江苏省姜堰中学2024届高三下学期阶段性测试（2.5模）数学试卷(含答案)

这是一份江苏省姜堰中学2024届高三下学期阶段性测试（2.5模）数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．在复平面内表示复数的点位于第二象限,则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
2．设,,…,为样本数据,令,则的最小值点为( )
A.样本众数B.样本中位数C.样本标准差D.样本平均数
3．“”是“”成立的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
4．曲线上的点到直线距离的最小值为( )
A.B.C.D.
5．已知函数,则平面图形D内的点满足条件：,且,则D的面积为( )
A.B.3C.D.1
6．已知F为椭圆的右焦点，P为C上一点，Q为圆上一点，则的最大值为( )
A.5B.6C.D.
7．记递增的等差数列的前n项和为．若,,则( )
A.-155B.125C.155D.185
8．设函数在上至少有两个不同零点,则实数的取值范围是( )
A.B.C.D.
9．已知，，分别为双曲线的左、右焦点，过作C的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M，N两点.若，则C的离心率为______.
二、多项选择题
10．下列四个命题中,假命题的是( )
A.要唯一确定抛物线,只需给出抛物线的准线和焦点
B.要唯一确定以坐标原点为中心的椭圆,只需给出一个焦点和椭圆的上一点
C.要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线,只需给出双曲线上的两点
D.要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线,只需给出一条渐近线方程和离心率
11．对任意A,,记,并称为集合A,B的对称差．例如：若,,则．下列命题中,为真命题的是( )
A.若A,且,则
B.若A,且,则
C.若A,且,则
D.存在A,,使得
12．用与母线不垂直的两个平行平面截一个圆柱,若两个截面都是椭圆形状,则称夹在这两个平行平面之间的几何体为斜圆柱．这两个截面称为斜圆柱的底面,两底面之间的距离称为斜圆柱的高,斜圆柱的体积等于底面积乘以高．椭圆的面积等于长半轴与短半轴长之积的倍,已知某圆柱的底面半径为2,用与母线成45°角的两个平行平面去截该圆柱,得到一个高为6的斜圆柱,对于这个斜圆柱,下列选项正确的是( )
A.底面椭圆的离心率为
B.侧面积为
C.在该斜圆柱内半径最大的球的表面积为
D.底面积为
三、填空题
13．已知的展开式中所有项的系数和为32,则____________．
14．正三棱锥中,底面边长,侧棱,向量,满足,,则的最大值为____________.
四、解答题
15．记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知．
（1）求角A；
（2）若,点M为的重心,且,求的面积．
16．如图,在四棱锥中,四边形ABCD是边长为2的正方形,平面平面ABCD,,点E是线段AD的中点,.
（1）证明:平面BDM;
（2）求平面AMB与平面BDM的夹角.
17．某工厂生产某种元件,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于82为合格品,小于82为次品,现抽取这种元件100件进行检测,检测结果统计如下表:
（1）现从这100件样品中随机抽取2件,若其中一件为合格品,求另一件也为合格品的概率;
（2）关于随机变量,俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式:
若随机变量X具有数学期望,方差,则对任意正数,均有成立.
(i)若,证明:;
(ii)利用该结论表示即使分布未知,随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工厂声称本厂元件合格率为90%,那么根据所给样本数据,请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信?(注:当随机事件A发生的概率小于0.05时,可称事件A为小概率事件)
18．设P是坐标平面上的一点,曲线是函数的图象．若过点P恰能作曲线的k条切线,则称P是函数的“k度点”．
（1）判断点与点是否为函数的1度点,不需要说明理由；
（2）已知,．证明：点是的0度点；
（3）求函数的全体2度点构成的集合．
19．在平面直角坐标系xOy中,过点的直线l与抛物线交于M,N两点(M在第一象限）.
（1）当时,求直线l的方程;
（2）若三角形OMN的外接圆与曲线C交于点D（异于点O,M,N）,
（i）证明:的重心的纵坐标为定值,并求出此定值;
（ii）求凸四边形OMDN的面积的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：由题意知,
该复数在复平面内对应的点的坐标为,
又该点位于第二象限,所以,解得,
即实数m的取值范围为.
