青海省部分学校2024届高三下学期4月联考模拟预测数学（理）试卷(含答案)

这是一份青海省部分学校2024届高三下学期4月联考模拟预测数学（理）试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．( )
A.B.C.D.
2．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
3．已知向量,,,且,则( )
A.B.C.D.
4．已知函数的极值点为a,则( )
A.B.0C.1D.2
5．设x,y满足约束条件,则的最大值为( )
A.11B.7C.－1D.－4
6．已知,分别是双曲线C：(,)的左、右焦点,,点P在C的右支上,且的周长为,则( )
A.B.C.D.
7．若,,则( )
A.1B.－1C.2D.－2
8．已知F是抛物线C：的焦点,过F的直线l与C交于A,B两点,且A,B到直线的距离之和等于,则( )
A.6B.8C.12D.14
9．记数列的前n项积为,设甲：为等比数列,乙：为等比数列,则( )
A.甲是乙的充分不必要条件
B.甲是乙的必要不充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲是乙的既不充分也不必要条件
10．已知函数在上的图象大致如图所示,则的最小正周期为( )
A.B.C.D.
11．如图,在正方体中,E,F,M,N,G,H分别为棱,,,,,的中点,P为的中点,连接,.对于空间任意两点I,J,若线段上不存在也在线段,上的点,则称I,J两点“可视”,则与点“可视”的点为( )
A.DB.PC.MD.N
12．已知定义在R上得函数满足,,则( )
A.B.C.D.
二、填空题
13．在等差数列中,,则______.
14．已知点在圆心为的圆M外,过P作圆M的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,则过P与直线AB平行的直线方程为______.
15．为了响应中央的号召,某地教育部门计划安排甲、乙、丙、丁等6名教师前往四个乡镇支教,要求每个乡镇至少安排1名教师,则甲、乙在同一乡镇支教且丙、丁不在同一乡镇支教的安排方法共有______种.
三、解答题
16．在半径为5的球体内部放置一个圆锥,则该圆锥体积的最大值为______.
17．如图,在三棱锥中,平面PAB,E,F分别为BC,PC的中点,且,,.
(1)证明：平面.
(2)求二面角的余弦值.
18．为提升基层综合文化服务中心服务效能,广泛开展群众性文化活动,某村干部在本村的村民中进行问卷调查,将他们的成绩(满分：100分)分成7组：,,,,,,.整理得到如下频率分布直方图.
(1)求a的值并估计该村村民成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；
(2)从成绩在,内的村民中用分层抽样的方法选取6人,再从这6人中任选3人,记这3人中成绩在内的村民人数为X,求X的分布列与期望.
19．已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
(1)求B；
(2)若,的面积为S.周长为L,求的最大值.
20．已知椭圆C：的离心率为.
(1)求C的方程；
(2)过C的右焦点F的直线l与C交于A,B两点,与直线交于点D,且,求l的斜率.
21．已知质数,且曲线在点处的切线方程为.
(1)求m的值；
(2)证明：对一切,都有.
22．在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为.
(1)求C与l的直角坐标方程；
(2)若P是C上的一个动点,求P到l的距离的取值范围.
23．已知函数的最小值为8.
(1)求a；
(2)若在上单调递减,求不等式的解集.
参考答案
1．答案：A
解析：由题意,
故选：A.
2．答案：C
解析：由题意,,
当时,,
当时,,
当时,,
所以和满足B集合的要求,
所以,
故选：C.
3．答案：B
解析：由题,
因为,所以.
故选：B.
4．答案：B
解析：函数,求导得,当时,,当时,,
函数在上单调递减,在上单调递增,因此是的极小值点,且是唯一极值点,
所以,.
故选：B.
5．答案：A
解析：由约束条件作出可行域和目标函数,
变形为,由于为在y轴上的截距,
要想得到z的最大值,只需得到在y轴上的截距的最小值,
显然当过点A时,z取得最大值,
联立,解得,
将代入,,
当直线l：经过点时,z取得最大值11.
故选：A.
6．答案：D
解析：由双曲线定义可知：,
则三角形的周长为,
故.
故选：D.
7．答案：A
解析：由,
所以
故选：A.
8．答案：C
解析：依题意,设点,,而抛物线C：的准线方程为,
则,点A,B到直线的距离和为,
因此,所以.
故选：C.
