关性质是解题的关键．
7．B
【分析】根据勾股定理求解即可．
【详解】解：梯子顶端离地面的距离为m．
故选：B．
【点睛】此题考查了勾股定理实际应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
8．C
【分析】根据条件结合平行四边形的判定定理逐项分析判断即可求解．
【详解】解：（1），；两组对边分别相等，可以判断四边形是平行四边形
（2），，不能判断判断四边形是平行四边形
（3），，一组对边平行且相等，，可以判断四边形是平行四边形
（4），．两组对边分别平行，，可以判断四边形是平行四边形
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
9．C
【分析】直接根据图象逐一进行判断即可．
【详解】根据图象可知他们都行驶了20千米，故A正确；
乙出发后小时直线是水平的，所以甲在途中停留了1小时，故B正确；
直接由图象可知乙比甲晚到1小时，故C错误；
乙出发2小时后，两人相遇，故D正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查函数图象，能够从图象上获取信息是关键．
10．A
【分析】取的中点Q，连接，，证明四边形为平行四边形，求出，最后用勾股定理求出最小值.
【详解】解：取的中点Q，连接，，如下图所示：

∵正方形的边长为10，
∴,，
∵是正方形的对角线，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，，
∴，∴，
∵，即，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴当A、E、Q三点共线时，的值最小，最小值就是的长，
∵点Q时的中点，∴，
由勾股定理得，，
故选：A．
【点睛】本题考查三角形中位线，勾股定理的知识，掌握性质是解题的关键.
11．k＜1
【分析】根据已知条件“一次函数y＝（k﹣1）x＋1中y随x的增大而减小”知，k﹣1＜0，然后解关于k的不等式即可．
【详解】解：∵一次函数y＝（k﹣1）x＋1中y随x的增大而减小，
∴k﹣1＜0，
解得k＜1；
故答案是：k＜1．
【点睛】此题主要考查一次函数的图象与性质，解题的关键是熟知一次函数y随x增大而减小，k﹣1＜0．
12．10
【分析】此题考查了勾股定理，已经正方形的面积公式，勾股定理最大的贡献就是沟通“数”与“形”的关系，它验证和利用都体现了数形结合的思想，即把图形的性质问题转化为数量关系的问题来解决，能否由实际的问题联想到勾股定理的知识来求解是本题的关键．
根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形的面积分别表示出的平方及的平方，又三角形为直角三角形，根据勾股定理求出的平方，即为求解．
【详解】解：正方形的面积等于，
即，
正方形的面积为，
，
又为直角三角形，根据勾股定理得：
，
．
故答案是：10．
13．6
【分析】三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，利用此定理求解即可．
【详解】解：∵在△中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，
， ， ，

的周长为 ，
，
，
即的周长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，三角形周长公式，掌握并熟练应用三角形中位线定理是解题关键．
14．
【分析】本题考查了代数式求值、利用完全平方公式配方，先将配方，然后将代入计算即可，掌握利用完全平方公式配方将原式变形为是解题关键．
【详解】解：∵，
∴
，
故答案为：．
15．##
【分析】本题主要考查了一次函数图象平移问题，根据平移规律得出平移后的函数解析式即可，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键．
【详解】解：∵将一次函数的图象向下平移6个单位，
∴得到的函数解析式为，
故答案为：．
16．##
【分析】此题考查了勾股定理，用到的知识点是三角形的面积公式，勾股定理，30°所对直角边等于斜边的一半，关键是根据题意作出辅助线，构造直角三角形．过点C作，根据角的性质得出的长，根据勾股定理得出的长，再求出，从而求出的值，进而得出的长．
【详解】解：过点C作，垂足为D，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∵．
故答案为：．
17．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则、正确计算是解题的关键．
（1）先计算小括号内的二次根式乘法，再化简二次根式并合并同类二次根式，最后计算二次根式除法即可；
（2）先计算二次根式乘法，再加减计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．见解析
【分析】根据平行四边形的性质可得BO=DO，AO=CO，再利用等式的性质可得EO=FO，然后再利用SAS定理判定△BOE≌△DOF即可．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，AO＝CO，
∵AE＝CF，
∴AO﹣AE＝CO﹣FO，
∴EO＝FO，
在△BOE和△DOF中，
∵，
∴△BOE≌△DOF（SAS），
∴BE＝DF．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的对角线互相平分，证明三角形全等是解题的关键．
19．（1）k的值为1，b的值为2；（2）(-2，0)
【分析】（1）直接把M（0，2），N（1，3）代入一次函数y=kx+b中可得关于k、b的方程组，再解方程组可得k、b的值；
