广东省惠州市2024届高三下学期模拟考试（一模）数学试卷(含答案)

这是一份广东省惠州市2024届高三下学期模拟考试（一模）数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知公式，根据此公式，( )
A.B.C.D.
2．设正项等比数列的公比为q，若，，，成等差数列，则( )
A.B.2C.D.3
3．已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积是底面积的2倍，则圆锥的体积为( )
A.B.C.D.
4．已知l、n是两条不同的直线，α、β是不重合的两个平面，则下列命题中正确的是( )
A.若，，，则B.若，，则
C.若，，则D.若，，则
5．已知，，则等于( )
A.B.C.D.
6．为研究某池塘中水生植物的覆盖水塘面积x（单位：）与水生植物的株数y（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型去拟合x与y的关系，设，x与z的数据如表格所示：得到x与z的线性回归方程，则( )
A.-2B.-1C.D.
7．某国军队计划将5艘不同的军舰全部投入到甲，乙，丙三个海上区域进行军事演习，要求每个区域至少投入一艘军舰，且军舰A必须安排在甲区域.在所有可能的安排方案中随机选取一种，则此时甲区域还有其它军舰的概率为( )
A.B.C.D.
8．函数的定义域为R，为奇函数，且的图像关于对称.若曲线在处的切线斜率为2，则曲线在处的切线方程为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知函数，直线为图象的一条对称轴，则下列说法正确的是( )
A.
B.在区间上单调递增
C.在区间上的最大值为2
D.若为偶函数，则
10．掷一枚质量均匀的骰子，记事件A：掷出的点数为偶数；事件B：掷出的点数大于2.则下列说法正确的是( )
A.B.
C.D.
11．已知M，N是抛物线上两点，焦点为F，抛物线上一点到焦点F的距离为，下列说法正确的是( )
A.
B.若，则直线恒过定点
C.若的外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆的半径为
D.若，则直线的斜率为
三、填空题
12．已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为________.
13．已知正四面体中，，，，记三棱锥和三棱锥的体积分别为、，则________.
14．设满足方程的点，的运动轨迹分别为曲线M、N，若在区间内，曲线M、N有两个交点（其中是自然对数的底数），则实数m的最大值为________.
四、解答题
15．已知函数的图象过点，且在点P处的切线恰好与直线垂直.
（1）求函数的解析式;
（2）若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围.
16．在中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边.若向量，向量，且.
（1）求的值；
（2）若，b，c成等比数列，求的值.
17．全国“村”篮球赛点燃了全民的运动激情，深受广大球迷的喜爱.每支球队都有一个或几个主力队员，现有一支“村”球队，其中甲球员是其主力队员，经统计该球队在某个赛季的所有比赛中，甲球员是否上场时该球队的胜负情况如表.
（1）完成列联表，并判断依据小概率值的独立性检验，能否认为球队的胜负与甲球员是否上场有关；
（2）由于队员的不同，甲球员主打的位置会进行调整，根据以往的数据统计，甲球员上场时，打前锋、中锋、后卫的概率分别为0.3，0.5，0.2，相应球队赢球的概率分别为0.7，0.8，0.6.
(i)当甲球员上场参加比赛时，求球队赢球的概率；
(ii)当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，求甲球员打中锋的概率.（精确到0.01）
附：，.
18．已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，离心率为，经过点且倾斜角为的直线l与椭圆交于A、B两点（其中点A在x轴上方），的周长为8.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如图，将平面沿x轴折叠，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面）与y轴负半轴和x轴所确定的半平面（平面）互相垂直.
(i)若，求异面直线和所成角的余弦值；
(ii)是否存在，使得折叠后的周长与折叠前的周长之比为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
19．约数，又称因数.它的定义如下：若整数a除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称a为m的倍数，称m为a的约数.设正整数a共有k个正约数，记为，，…，，（）.
（1）当时，若正整数a的k个正约数构成等比数列，请写出一个a的值；
（2）当时，若，，…，构成等比数列，求证：；
（3）记，求证：.
参考答案
1．答案：B
解析：∵，
∴.
故选：B.
2．答案：B
解析：因为，，，成等差数列，所以，
所以，则，解得或（舍去）.
故选：B.
3．答案：C
解析：设圆锥的高为h，母线长为l，则圆锥的侧面积，故，，故圆锥的体积.
故选：C.
4．答案：D
解析：由l、n是两条不同的直线，α、β是不重合的两个平面，知：
在A中，若，，，则l与n平行或异面，故A错误；
在B中，若，，则l与β相交、平行或，故B错误；
在C中，若，，则l与β相交、平行或，故C错误；
在D中，若，，则由面面垂直的判定理得，故D正确.
故选：D
5．答案：D
解析：因为，
所以.
两边除以，得.
故选：D.
6．答案：C
解析：由已知可得，，，
所以，有，解得，
所以，，
由，得，
所以，，则.
故选：C.
7．答案：A
解析：若甲区域除军舰A外无其他军舰，共有种方案；
若甲区域除军舰A外还有1艘军舰，共有种方案；
若甲区域除军舰A外还有2艘军舰，共有种方案；
所以共有种方案，甲区域除还有其他艘军舰的方案有种，
所以甲区域除还有其他艘军舰的概率为.
故选：A.
8．答案：A
解析：因为为奇函数，即，
所以，函数的图像关于点对称，即，
因为的图像关于对称，
所以的图像关于对称，即，
所以，，
所以，即函数是周期为4的周期函数，
所以曲线在处的切线斜率等于曲线在处的切线斜率，
因为曲线在处的切线斜率为2，图像关于对称，
所以，曲线在处的切线斜率为-2，
因为，，
所以，
所以，
所以曲线在处的切线方程为，即.
