福建省宁德市普通高中2024届高三下学期5月质量检测（三模）数学试卷(含答案)

这是一份福建省宁德市普通高中2024届高三下学期5月质量检测（三模）数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．样本数据2，2，3，3，3，4，4，5，5，6的中位数和众数分别为( )
A.3和3B.3.5和3C.4和3D.3.5和2，3，4，5
2．已知集合，.若，则m的取值范围是( )
A.B.C.D.
3．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( )
A.若，，则B.若，，则
C.若，，则D.若，，则
4．记为等比数列的前n项积.设命题命题，则p是q的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5． 2024海峡两岸各民族欢度“三月三”暨福籽同心爱中华福建省第十一届“三月三”畲族文化节活动在宁德隆重开幕.海峡两岸各民族同胞齐聚于此，与当地群众共同欢庆“三月三”，畅叙两岸情.在活动现场，为了解不同时段的入口游客人流量，从上午10点开始第一次向指挥中心反馈入口人流量，以后每过一个小时反馈一次.指挥中心统计了前5次的数据，其中，为第i次入口人流量数据(单位：百人)，由此得到y关于i的回归方程.已知，根据回归方程(参考数据：，)，可顶测下午4点时入口游客的人流量为( )
A.9.6B.11.0C.11.4D.12.0
6．已知圆台的上底半径为3，下底半径为6，母线长为6，则以下结论错误的是( )
A.圆台侧面积为B.圆台外接球的半径为6
C.圆台的体积为D.圆台侧面上的点到下底圆心的最短距离为
7．已知抛物线的焦点为F，，是抛物线上的两个动点.若，则的最大值为( )
A.B.C.D.
8．函数，若关于x的不等式有且仅有三个整数解，则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知，是两个复数，下列结论中正确的是( )
A.若，则B.若为实数，则
C.若，均为纯虚数，则为实数D.若为实数，则，均为纯虚数
10．函数.若存在，使得为奇函数，则实数ω的值可以是( )
A.B.C.D.π
11．若定义在R上的函数满足，且值域为，则以下结论正确的是( )
A.B.C.为偶函数D.的图象关于中心对称
三、填空题
12．已知，是两个单位向量，若在上的投影向量为，则与的夹角为______________.
13．中国古代历法是中国劳动人民智慧的结晶，《尚书·尧典》记载“期三百有六旬有六日，以闰月定四时成岁”，指出闰年有366天.元代郭守敬创造了中国古代最精密的历法——《授时历》，规定一年为365.2425天，和现行公历格里高利历是一样的，但比它早了300多年.现行公历闰年是如下确定的：①能被4整除，但不能被100整除；②能被400整除，满足以上两个条件之一的年份均为闰年，则公元年，距上一个闰年的年数为_____.
14．已知曲线和圆有2个交点，则实数a的取值范围是_____________.
四、解答题
15．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，且.
（1）若，垂足为D，求BD的长；
（2）若，求的长.
16．在平行四边形中，，，，.将沿翻折到的位置，使得.
（1）证明：平面；
（2）在线段上是否存在点M，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
17．已知函数的图象在处的切线过点.
（1）求在上的最小值；
（2）判断在内零点的个数，并说明理由.
18．桌上有除颜色外其他没有任何区别的7个黑球和7个白球，现将3个黑球和4个白球装入不透明的袋中.第一次从袋中任取一个球，若取出的是黑球则放入一个白球，若取出的是白球则放入一个黑球，本次操作完成.第二次起每次取球、放球的规则和第一次相同.
（1）求第2次取出黑球的概率；
（2）记操作完成n次后袋中黑球的个数为变量.
(i)求的概率分布列及数学期望；
(ii)求的数学期望.
19．坐标平面上的点也可表示为，其中，θ为x轴非负半轴绕原点O逆时针旋转到与重合的旋转角.将点P绕原点O逆时针旋转α后得到点，这个过程称之为旋转变换.