故选：B.
2．答案：D
解析：由题意,
取得最小值时,．
故选：D.
3．答案：D
解析：取,,则,但,故不充分,
取,,则,但,故不必要．
故选：D．
4．答案：C
解析：令,则,
设该曲线在点处的切线为l,
需求曲线到直线距离最小,必有该切线的斜率为2,
所以,解得,则切点为,
故切线l的方程为,即,
所以直线到直线的距离为,
即该曲线上的点到直线的最小距离为.
故选：C.
5．答案：A
解析：,即,
该不等式表示的平面区域是以为半径,为半径的圆内部分（不含边界）,如图所示,
又,画出其对应区域,如图,直线与互相垂直,且交点刚好是圆心,满足条件 的点所形成的区域为图中阴影部分,其面积为．
故选：A.
6．答案：D
解析：依题意，，，设椭圆C的左焦点为，圆的圆心为，半径为1，，当P，，Q三点共线，且在P，Q之间时，等号成立.而，所以，当P，，M，Q四点共线，且在P，Q之间，Q是的延长线与圆M的交点时，等号成立.故选D.
7．答案：C
解析：设递增的等差数列的公差为d,则．
因为,,
所以当时,,即①,
当时,,即②．
联立①②,结合,解得,.
所以.
故选：C.
8．答案：A
解析：令得,
因为,所以,
令,解得,或,,
从小到大将的正根写出如下：
,,,,,……,
因为,所以,
当,即时,,解得,
此时无解,
当,即时,,解得,此时无解,
当,即时,,解得,
故,
当,即时,,解得,
故,
当时,,此时在上至少有两个不同零点,
综上,的取值范围是.
故选：A.
9．答案：
解析：易知MN关于x轴对称，令，，
，，，.
，，，
，
.
10．答案：CD
解析：A：选项中给出抛物线上的焦点和准线,由拋物线定义可确定抛物线的焦点到准线的距离,所以能唯一确定抛物线,故A正确；
B：选项中以坐标原点为中心,给出椭圆的一个焦点,则另一个焦点能确定,再给出椭圆上一点,则可确定椭圆上点到两个焦点的距离和,由椭圆定义可知,能唯一确定椭圆,所以B选项正确；
C：选项中以坐标原点为中心,若给出的双曲线上的两点关于双曲线的对称轴对称,则无法确定双曲线,所以C选项不正确；
D：选项给出双曲线的一条渐近线方程和离心率,但无法确定焦点的位置,所以无法唯一确定双曲线,所以D选项不正确．
故选：CD．
11．答案：AB
解析：对于A,因为,所以,
所以,且B中的元素不能出现在中,因此,即A正确；
对于B,因为,所以,
即与是相同的,所以,B正确；
对于C,因为,所以,
所以,即C错误；
对于D由于,
而,故,即D错误．
故选：AB．
12．答案：ABD
解析：不妨过斜圆柱的最高点D和最低点B作平行于圆柱底面的截面圆,夹在它们之间的是圆柱,如图,矩形是圆柱的轴截面,平行四边形是斜圆柱的过底面椭圆的长轴的截面,
由圆柱的性质知,
则,设椭圆的长轴长为,短轴长为,则,,,
所以离心率为,A正确；
,垂足为G,则,
易知,,又,
所以斜圆柱侧面积为,B正确；
,,,,
椭圆面积为,D正确；
由于斜圆锥的两个底面的距离为6,而圆柱的底面直径为4,所以斜圆柱内半径最大的球的半径为2,球表面积为,C错．
故选：ABD．
13．答案：3
解析：令可得,解得,
故答案为：3.
14．答案：4
解析：已知正三棱锥,则,且,
由化简得,
由化简得.
设,,代入,,
分别化简得,且,
故点M在以为直径的球面上,半径；
点N在以为直径的球面上,半径
分别取线段、的中点E、F,
则,
故.