故选：A
9．答案：BD
解析：因为函数，直线为图象的一条对称轴，所以，
所以，，则，，又，所以，故A项不正确；
因为，当时，，所以在区间上单调递增，故B项正确；
当时，，在区间上的最大值为，故C项不正确；
若为偶函数，则，所以，解得，故D项正确.
故选：BD.
10．答案：ABD
解析：由题意，，，则，，故A正确；
由全概率公式，则，故B正确；
事件表示掷出的点数为偶数且不大于2，则，事件表示掷出的点数为奇数且大于2，则，
则，故C错误；
，，则，故D正确.
故选：ABD
11．答案：AD
解析：对于A：根据抛物线的定义知，得，故A选项正确；
对于B：设，，因为直线斜率必存在，
设直线的方程为，代入得，，
所以，，所以，
解得，所以直线恒过定点，故B选项错误；
对于C：的外接圆与抛物线的准线相切，，，
因为外接圆的圆心为各边垂直平分线的交点，
从而可得外接圆圆心的纵坐标为，又与抛物线准线相切，
所以得外接圆半径为，故C选项错误；
对于D：因为，所以直线过焦点F，且，
设直线的倾斜角为θ，由抛物线性质知的斜率为互为相反数的两个值，
如图，过M，N分别向准线作垂线，，过N向作垂线，
设，则，，，，
，，，
根据对称性可得，故D选项正确.
故选：AD.
12．答案：2
解析：化为，圆心为，半径为1，
的渐近线方程为，
则，解得：，即，
故离心率为2.
故答案为：2.
13．答案：
解析：作平面，作平面，
则A，G，H共线，由，得，
由，，得，
可得.
故答案为：
14．答案：
解析：因为，
所以，
依题意，曲线M：，曲线N：，在区间内，曲线M、N有两个交点，
即方程，也就是在上有两解，
即直线与，的图像有两个交点，
令，
，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，，，
且，
所以，
因为直线与，的图像有两个交点，
所以m的最大值为.
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）或
解析：（1）因为函数的图象过点，所以又因为，且点P处的切线恰好与直线垂直，所以由解得，所以.
（2）由（1）知，
令，即，解得或，令，即，解得，
所以在单调递增，单调递减，单调递增，
根据函数在区间上单调递增，则有或
解得或
16．答案：（1）；
（2）.
解析：（1）因为，，且，
所以，
由正弦定理，可得，
所以，即，
又B为三角形内角，，
所以；
（2）因为，b，c成等比数列，
所以，由正弦定理，可得，
又，B为三角形内角，所以，
所以.
17．答案：（1）列联表见解析；有99%的把握认为球队的胜负与甲球员是否上场有关；
（2）(i)；(ii).
解析：（1）根据题意，可得的列联表：
零假设：球队的胜负与甲球员是否上场无关
此时，
所以，有99%的把握认为球队的胜负与甲球员是否上场有关.
（2）由甲球员上场时，打前锋、中锋、后卫的概率分别为0.3，0.5，0.2，相应球队赢球的概率分别为0.7，0.8，0.6.
(i)设事件A：甲球员上场打前锋，事件B：甲球员上场打中锋，事件C：甲球员上场打后卫，事件D：球队赢球，
则，，，，，
所以，当甲球员上场参加比赛时，球队赢球的概率：
.
(ii)当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，
甲球员打中锋的概率为.
18．答案：（1）；
（2）(i)，(ii)存在，
解析：（1）因为的周长为8，离心率为，
所以，即，，，
所以椭圆C的标准方程为：；
（2）由（1）知，点，倾斜角为，
故直线l设为：，
(i)联立直线l与椭圆的方程：，可得，
可得或，
可得，（因为点A在x轴上方）以及，
再以O为坐标原点，折叠后原y轴负半轴，原x轴，原y轴正半轴所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系
则，，，
，，
，，，
所以
记异面直线和所成角为φ，则；
(ii)由，，，
设折叠前，，
直线l与椭圆C联立方程，得，
即，，
在折叠后的图形中建立空间直角坐标系（原x轴仍然为x轴，原y轴正半轴为y轴，原y轴负半轴为z轴），
设A，B在新图形中对应点记为，，，
，，
①，
即
所以②，
由①②可得：
即
则
即，，
解得，
因为，所以.
19．答案：（1）或（首项为1，公比为质数的等比数列的第四项均可）；
（2）证明见解析；
（3）证明见解析.
解析：（1）当时，正整数a的4个正约数构成等比数列，
如1，2，4，8为8的所有正约数，即；
或1，3，9，27为27的所有正约数，即；
或1，5，25，125为125的所有正约数，即；
（首项为1，公比为质数的等比数列的第四项均可）
（2）由题意可知，，，且，
因为，，…，构成等比数列，不妨设其公比为q，
则，所以，
化简得：，所以，
又因为，所以，所以公比，
所以，
又因为，，所以，
又因为，所以；
（3）由题意知，，，，，
所以，
因为，，，
所以，
因为，，所以
所以，即.
x
3
4
6
7
z
2
2.5
4.5
7
甲球员是否上场
球队的胜负情况
合计
胜
负
上场
40
45
未上场
3
合计
42
α
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
甲球员是否上场
球队的胜负情况
合计
胜
负
上场
40
5
45
未上场
2
3
5
合计
42
8
50