(1)证明旋转变换公式：并利用该公式，求点绕原点O逆时针旋转后的点的坐标；
(2)旋转变换建立了平面上的每个点P到的对应关系.利用旋转变换，可将曲线通过旋转转化为我们熟悉的曲线进行研究.
(i)求将曲线绕原点O顺时针旋转后得到的曲线方程，并求该曲线的离心率；
(ii)已知曲线，点，直线交曲线于A，B两点，作的外角平分线交直线于点M，求的最小值.
参考答案
1．答案：B
解析：依题意该数据从小到大排列的第五个数为3，第六个数为4，
所以中位数为，又众数为3.
故选：B
2．答案：D
解析：由，故，
由，则，
则有，解得，即.
故选：D.
3．答案：C
解析：对于选项A，若，，则m与n可能相交、平行或者异面；故A错误；
对于B，若，，则n与α可能平行或者n在α内；故B错误；
对于C，若，，根据线面垂直的性质可得;故C正确；
对于D，若，，则或者；故D错误；故选C.
4．答案：B
解析：若，则，即，即或，
故p不是q的充分条件，
若，则有，
故p是q的必要条件，即p是q的必要不充分条件.
故选：B.
5．答案：B
解析：设，，则
所以，
，且
则，得，
所以，
下午4点对应的，此时预测游客的人流量.
故选：B
6．答案：C
解析：设圆台的上底半径为，下底半径为，母线长为l，高为h，
依题意得，，.
对于A，圆台的侧面积为，故A正确；
对于B，圆台的高，
记球心为O，设，球的半径为r，如图所示，
则，
即，，
所以，
解得，
所以球O的半径，故B正确；
对于C，上底面积，
下底面积，
所以圆台的体积为：
，故C错误；
对于D，由B知，下底圆心即为外接球球心，则圆台侧面上的点到下底圆心的最短距离为，故D正确；
故选：C.
7．答案：C
解析：由题知，，，，
则，
所以，
在中，
由余弦定理得
，
又，
当且仅当时取等号，
所以，
即，
所以的最大值为.
故选C
8．答案：A
解析：对函数求导可得，令，解得，令，解得，又时，，
所以的递增区间为，递减区间为和，
作出图象如图所示：
当时，由，可得，
由图象可知，不存在整数点满足条件，
当时，由，可得，
由图象可知，不存在整数点满足条件，
当时，由，可得，
又， ，，
由的递增区间为，所以，
所以要使有三个整数解，则，
所以关于x的不等式有且仅有三个整数解，
则a的取值范围为.
故选：A.
9．答案：AC
解析：设复数，，则，对于A中，由，且，可得，所以，，
所以，所以A正确；
对于B中，由，可得，即，
但a与c不一定相等，所以与不一定相等，所以B错误；
对于C中，由，均为纯虚数，可得，，，
此时，所以C正确；
对于D中，由为实数，即，
可得，但a，c不一定为0，所以D错误.
故选：AC.
10．答案：BD
解析：，若为奇函数，则有，因此有，则，此时，
由于为奇函数，则有，则有，即，即当时，有，有，，
故选BD
11．答案：ABC
解析：解法一：对于选项A，令，得，所以或.
令，得，由的值域为，
所以当时，得，不合题意，所以.A正确.
对于选项B，令，得，所以或.
令，得，得，
因为的值域为，所以.
令，得，所以或.
因为值域为，所以，B正确.
对于选项C，令，得，因为，
则，所以函数为偶函数，图像关于对称，C正确.
对于选项D，由值域和偶函数，D错误.选ABC.
解法二：由，则，
得，
设，得，可设(α为正偶数)，，
不妨设，可判断ABC正确，D错误.选ABC.
12．答案：
解析：由题意可得，即，
，
则，，
故与的夹角为.
故答案为：.