9．答案：D
解析：若为等比数列,设其公比为q,则,,
于是,,当时,不是常数,
此时数列不是等比数列,则甲不是乙的充分条件；
若为等比数列,令首项为,公比为p,则,,
于是当时,,而,
当时,不是等比数列,即甲不是乙的必要条件,
所以甲是乙的既不充分也不必要条件.
故选：D.
10．答案：B
解析：由图可知,,则.
,.解得,,故,
则,所以,
故的最小正周期为.
故选：B.
11．答案：D
解析：如图,连接,,,由正方体的性质及E、H分别为棱、的中点,
易得,所以线段与相交,与相交,故A、B错误；
连接,,有,,故,
所以线段与相交,C错误；
连接,直线与,直线与均为异面直线,D正确.
故选：D.
12．答案：D
解析：,
,
,
,
,
,
,
故选：D.
13．答案：3
解析：令等差数列的公差为d,由,得,
因此,所以.
故答案为：3.
14．答案：
解析：由题意：直线的方程为：,
所求直线过点且与直线垂直,
所以所求直线方程为：,即.
故答案为：.
15．答案：216
解析：若这6名教师的分组为3,1,1,1,则甲、乙必在三人组中,丙、丁分开,
不同的安排方法有种；
若这6名教师的分组为2,2,1,1,则甲、乙必在二人组中,丙、丁分开,
不同的安排方法有种.
故不同的安排方法共有216种.
故答案为：216.
16．答案：/
解析：过圆锥的轴的平面截球面得大圆,截圆锥得轴截面等腰三角形,是球的截面大圆的内接三角形,如图,
设圆锥的高为,圆锥底面圆半径为r,球心O到圆锥底面距离,
则,即,圆锥体积,
求导得,当时,,当时,,
因此函数在上单调递增,在上单调递减,,
所以圆锥体积的最大值为.
故答案为：.
17．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1),F分别为,的中点,.,.平面,
,,面,
平面
(2)以A为原点,,,所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,,
设平面AEF的法向量为,可得,故,
令则解得,,得到平面的一个法向量为
易得平面的一个法向量为
由图可知二面角为锐角,
所以二面角的余弦值为.
18．答案：(1),
(2)分布列见详解,
解析：(1)由图可知,,
解得,
该村村民成绩的平均数约为
；
(2)从成绩在,内的村民中用分层抽样的方法选取6人,
其中成绩在的村民有人,
成绩在的村民有4人,
从中任选3人,X的取值可能为1,2,3,
,,,
则X的分布列为
故
19．答案：(1)
(2)
解析：(1)由正弦定理可得,,
所以,
所以,
即,
由,可知,
所以,即,
由,知.
(2)由余弦定理,得,即,
所以,即,
因为,,
所以,
所以,又(当且仅当时取等号),
所以(当且仅当时取等号),
所以(当且仅当时取等号),
所以(当且仅当时取等号),
即的最大值为.
20．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为椭圆C：的离心率为,
所以,解得,
所以椭圆方程为.
(2)由(1)可得,
当直线l的斜率为0时,则,,,
所以,,显然不满足,故舍去；
依题意直线l的斜率存在且不为0,设直线l的方程为,,,
由,消去y整理得,
显然,则,,
所以
,
又解得,所以,
所以,
因为,所以,解得,
综上可得l的斜率为.
21．答案：(1)4
(2)证明见解析
解析：(1),,,
则有,,
解得；
(2)由,故,
要证对一切,都有,
即证对一切恒成立,
即证对一切恒成立,
令,
,
则当时,,则当时,,
即在、上单调递减,在上单调递增,
又,,
故对一切恒成立,即得证.
22．答案：(1),
(2)
解析：(1)消去曲线C的参数方程中的参数得：,
把代入直线l的极坐标方程得：,
所以C与l的直角坐标方程分别为,.
(2)显然曲线C是以点为圆心,为半径的圆,
点到直线的距离,
显然直线l与圆C相离,于是圆C上动点P到直线l的最小值为,最大值为,
所以P到l的距离的取值范围是.
23．答案：(1)或
(2).
解析：(1)依题意,,当且仅当时取等号,
即函数的最小值为,因此,解得或,
所以或.
(2)由(1)知,当时,,当时,,显然函数在上不递减,
当时,,显然在上单调递减,
由,得或或,解得或,
所以不等式的解集是.
X
1
2
3
P