（2）根据（1）中的数据可得一次函数解析式，再求出当y=0时x的值，可得与x轴的交点A的坐标．
【详解】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象经过M（0，2），N（1，3）两点，
∴
解得：
∴k的值为1，b的值为2．
（2）当y＝0时，有0＝x+2
解得：x＝﹣2
∴A的坐标为（-2，0）．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．
20．(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，画一次函数图象．
（1）设，把，代入求出的值即可；
（2）利用描点法画出函数图象即可．
【详解】（1）解：设，
把，代入得：，
解得：，
，即；
（2）解：当时，，
当时，，解得，
函数图象经过，，
画出图象如图所示：
．
21．(1)
(2)每天生产20件A种玩具，所获得的利润最大，最大利润1000元．
【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用．解题的关键在于根据题意正确的列等式和不等式．
（1）设每天生产A种玩具x件，则每天生产B种玩具件，每天获得的总利润为y元，根据题意表示出总利润即可；
（2）首先根据该玩具厂每天最多投入的成本为2000元得到，解得，然后根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）设每天生产A种玩具x件，则每天生产B种玩具件，每天获得的总利润为y元
∴；
（2）根据题意得，
解得
∵，
∴y随x的增大而增大
∴当时，y有最大值，即
∴每天生产20件A种玩具，所获得的利润最大，最大利润1000元．
22．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据三角形中位线的判定及性质定理得到DE=MN，DE//MN，推出四边形DENM是平行四边形，利用等边三角形的性质得到OM=ON，OD=OE，证得 ME =ND，即可得到结论；
（2）根据勾股定理得，利用等边三角形的性质求出OM，证明△OEN是等边三角形，求出EN=OE=2，根据公式求出矩形DENM的面积．
【详解】（1）∵BE、CD分别是中线，
∴D、E分别为AB、AC中点，
∴DE是△ABC中位线，
∴DE=BC，DE//BC，
又∵M、N分别线段OB、OC中点，
∴MN是△OBC的中位线，
∴MN=BC，MN//BC，
∴DE=MN，DE//MN，
∴四边形DENM是平行四边形，
∵△ABC是等边三角形，且BE、 CD是中线，
∴BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠EBC=∠DCB= 30°，
又∵DE//MN//BC，
∴∠OMN=∠ONM=∠OED=∠ODE=30°，
∴OM=ON，OD=OE，
∴OM+OE=ON+OD，即 ME =ND，
故四边形DENM是矩形；
（2）∵△ABC边长为12，BE为中线，
∴BC=AC=12，∠BEC=90°，CE=6，
∴DE=MN=BC=6，
根据勾股定理得，
由（1）可知，OM=OE，且M为OB的中点，
∴BM=OM=OE，
∴OM=OE=，
∵四边形DENM是矩形，且∠DEO=30°，
∴∠OEN=60°，即△OEN是等边三角形，故EN=OE=2，
∴矩形DENM的面积=．
【点睛】此题考查了三角形中位线的性质、矩形的判定定理及性质定理，等边三角形的判定及性质，勾股定理，综合掌握各知识点并熟练应用是解题的关键．
23．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质、矩形的性质、点到直线垂线段最短、勾股定理、三角形面积公式等知识，熟练掌握知识点、正确计算是解题的关键．
（1）把点的坐标代入，求出的值即可；
（2）根据一次函数的图象与性质、矩形的性质，设，则，，根据矩形的周长是，列方程求出的值，计算的值，得出点的坐标即可；
（3）根据直线解析式、点的坐标，得出、的长，运用勾股定理求出的长，根据矩形的性质，得出点，的距离点，的距离，根据点到直线垂线段最短、结合三角形面积公式，计算得出答案即可．
【详解】（1）解：∵直线与轴相交于，点的坐标为，
∴，
解得：；
（2）解：∵过线段上一点（不与端点重合）作轴、轴的垂线，垂足分别为，，四边形是矩形，，
∴直线，设，，则，，
∵矩形的周长是，
∴，
，
解得：，
∴，
∴点的坐标为；
（3）解：∵，点的坐标为，
∴直线，，
∴当时，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴点，的距离点，的距离，
∵当时，最短，此时是斜边上的高，
∴边上的高，
∴边上的高，
∴点，的距离最小值点，的距离最小值．
24．(1)见解析
(2)，，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据正方形的性质和定理证明即可得出结论；
（2）由（1）的结论得，，再根据通过等量代换即可证明；
（3）连接，证明出四边形是正方形，再利用正方形的性质得出条件，证出，在中利用勾股定理求得的长．
【详解】（1）四边形和四边形是正方形，
，，，
，
，
．
．
（2），，理由如下：
，
，，
，
在中，，
，
，
．
（3）连接，如图，
四边形和四边形是正方形，
，，，，
，，
在中，
，
，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是正方形，
，
，，
，
，
在中，
．
【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理的应用，掌握相关的知识点，添加适当的辅助线是解本题的关键．