13．答案：5
解析：
，
则能整除12，即能整除4，
，
则能整除100，
又
，
故不能整除400，
故公元年不是闰年，
则能整除4，但不能整除100，故公元年是闰年，
则公元年，距上一个闰年的年数为5.
故答案为：5.
14．答案：
解析：当时，由图象的变换可得，与一定有两个交点，
当，过点，
求导可得，，所以在处的切线方程为，
此时的圆心到直线的距离，
所以直线与圆只有一个公共点，
此时与只有一个交点，
当向左移动时，即时，与一定没有交点，
当时，与一定有两个交点，
故曲线与有两个交点时的取值范围为.
故答案为：.
15．答案：（1）；
（2）.
解析：（1）由及余弦定理，得
由及正弦定理，
得，
因为的面积
所以
（2）由得①，
因为，
所以，②
由①②得，
又，故，
从而，
得，
所以.
16．答案：（1）证明见解析；
（2）线段上存在点M，使二面角的余弦值为，；
解析：（1）证明：翻折前，因为四边形为平行四边形，，，，
在三角形中，由正弦定理可得，
，又，故.
所以，即，
因为，，，所以，则有.
，平面APC，所以平面
（2）由（1）平面，且平面，
所以平面平面.
在平行四边形中，，即，
故平面
以点C为坐标原点，、、的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，
设，其中，
则，.
设平面的法向量为，
则，取，则，，
所以，，
易知平面的一个法向量为，
则，整理可得，
因为，解得.
因此，线段上存在点M，使二面角的余弦值为，且.
17．答案：（1）；
（2）在有2个零点，理由见解析；
解析：解法一：（1），，
又，所以切线方程为，
又切线过点，
得，所以
所以，，
当时，，所以在上单调递减，
所以的最小值为
（2）判断在零点个数，等价于判断方程根的个数，
等价于判断方程根的个数.
令，
，令，则，得
当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减；，，，
(或)
所以时，方程有2根，
所以在有2个零点.
解法二：（1），，
所以切线方程为，
因此切点为，
得，所以，
所以，，
当时，，所以在上单调递减
所以的最小值为
（2）由（1）得，，
令，则在上为减函数，
，，
所以在上必有一个零点，使得，
从而当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减；
又，，，
所以在上必有一个零点，使得
当时，，即，此时单调递增；
当时，，即，此时单调递减
又因为，，，，
所以在上有一个零点，在上有一个零点
综上，在有且只有2个零点
18．答案：（1）；
（2）(i)；(ii)
解析：（1）记第i次取出的球是黑球为事件，，
则，
根据全概率公式得
所以第2次取出黑球的概率为.
（2）(i)由题知得的可能取值为：1，3，5
则，，；
故的分布列为：
所以
(ii)设第次完成操作后袋中黑球数为
则
，
(也可以按如下方法得出递推关系：
(若通过特殊性入手得出递推关系得2分)
即，由此得，
又因为，
所以，即
19．答案：（1）证明见解析；
（2）(i)；离心率为2；(ii)；
解析：（1）证明：设，由题意可知
所以.
故当，且时，
所以
（2）(i)设曲线C上的任一点绕原点O顺时针旋转后得到的点为，可视为绕原点O逆时针旋转后得到的点，
所以
由点在曲线上，所以
整理得，
即曲线C绕原点O顺时针旋转后得到的曲线方程为，
该曲线为双曲线，离心率为2.
(ii)由曲线，可知当点满足曲线方程时，点，也满足该曲线方程，故曲线关于直线和对称，
设曲线上任一点绕原点O顺时针旋转后得到的点为，
则
由点在曲线上，所以，
即旋转后得到的曲线方程为椭圆：，其右焦点坐标为，
(1)可知，其为点绕原点O顺时针旋转后得到的点，
故点为原椭圆的右焦点.
由为的外角平分线，
所以，故
设，，，
同理，
设，显然M在线段的延长线或反向延长线上，
所以，
所以，
，得
所以点P的轨迹为直线，故F到P的最短距离为
1
3
5