故答案为：4.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,由正弦定理可得,
整理得,由余弦定理可得．
又因为,所以．
（2）设的延长线交于点D,因为点M为的重心,所以点D为中点,
又因为,所以．
在中,由和,可得．
在和中,有,
由余弦定理可得
故,
所以,
所以的面积为．
16．答案：（1）证明见解析
（2）.
解析：（1）如图,连接交于,连接,由是的中点可得,
易得与相似,所以,
又,所以,
又平面BDM,平面BDM,所以平面BDM;
（2）因平面平面ABCD,且平面平面,由,点E是线段AD的中点可得
又平面PAD,故得平面ABCD.如图,取BC的中点为F,分别以,,为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系.
则,,,,,,
,,则,.
设平面AMB的法向量为,由,,
则,故可取;
设平面BDM的法向量为,由,,
则,故可取.
故平面AMB与平面BDM的夹角余弦值为,
所以平面AMB与平面BDM的夹角为.
17．答案：（1）
（2）(i)证明见解析;
(ii)不可信.
解析：（1）记事件A为抽到一件合格品,事件B为抽到两个合格品,
,,
（2）(i)由题:若,则
又
所以
由切比雪夫不等式可知,
所以;
(ii)设随机抽取100件产品中合格品的件数为X,
假设厂家关于产品合格率为90%的说法成立,则,
所以,,
由切比雪夫不等式知,,
即在假设下100个元件中合格品为70个的概率不超过0.0225,此概率极小,由小概率原理可知,一般来说在一次试验中是不会发生的,据此我们有理由推断工厂的合格率不可信.
18．答案：（1）是函数的一个1度点；不是函数的1度点
（2）证明见解析
（3）或
解析：（1）设,则曲线在点处的切线方程为．
则该切线过点O当且仅当,即． 故原点O是函数的一个1度点,
该切线过点,故,
令,则,令得,令得,
故上单调递增,在上单调递减,
在处取得极小值,也时最小值,且,
故无解,点不是函数的一个1度点
（2）设,,
则曲线在点处切线方程为．
则该切线过点当且仅当（*）．
设,则当时,,故区间上严格增．
因此当时,,（*）恒不成立,即点是的一个0度点．
（3）,
对任意,曲线在点处的切线方程为．
故点为函数的一个2度点当且仅当关于的方程恰有两个不同的实数解．
设． 则点为函数的一个2度点当且仅当两个不同的零点．
若,则在R上严格增,只有一个实数解,不合要求．
若,因为,
由或时得严格增；而当时,得严格减．
故在时取得极大值,在时取得极小值．
又因为,,
所以当时,由零点存在定理,在、、上各有一个零点,不合要求；
当时,仅上有一个零点,不合要求；
当时,仅上有一个零点,也不合要求．
故两个不同的零点当且仅当或．
若,同理可得两个不同的零点当且仅当或．
综上,的全体2度点构成的集合为或．
19．答案：（1）
（2）（i）证明见解析；纵坐标为0；（ii）.
解析：（1）设直线,,
联立,消去x,得,
所以,,
,则
,则,又由题意,,
直线的方程是;
（2）（1）方法1:设,,
因为O,M,D,N四点共圆,设该圆的方程为,
联立,消去x,得,
即,
所以,,即为关于y的方程的3个根,
则,
因为,
由的系数对应相等得,,所以的重心的纵坐标为0.
方法2:设,,,则,,,
因为O,M,D,N四点共圆,所以,即,
化简可得:,
所以的重心的纵坐标为0.
（2）记,的面积分别为,,由已知得直线MN的斜率不为0,
设直线,联立,消去x,得,
所以,,
所以,
由（1）得,,
所以,即,
因为,
点D到直线MN的距离,
所以,
所以
M在第一象限,即,,
依次连接O,M,D,N构成凸四边形OMDN,所以,即,
又因为,即,即,
所以,即,即,
所以,
设,则,
令,则,
因为,所以,所以在区间上单调递增,
所以,
所以S的取值范围为.
测试指标
元件数(件)
12
18
36
30
4